高等代數習題解答(第一章)

高等代數習題解答第一章多項式補充題1．當取何值時，多項式與相等？提示：比較系數得.補充題2．設，，證明：．證明假設不成立．若，則為偶數，又等于0或次數為偶數，由于，首項系數（如果有的話）為正數，從而等于0或次數為奇數，矛盾．若或則為奇數，而或為偶數，矛盾．綜上所證，．1．用g(x)除f(x)，求商q(x)與余式r(x)：1）f(x)=x3-3x2-x-1，g(x)=3x2-2x1；2）f(x)=x4-2x5，g(x)=x2-x2．1）解法一待定系數法．由于f(x)是首項系數為1的3次多項式，而g(x)是首項系數為3的2次多項式，所以商q(x)必是首項系數為的1次多項式，而余式的次數小于2．于是可設q(x)=xa,r(x)=bxc根據f(x)=q(x)g(x)r(x)，即x3-3x2-x-1=(xa)(3x2-2x1)bxc右邊展開，合并同類項，再比較兩邊同次冪的系數，得,

,

解得,,，故得解法二帶余除法．

3

-2

1

1

-3

-1

-11

-1得2）2．適合什么條件時，有1）2）1）解除得余式為：，令，即故的充要條件是2）解除得余式為：，令，即解得的充要條件是或3．求除的商與余式：1）2）1）解法一用帶余除法（略）．解法二用綜合除法．寫出按降冪排列的系數，缺項的系數為0：-3

2

0

-5

0

-8

0

-6

18

-39

117

-3272

-6

13

-39

109

-327所以2）解法一用帶余除法（略）．解法二用綜合除法．寫出按降冪排列的系數，缺項的系數為0：1-2i

1

-1

-1

0

1-2i

-4-2i

-98i1

-2i

-5-2i

-98i所以4．把表成的方冪和，即表成的形式：1）2）3）注設表成的形式，則就是被除所得的余數，就是被除所得的商式再被除所得的余數，逐次進行綜合除法即可得到

1）解用綜合除法進行計算1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

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2

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41

2

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51

1

3

6

1

3

6

101

1

4

1

4

101

115所以2）3）略5．求與的最大公因式：1）2）3）1）解用輾轉相除法

1

1

-1

-1

1

1

-3

-4

-1

1

01

1

1

-1

-1-1

-2

-3

-1-2

-2-1

-1-1

-10所以2）3）6．求使1）；2）；3）．1）解用輾轉相除法

1

1

1

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-2

-2

1

2

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-4

-211

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01

01

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0

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0

-2

0由以上計算得因此，且所以．2），．3），．7．設的最大公因式是一個二次多項式，求的值．解略．8．證明：如果且為與的一個組合，那么是與的一個最大公因式．證明由于，所以為與的一個公因式．任取與的一個公因式，由已知為與的一個組合，所以．因此，是與的一個最大公因式．9．證明：，（的首項系數為1）．證明因為存在多項式和使，所以，這表明是與的一個組合，又因為，從而，故由第8題結論，是與的一個最大公因式．注意到的首項系數為1，于是．10．如果不全為零，證明：．證明存在多項式和使，因為不全為零，所以，故由消去律得，所以．11．證明：如果不全為零，且，那么．證明因為不全為零，故，從而由消去律得，所以．12．證明：如果，，那么．證法一用反證法．假設，則，從而有不可約因式，于是，但因為，所以不整除，所以，這與矛盾．因此．證法二由題設知，存在多項式，使得，，兩式相乘得，所以．13．設都是多項式，而且求證：證法一反復應用第12題的結果證法二反證法14．證明：如果，那么．證明由于，所以存在多項式和使，由此可得即于是，，應用第12題的結論可得．注也可以用反證法．15．求下列多項式的公共根：提示用輾轉相除法求出于是得兩多項式的公共根為16．判別下列多項式有無重因式：1）；2）1）解由于，用輾轉相除法可求得，故有重因式，且是它的一個3重因式．2）解由于，用輾轉相除法可求得，故無重因式．17．求值使有重根．解．先用除得余式．當時，．此時，所以，所以1是的3重根．當時，．再用除得余式．故當時，．此時，，所以是的2重根．當且時，，則，此時無重根．綜上，當時，有3重根1；當時，有2重根．18．求多項式有重根的條件．解略．19．如果，求．解法一設，則．因為，所以1是的重根，從而1也是的根．于是且，即解得．解法二用除得余式為，因為，所以，故解得．20．證明：沒有重根．證法一設，則．因為，所以．于是沒有重根．證法二設，則．假設有重根，則且，從而，得，但不是的根，矛盾．所以沒有重根．21．略．22．證明：是的重根的充分必要條件是，而．證明（必要性）設是的重根，從而是的重根，是的重根，…，是的單根，不是的根，于是，而．（充分性）設，而，則是的單根，是的2重根，…，是的重根．23．舉例說明斷語“如果是的m重根，那么是的m1重根”是不對的．解取，則．是的m重根，但不是的m1重根．注：也可以取具體的，如．24．證明：如果，那么．證明略．25．證明：如果，那么．證明，其中．由于，故存在多項式使得，因此解得，從而．26．求多項式在復數范圍內和實數范圍內的因式分解．解多項式的n個復根為，所以在復數范圍內的分解式為．在實數范圍內，當n為奇數時：，當n為偶數時：．27．求下列多項式的有理根：1）；2）；3）．1）解多項式可能的有理根是．，．由于都不是整數，所以多項式可能的有理根只有2．用綜合除法判別：2

1

-6

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-14

2

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14

2

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7

0

2

-4

1

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3≠0所以2是多項式的有理根（單根）．注：一般要求指出有理根的重數．計算量較小的話，也可以直接計算，如本題可直接算得，說明2是的有理根，再由知．2是單根．用綜合除法一般比較簡單．2）答（2重根）．3）答（4重根），3（單根）．28