指數(shù)函數(shù)經(jīng)典題目

指數(shù)函數(shù)經(jīng)典題目第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日識(shí)記與理解?練習(xí)：（口答）判斷下列函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，為什么？√√第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例1

已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，求f(0),f(1),f(-3)。

解:因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),所以f(2)=4,即,解得a=2,于是f(x)=所以,f(0)=1,f(1)=2,f(-3)=8__1第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日—x21.一般地，函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是

，函數(shù)的定義域是

值域是

.2.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)，當(dāng)

時(shí)，在(-∞,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，在(-∞,+∞)上是減函數(shù).3.y=ax(a>0,且a≠1)的圖象一定過(guò)點(diǎn)

.當(dāng)a>1時(shí)，若x>0,則y

，若x<0，則y

;當(dāng)0<a<1時(shí)，若x>0,則y

,若x<0，則y

.4.函數(shù)y=2的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向

平移

個(gè)單位得到的；函數(shù)y=2

(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向

平移個(gè)

單位得到的；函數(shù)y=a(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向

平移個(gè)

單位得到的.xm+y=ax(a＞0,且a≠1)自變量R（0,+∞）a>10<a<1(0,1)>1∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m—xm第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱(chēng)；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱(chēng).6.當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)

；當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).y軸原點(diǎn)f(x)>g(x)5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱(chēng)；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關(guān)于

對(duì)稱(chēng).6.當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)

；當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)點(diǎn)一基本概念指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a>,且a≠1.）【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.【解析】由定義，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù).由此可以確定（1）（5）（8）是指數(shù)函數(shù).（2）不是指數(shù)函數(shù).（3）是-1與指數(shù)函數(shù)4x的積.第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日(4)中底數(shù)-4<0,所以不是指數(shù)函數(shù).(6)是二次函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).(7)底數(shù)x不是常數(shù),不是指數(shù)函數(shù).第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日已知指數(shù)函數(shù)y=(m2+m+1)·（）x,則m=

.解：∵y=(m2+m+1)·（）x為指數(shù)函數(shù),∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.0或-1第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日求下列函數(shù)的定義域、值域:（1）y=2;（2）y=（）（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}.（2）定義域?yàn)閤∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域?yàn)閧y|y≥1}.（3）定義域?yàn)镽.∵y=4x+2x+1+1=(2)2+2·2x+1=(2+1)2,且>0,∴y>1.故y=4x+2x+1+1的值域?yàn)閧y|y>1}.XX第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（4）令≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1.故定義域?yàn)閧x|x<-1或x≥1}.值域?yàn)閧y|y≥0,且y≠10}.第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日（1）要使函數(shù)有意義，必須1-x≠0，即x≠1,∴函數(shù)的定義域是{x|x∈R,且x≠1}.（2）要使函數(shù)有意義，必須-≥0,則≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1}.求下列函數(shù)的定義域:（1）y=2;（2）y=；（3）第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日(3)∵1-≥0∴≤1,∴x≥0,即定義域?yàn)閧x|x≥0}.第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日【解析】（1）指數(shù)函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數(shù).∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.（2）函數(shù)y=0.8x，由于0<0.8<1,∴指數(shù)函數(shù)y=0.8x在(-∞,+∞)上為減函數(shù).∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日討論函數(shù)f(x)=的單調(diào)性,并求其值域.∵f(x)的定義域?yàn)镽,令u=-x2+2x,則f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函數(shù),即當(dāng)時(shí)，有.又∵f(u)=在其定義域內(nèi)為減函數(shù),∴.∴函數(shù)f(x)在(-∞,1］上為減函數(shù),同理可得f(x)在［1,+∞)上為增函數(shù).又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1］上是減函數(shù),∴f(u)≥.即f(x)的值域?yàn)榈谑?yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,當(dāng)t=時(shí)，y=;當(dāng)t=8時(shí)，y=57.∴函數(shù)的最大值為57,最小值為.求函數(shù)y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令=t，化函數(shù)為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求解.第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日已知函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>1)在區(qū)間［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a>1,∴t∈.原函數(shù)化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴單調(diào)增區(qū)間是［-1,+∞),∴當(dāng)t∈時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,∴當(dāng)t=a時(shí),=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a>1,∴a=3.第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日畫(huà)出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象指出這個(gè)函數(shù)的一些重要性質(zhì).【解析】其圖象是由兩部分合成的，一是把y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位，在x≥1的部分，二是把的圖象向右平移1個(gè)單位，在x<1的部分，對(duì)接處的公共點(diǎn)為(1,1)，如上圖.第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日由圖象可知函數(shù)有三個(gè)重要性質(zhì)：（1）對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)軸為x=1;（2）單調(diào)性：(-∞,1］上單調(diào)遞減，［1,+∞)上單調(diào)遞增；（3）函數(shù)的值域：［1,+∞).第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日畫(huà)出函數(shù)y=2x-1+1的圖象，然后指出其單調(diào)區(qū)間及值域.先畫(huà)出指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象，然后將其向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位即可，由圖象可看出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞),函數(shù)的值域?yàn)?1,+∞).第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)=a-(x∈R).（1）證明：不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)均為增函數(shù)；（2）試確定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.(1)證明：設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2，x1-x2<0,則f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1<x2,所以,即.第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日又由2x>0得所以f(x1)-f(x2)<0,因?yàn)榇私Y(jié)論與a的取值無(wú)關(guān)，所以不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)均為增函數(shù).（2）由f(-x)+f(x)=0得得a=1.第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日刪除第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例題第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例4指數(shù)函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換，可以得到函數(shù)y＝3x＋1＋1的圖象，并畫(huà)出它的圖象．解把函數(shù)y＝3x的圖象向左平移一個(gè)單位得到函數(shù)y＝3x＋1的圖象，再把函數(shù)y＝3x＋1的圖象向上平移1個(gè)單位就得到函數(shù)y＝3x＋1＋1的圖象，如圖．___第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

