初中數(shù)學(xué)經(jīng)典相似三角形練習(xí)題附參考答案

-.z.-----優(yōu)質(zhì)資料相似三角形一．解答題〔共30小題〕1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．〔1〕求證：△CDF∽△BGF；〔2〕當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E，假設(shè)AB=6cm，EF=4cm，求CD的長(zhǎng)．3．如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．4．如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．*一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：〔1〕經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？〔2〕是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？假設(shè)存在，求t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．：P是正方形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，M是CD的中點(diǎn)，試說(shuō)明：△ADM∽△MCP．6．矩形ABCD，長(zhǎng)BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．假設(shè)P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似？7．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．問(wèn)當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．8．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)．假設(shè)Q、P分別同時(shí)從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過(guò)多少秒后，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBA相似？9．如下圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．10．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開場(chǎng)向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開場(chǎng)向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t〔秒〕表示移動(dòng)的時(shí)間，則當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．11．如圖，路燈〔P點(diǎn)〕距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部〔O點(diǎn)〕20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？12．陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)〔如下圖〕，亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．13．如圖，李華晚上在路燈下散步．李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．〔1〕假設(shè)李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和〔DA+AC〕是否是定值請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕假設(shè)李華在點(diǎn)A朝著影子〔如圖箭頭〕的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度v2．14．：如圖，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．15．：如圖Rt△ABC∽R(shí)t△BDC，假設(shè)AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的長(zhǎng)；〔2〕過(guò)B作BE⊥DC于E，求BE的長(zhǎng)．相似三角形一．解答題〔共30小題〕1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．〔1〕求證：△CDF∽△BGF；〔2〕當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E，假設(shè)AB=6cm，EF=4cm，求CD的長(zhǎng)．分析：〔1〕利用平行線的性質(zhì)可證明△CDF∽△BGF．〔2〕根據(jù)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)這一條件，可得△CDF≌△BGF，則CD=BG，只要求出BG的長(zhǎng)即可解題．3．如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．點(diǎn)評(píng)：此題很簡(jiǎn)單，考察的是相似三角形的判定定理：〔1〕如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似；〔2〕如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，則這兩個(gè)三角形相似；〔3〕如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似．4．如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．*一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：〔1〕經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？〔2〕是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？假設(shè)存在，求t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：〔1〕關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可設(shè)時(shí)間為*，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如此題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；〔2〕先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說(shuō)明存在，反之則不存在．解答：〔1〕設(shè)經(jīng)過(guò)*秒后，〔6﹣2*〕*=×3×6，得*1=1，*2=2，〔2〕假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①，或②解①，得t=；解②，得t=經(jīng)檢驗(yàn)，t=或t=都符合題意12．：P是正方形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，M是CD的中點(diǎn)，試說(shuō)明：△ADM∽△MCP．分析：欲證△ADM∽△MCP，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形已經(jīng)具備一組角對(duì)應(yīng)相等，即∠D=∠C，此時(shí)，再求夾此對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可．6．矩形ABCD，長(zhǎng)BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．假設(shè)P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似？分析：要使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似，則要分兩兩種情況進(jìn)展分析．分別是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，從而解得所需的時(shí)間．解答：解：設(shè)經(jīng)*秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，〔1〕當(dāng)∠1=∠2時(shí)，有：，即；〔2〕當(dāng)∠1=∠3時(shí)，有：，即，∴經(jīng)過(guò)秒或2秒，△PBQ∽△BCD．7．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．問(wèn)當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況：〔1〕當(dāng)Rt△ABC∽R(shí)t△ACD時(shí)，有=，∴AB==3；〔2〕當(dāng)Rt△ACB∽R(shí)t△CDA時(shí)，有=，∴AB==3．8．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)．假設(shè)Q、P分別同時(shí)從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過(guò)多少秒后，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBA相似？解答：解：設(shè)經(jīng)過(guò)*秒后，兩三角形相似，則CQ=〔8﹣2*〕cm，CP=*cm，∵∠C=∠C=90°，當(dāng)或時(shí)，兩三角形相似．〔1〕當(dāng)時(shí)，，∴*=；〔2〕當(dāng)時(shí)，，∴*=．19．如下圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．解答：解：〔1〕假設(shè)點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，C，P對(duì)應(yīng)，即△APD∽△BCP，∴=，=，AP2﹣7AP+6=0，AP=1或AP=6，檢測(cè)：當(dāng)AP=1時(shí)，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．當(dāng)AP=6時(shí)，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，△APD∽△BCP．〔2〕假設(shè)點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，P，C對(duì)應(yīng)，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．檢驗(yàn)：當(dāng)AP=時(shí)，由BP=，AD=2，BC=3，=，∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．此，點(diǎn)P的位置有三處，即在線段AB距離點(diǎn)A的1、、6處．10．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開場(chǎng)向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開場(chǎng)向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t〔秒〕表示移動(dòng)的時(shí)間，則當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．分析：假設(shè)以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，有四種情況：①△APQ∽△BAC，此時(shí)得AQ：BC=AP：AB；②△APQ∽△BCA，此時(shí)得AQ：AB=AP：BC；③△AQP∽△BAC，此時(shí)得AQ：BA=AP：BC；④△AQP∽△BCA，此時(shí)得AQ：BC=AP：BA．可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段求出t的值．11．如圖，路燈〔P點(diǎn)〕距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部〔O點(diǎn)〕20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？分析：如圖，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質(zhì)求解．12．陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)〔如下圖〕，亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．分析：因?yàn)楣饩€AE、BD是一組平行光線，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，則有，從而算出BC的長(zhǎng)．〔BC=4米〕13.如圖，李華晚上在路燈下散步．李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．〔1〕假設(shè)李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和〔DA+AC〕是否是定值請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕假設(shè)李華在點(diǎn)A朝著影子〔如圖箭頭〕的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度v2．解答：解：〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根據(jù)題意設(shè)李華由A到A'，身高為A'B'，A'C'代表其影長(zhǎng)〔如圖〕．由〔1〕可知，即，∴