高中數(shù)學(xué)解題方法系列：函數(shù)問題中抽象函數(shù)的4種策略 （無答案）

第頁高中數(shù)學(xué)解題方法系列：函數(shù)問題中抽象函數(shù)的4種策略抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則的函數(shù)問題。對考查學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，有著十分重要的作用?；橄鬄榫唧w,聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。一、數(shù)形結(jié)合使抽象函數(shù)具體一般地講，抽象函數(shù)的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據(jù)題意作出n個(gè)孤立的點(diǎn)，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利于觀察、對比、減少推理、減小計(jì)算量等好處。例1、設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇5,5]，若當(dāng)x0,5時(shí)，f(x)是增函數(shù)且f(2)=o求不等式xf(x)0的解。例2、已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x都有f（2+x）=f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4個(gè)不同的實(shí)根，求這些實(shí)根之和。評注①一般地，若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則直線x=a是函數(shù)圖象的對稱軸，利用對稱性，數(shù)形結(jié)合，可使抽象函數(shù)問題迎刃而解。②、對稱性的定義③軸對稱定義：如果函數(shù)yfx滿足faxfbx，則函數(shù)yfx的圖象關(guān)于直線對稱。④點(diǎn)對稱定義：如果函數(shù)yfx滿足faxfax2b，則函數(shù)yfx的圖象關(guān)于點(diǎn)a,b對稱。⑤抽象函數(shù)技巧規(guī)律總結(jié)：（1）當(dāng)x前面的符號相同時(shí)考慮周期性。（2）當(dāng)x前面的符號不同考慮對稱性，f前面的同號為軸對稱，f前面的異號為點(diǎn)對稱。（3）奇偶性周期性對稱性；奇偶性對稱性周期性。奇偶性有制造負(fù)號的能力練習(xí)1、（2014年新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.f(x)g(x)是奇函數(shù)C.f(x)g(x)是奇函數(shù)D.f(x)g(x)是奇函數(shù)2、（2014年湖南）已知分別f(x),g(x)是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則f(1)g(1)二、利用單調(diào)性定義使問題具體加上函數(shù)符號f即為“穿”，去掉函數(shù)符號f即為“脫”。對于有些抽象函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)對函數(shù)符號的“穿脫”，以達(dá)到簡化的目的。例3已知f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且，若f(6)=1，解不等式三、類比模型使解題思路具體模型，就是根據(jù)題目給定的關(guān)系大膽猜想抽象函數(shù)的生成原始模型，作出目標(biāo)猜想，利用模型函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去探索解題方法尤其對選擇題或填空題中抽象函數(shù)也可賦于具體的背景函數(shù)以幫助作答。對于解答題則可以起到啟迪思路并起驗(yàn)證作用。例4、已知函數(shù)f（x）(x≠0)滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(6)=1（1）求證：f(1)=f(-1)=0；（2）求證：f(x)為偶函數(shù)；（3）若f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x+5)≤2。例4、已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x、y滿足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1。求證：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1；（2）f(x)在x∈R上是減函數(shù)。四、賦值策略使問題具體抽象函數(shù)常常以函數(shù)方程的形式出現(xiàn)，解決這類問題的時(shí)候讓變量取一些特殊值或特殊式，從而使問題解決，并具有一定的規(guī)律性。例5．如果f(ab)f(a)f(b)且f(1)2，則例6設(shè)f(x)是區(qū)間(0,1)上的函數(shù)，且同時(shí)滿足：①對任意x(0,1)，恒有f(x)>0；②對于任意，恒有。試證明：（I）對任意x(0,1)都有f(x)f(1x)（II）對任意抽象函數(shù)單調(diào)性的證明與應(yīng)用1、已知函數(shù)在上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，且對任意都有.（1）證明：；（2）證明：在上單調(diào)遞減.2、已知定義在上函數(shù)對任意正數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，且（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式：.3、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且對于任意的實(shí)數(shù)，有.（1）求；（2）證明：恒成立；（3）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.4、已知函數(shù)對一切正實(shí)數(shù)都有，且時(shí)，，.求證：；求證：；求證：在為減函數(shù)；若，試求的值.5、已知函數(shù)是定義