知識(shí)要點(diǎn)1.整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算法則第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)（1）根式的定義；（2）根式的性質(zhì)；（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；一般地，若則x叫做a的n次方根n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=|a|=第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)函數(shù)y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使y1<y2的x的值.解:(1)當(dāng)a>1時(shí)，使y1<y2,由性質(zhì)(3)有2x2+1<x2+5x2<4

-2<x<2

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，使y1<y2,由性質(zhì)(3)有2x2+1>x2+5x2>4

x>2或x<-2即解為{x|x>2或x<-2}

第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日求下列各等式中的x的值(1)2x2+1=2x+3；(2)22x-3(2x)-4=0解(1)要使兩個(gè)同底的冪相等，只需它們的冪指數(shù)相等，所以由原式得x2+1=x+3

即x2–x-2=0∴x=-1或2

(2)設(shè)z=2x，原等式化為z2-3z-4=0(z+1)(z-4)=0即z=-1(舍去)或z=4由2x=4，得x=2

第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例1,比較下列各題中幾個(gè)值的大小：

（1）（2）Oxy(0,1)y=1Oxy(0,1)y=1第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

解：

(1)考察函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.7＞1，所以指數(shù)函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù).∵2.5＜3,∴1.72.5＜1.73

(2)

考察函數(shù)y=0.8x.由于底數(shù)0.8﹤1，所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x在R上是減函數(shù).∵－0.1﹥－0.2,∴0.8–0.1﹤0.8–0.2

第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日

(3)已知2m﹤2n判斷m,n的大小

(4)已知am﹥an(0﹤a﹤1)判斷m,n的大小解:(3)考察函數(shù)y=2x，由于底數(shù)２﹥1,所以指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)。∵2m﹤2n∴m﹤n.

(4)考察函數(shù)y=ax.由于底數(shù)0﹤a﹤1,所以指數(shù)函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù)∵am﹥an∴m﹤n.

第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日求下列函數(shù)的定義域和值域.解:(1)要使函數(shù)有意義，必須使x≠0，所以定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞);因?yàn)閤≠0，則y≠1所以函數(shù)的值域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).(2)要使函數(shù)有意義，必須使x-1≥0，即x≥1,所以定義域?yàn)閇1,+∞);因?yàn)橹笖?shù)大于等于0，所以y≥1，即函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日(1,+)(0,+)[1,+)(0,1](-1/2,0)><二、課前練習(xí)第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，2022年，8月28日例4.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象．則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()在y軸右側(cè)的圖象，底大圖高.xyo①②③④a<b<1<c<dB.b<a<1