高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點規(guī)范練13函數(shù)模型及其應(yīng)用含解析新人教A版

PAGEPAGE8考點規(guī)范練13函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固1.某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為()答案:D解析:由題意可得y=(1+10.4%)x,函數(shù)是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù),故選D.2.某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100答案:C解析:根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型.3.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為()A.800米 B.900米C.1000米 D.1200米答案:A解析:設(shè)這個廣場的長為x米,則寬為40000x米.故其周長為l=2x+40000x4.一塊銳角三角形空地如圖所示,欲在其中建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]答案:C解析:設(shè)矩形的另一邊長為ym,則由三角形相似知,x40=40-y40∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.5.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A.100臺 B.120臺C.150臺 D.180臺答案:C解析:設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量是150臺.6.某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當(dāng)每套房月租金定為3000元時,這70套公寓能全租出去;當(dāng)月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會多一套房子租不出去.設(shè)租出的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)租不出去的房子不需要花這些費用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應(yīng)定為()A.3000元 B.3300元C.3500元 D.4000元答案:B解析:由題意,設(shè)利潤為y元,租金定為(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤5058+x+70當(dāng)且僅當(dāng)58+x=70-x,即x=6時,等號成立,故每月租金定為3000+300=3300(元)時,公司獲得最大利潤,故選B.7.(2021全國Ⅱ,文6)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010≈1.259)(A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案:C解析:由題意L=5+lgV,當(dāng)L=4.9時,有4.9=5+lgV,lgV=-0.1,V=1100.18.根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與MN最接近的是((參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案:D解析:設(shè)MN=x=33611080,兩邊取對數(shù),得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈10939.一個人以6m/s的速度去追趕停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25m時交通燈由紅變綠,汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進(jìn)方向相同),汽車在時間t內(nèi)的路程為s=12t2m,則此人(A.可在7s內(nèi)追上汽車B.可在9s內(nèi)追上汽車C.不能追上汽車,但期間最近距離為14mD.不能追上汽車,但期間最近距離為7m答案:D解析:已知s=12t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.當(dāng)t=6時,d取得最小值710.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0A.60 B.63 C.66 D.69答案:C解析:由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*11.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是()A.40萬元 B.60萬元C.120萬元 D.140萬元答案:C解析:甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙4元時該商人全部買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.12.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是.

答案:16解析:由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t(萬元),分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)(1+1.2x%)t,則0<x<100,x因為x∈N*,所以x的最大值為16.能力提升13.某食品的保鮮時間y(單位:h)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時間是192h,在22℃的保鮮時間是48h,則該食品在33℃的保鮮時間是()A.16h B.20h C.24h D.28h答案:C解析:由題意,得(0,192)和(22,48)是函數(shù)y=ekx+b圖象上的兩個點,所以192=由②得,48=e22k·eb,③把①代入③得e22k=48192即(e11k)2=14,所以e11k=1所以當(dāng)儲藏溫度為33℃時,保鮮時間y=e33k+b=(e11k)3·eb=1814.“好酒也怕巷子深”,許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R=aA(a為常數(shù)),廣告效應(yīng)為D=R-A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng),投入的廣告費應(yīng)為.(用常數(shù)a表示)

答案:14a解析:令t=A(t≥0),則A=t2,∴D=aA-A=at-t2=-t-12∴當(dāng)t=12a,即A=14a2時,D15.為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷,某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:①若不超過200元,則不予優(yōu)惠;②若超過200元,但不超過500元,則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠;③若超過500元,則其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.辛云和她母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設(shè)他們一次性購買上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為.

答案:546.6元解析:依題意,價值為x元的商品和實際付款額f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=x當(dāng)f(x)=168時,由168÷0.9≈187<200,故此時x=168;當(dāng)f(x)=423時,由423÷0.9=470∈(200,500],故此時x=470.故兩次共購得價值為470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性購買上述商品,應(yīng)付款額為546.6元.16.某商家推行親子款十二生肖紀(jì)念章.通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:上市時間x/天41036市場價y/元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),為描述親子款十二生肖紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系,從下列函數(shù)中選取一個最佳的函數(shù)模型是.

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你選取的函數(shù),求親子款十二生肖紀(jì)念章的市場價最低時的上市時間及最低價格.(3)設(shè)你選取的函數(shù)為y=f(x),若對任意實數(shù)k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個相異實數(shù)根,求m的取值范圍.解:(1)由于市場價y隨上市時間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調(diào)函數(shù),不符合題意,故選擇二次函數(shù)模型②.(2)由表中數(shù)據(jù)可知16a+4∴函數(shù)模型為y=14x2-10x+126=14(x-20)2+∴當(dāng)市場價最低時的上市時間為20天,最低價格為26元.(3)∵f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+∴14x2-(10+k)x+6-2m=∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