優(yōu)選課件：高中數(shù)學(xué)人教A版 必修 第二冊 直線與平面垂直的判定

8.6.2直線與平面垂直如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面

α互相垂直，記作l⊥α.平面

α的垂線直線

l

的垂面垂足復(fù)習(xí)引入直線與平面垂直的定義如果一條直線垂直一個(gè)面，這條線就垂直這個(gè)面內(nèi)所有的直線.l^a線面垂直的定義常這樣使用：文字語言：

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.(線線垂直線面垂直)mnPlα線不在多，貴在相交！復(fù)習(xí)引入直線與平面垂直的判定定理圖形語言：符號語言：1.平面的斜線

如果一條直線l和一個(gè)平面α相交但不垂直，這條直線l叫做這個(gè)平面α的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.斜線斜足αlA探究新知

過斜線l上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.2.射影垂線射影垂足OP3.斜線與平面所成的角

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.斜線與平面所成角的范圍是(0°,90°)4.線面所成角的范圍：規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它所成的角是

角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，我們說它所成的角是

的角.直線與平面所成的角θ的取值范圍是什么?直0°探究新知[0°，90°]思考：如圖，∠BAD為斜線AB與平面α所成的角，AC為平面α內(nèi)任意一條不與直線AD重合的直線，那么∠BAD與∠BAC的大小關(guān)系如何？DαCAB【最小角定理】斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.aαlb思考：如圖，直線l是平面α的一條斜線，它在平面α內(nèi)的射影為b，直線a在平面α內(nèi)，如果a⊥b，那么直線a與直線l垂直嗎？為什么？反之成立嗎？并用命題的語言來描述！【三垂線定理】如果平面內(nèi)的一條直線和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.【逆定理】如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.探究新知典例分析例1

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.O分析：關(guān)鍵是找出直線A1B在平面A1DCB1上的射影.，典例分析O1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于______；AB1與平面ADD1A1所成的角等于_________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于_________．

0°45°45°鞏固練習(xí)觀察：國旗所在的旗桿與地面都是垂直的，你能發(fā)現(xiàn)什么?旗桿互相平行創(chuàng)設(shè)情境問題1：如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1,DD1所在直線與底面ABCD的位置關(guān)系如何？它們彼此之間具有什么位置關(guān)系？AA1BCDB1C1D1探究新知問題2：一個(gè)平面的垂線有多少條？這些直線彼此之間具有什么位置關(guān)系？問題3：如果直線a，b都垂直于平面α，由觀察可知a//b，從理論上如何證明這個(gè)結(jié)論？abα探究新知已知：求證：反證法證明命題的一般步驟：否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論經(jīng)過同一點(diǎn)O的兩直線b,b'都垂直于α是不可能的，所以a∥b.證明：假定b與a不平行.設(shè)b∩α=O，經(jīng)過點(diǎn)O作直線b'與直線a平行∵a∥b',a⊥α∴b'⊥αOb'直線與平面垂直的性質(zhì)定理定理

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

用符號語言可表述為：探究新知線面垂直線線平行(揭示了平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系)思考：在a⊥α的條件下，如果平面α外的直線b與直線a垂直，你能得到什么結(jié)論？baαβaαnm如果平面β與平面α平行，你又能得到什么結(jié)論？aαb例2

正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF與異面直線AC、A1D都垂直且相交，分別交A1D、AC于E、F.求證：EF∥BD1.證明：連接A1C1、C1D、B1D1、AD1

∵AC∥A1C1

且EF⊥AC∴EF⊥A1C1又EF⊥A1D,A1C1∩A1D=A1∴EF⊥平面A1C1D∵AB⊥A1D,AD1⊥A1D,AB∩AD1=A∴A1D⊥平面ABD1∴BD1⊥A1D同理可證BD1⊥A1C1，又A1D∩A1C1=A1∴