2019年高考理科數學考前30天-計算題專訓(九)

2019年高考理科數學考前30天--計算題專訓（九）17．設數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn3an1．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bnn，求數列{bn}的前n項和Tn．an【答案】（1）由2Sn3an1······①，2Sn13an11······②，n≥2①－②得2an3an3an1，∴an3，an1又當n1時，2S13a11，即a11，（切合題意）∴an是首項為1，公比為3的等比數列，∴an3n1．（2）由（1）得：bnn1，∴Tn123n1······③，n012n333331Tn12n1n331323n13n······④，121111n1n32n3Tn3n③－④得：33031323n13n13n223n13∴T96n9．n443n18．某商場為吸引顧客花費推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則以下：花費額每滿100元可轉動以下圖的轉盤一次（指針停在任一地點的可能性相等），并獲取相應金額的返券．若指針停在A地區(qū)返券60元；停在B地區(qū)返券30元；停在C地區(qū)不返券．比如：花費218元，可轉動轉盤2次，所獲取的返券金額是兩次金額之和．（1）若某位顧客花費128元，求返券金額不低于30元的概率；1（2）若某位顧客恰巧花費280元，并按規(guī)則參加了活動，他獲取返券的金額記為X（元）．求隨機變量X的散布列和數學希望．【答案】設指針落在A、B、C地區(qū)分別記為事件A、B、C．則PA1，1，36PC1，2（1）花費128元的顧客，只好轉一次，若返券金額不低于30元，則指針落在A或B地區(qū)，其概率PPAPB111，632即花費128元顧客返券金額不低于30元概率是1．2（2）該顧客可轉動轉盤2次．隨機變量X的可能值為0，30，60，90，120．PX0111；PX301121；PX60112115；224233263318PX901121；PX120111；3696636因此，隨機變量X的散布列為：P0306090120X115114318936其數學希望EX01301605901120140．431893619．在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB3，AD22，ABC45，P點在底面ABCD內的射影E在線段AB上，且PE2，BE2EA，F為AD的中點，M在線段CD上，且CMCD．（1）當2時，證明：平面PFM平面PAB；32（2）當平面PAM與平面ABCD所成二面角的正弦值為25時，求四棱錐PABCM5的體積．【答案】（1）證明：連結EC，作AN∥EC交CD于點N，則四邊形AECN為平行四邊形，CNAE1，在△BCE中，2，BC22，ABC45，由余弦定理得EC2．BE因此BE2EC2BC2，進而有BEEC．在△AND中，F,M分別是AD,DN的中點，則FM∥AN，FM∥EC，由于ABEC，因此FMAB．由PE平面ABCD，FM平面ABCD，得PEFM，又FMAB，PEABE，得FM平面PAB，又FM平面PFM，因此平面PFM平面PAB．（2）以E為坐標原點，EB,EC,EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸成立以下圖的空間直角坐標系，則A1,0,0，P0,0,2，C0,2,0，D3,2,0，AP1,0,2，AMACCD13,2,0．平面ABCD的一個法向量為m0,0,1．設平面PAM的法向量為nx,y,z，由APn0，AMx2z0，令x2，得n2,31,1．n0，得3x2y10由題意可得，cosm,nmn15，2mn5351解得1，因此四棱錐PABCM的體積VPABCM1S梯形ABCMPE8．33320．已知點P在圓C:x2y24上，而Q為P在x軸上的投影，且點N知足PNNQ，3設動點N的軌跡為曲線E．1）求曲線E的方程；2）若A，B是曲線E上兩點，且|AB|2，O為坐標原點，求△AOB的面積的最大值．【答案】（1）設Pxp,yp，∴xp2yp24，∵PQx軸，因此Q(xp,0)，xpx代入x2y24有x2y2又設N(x,y)，由PNNQ有1．yp2y4即曲線E的方程為x2y21．4（2）設A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程為：ykxt，聯立x24y24得(4k21)x28ktx4(t21)0，ykxt故x1x28kt，x1x24(t21)，14k214k2由4AB(1k2)(x2x1)2(1k2)[(x2x1)24x1x2]，得t2(4k21)21)224(k21)故原點O到直線AB的距離d|t|，∴S12d|t|，令u14k2，1k221k21k2則S21u2u1(u2)21，又∵u14k24131,4，441k2k2當u2時，Smax21．當斜率不存在時，△AOB不存在，綜合上述可得△AOB面積的最大值為1．21．設函數fxlnxkx1．（1）研究函數fx的極值點；（2）當k0時，若對隨意的x0，恒有fx≤0，求k的取值范圍；（3）證明：ln22ln32lnn22n2n12232n22(n1)nN,n≥2．【答案】（1）∵fxnlxxk1，∴fx的定義域為0,，fx1k1kx，xx當k≤0時，fx0，fx在0,上無極值點，4當k0時，令fx=0，∴x1，fx、fx隨x的變化狀況以下表：0,kx(0,1)1(1,)kkkfx＋0－fx↗極大值↘從上表能夠看出：當k0時fx有獨一的極大值點x1；k（2）當k0時在x1處獲得極大值也是最大值，要使fx≤0恒成立，k只要f1ln1≤0，∴k≥1，即k的取值范圍為1,；kk（3）令k1，由（2）知，≤，∴≤，∵≥，lnxx10lnxx1nN,n2