初中數(shù)學(xué)全等巧用“目標(biāo)三角形法”構(gòu)造全等

——例談構(gòu)造全等三角形的一般策略全等三角形是解決初中數(shù)學(xué)中圖形問題的重要的基礎(chǔ)知識(shí)和工具通構(gòu)造全等三角形，整合問題中隱含的解題信息，是常見的解題策略.本文以一道典型的求角度問題為例，從邊入手，使解題需要的全等三角形自然生一、問題及解題困惑題目如，在中，為鈍角，延長(zhǎng)到D，延長(zhǎng)到點(diǎn)，連結(jié)DE，有ADBC，BAC的度數(shù)。解題困在弄清問題的已知條件后，多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求角的度數(shù)，條件中卻沒有任何角度信息，只有兩組相等的線段此，圖中的兩個(gè)等腰三角形DAE無法確定其底角和頂角之間的關(guān)系，不能求出的數(shù)

和ABC

，也進(jìn)步分析發(fā)現(xiàn)，兩組相等的線段分布在兩個(gè)不同的三角形中，且隱含那么，是否要通過三角形全等將已知條件進(jìn)行整合，才能打開解題之門?圖中并沒有全等三角形，故只.通過添加輔助線構(gòu)造全等三角而輔助線如何添加呢(3)有學(xué)生回答，過點(diǎn)

作BC

的平行線，過點(diǎn)C

作AD

的平行線來構(gòu)造一個(gè)平行四邊形從而把相等線段轉(zhuǎn)移組合，用來構(gòu)造全等三角形，最借助一個(gè)等邊三角形解決問.然添加上述輔助線可以求出角度，但學(xué)生自己并不清楚，為什么添加這樣的輔助?基于以上種種困惑，下面采取“目標(biāo)三角形法”來進(jìn)行解法分.二、綜合分析尋求解題策略從結(jié)論看，求BAC

的度數(shù)，一般的策略是弄清等腰三角形底角和頂角的關(guān)系，通過三角形內(nèi)角和列方程求解也可以利用線段關(guān)系產(chǎn)生特殊三角如正三角形、等腰直角三角形等求.而已知條件中沒有任何角度信息相等線段會(huì)產(chǎn)生特殊的三角.這里，只有把CE這條看似與角無關(guān)的線段進(jìn)行遷移與他線段合理整合才找到隱藏于相等線段之中的角之間的深層關(guān)系.據(jù)題目所給的條件作出適合的輔助線，構(gòu)造出全等三角形能使問題中隱含的關(guān)解題信息通過全等三角的橋梁作用清晰地展現(xiàn)出來問題的解決具有決定性的作用三、選擇目標(biāo)三角形。從邊入手構(gòu)造全等三角形以上圖1中，已知

ADBCCE

，且

AC

，則

EA

，所以

含有已知條件中的主要解題信息，故選擇

作為目標(biāo)三角形.然根據(jù)

的邊和角的特征，添加輔助線構(gòu)造與之全等的三角形從入手，若以DE為應(yīng)邊，則應(yīng)構(gòu)造以為的等腰三角形與之全等，所構(gòu)造三角形的底角應(yīng)DEA等這，輔助線的作法已清晰明了，全等三角形便可自然生解法如，過點(diǎn)C作//，EA.

連結(jié)

EF

，則

，∴

EF

，∵

，∴BCEFDE又∵BDAE，

∴BD連結(jié)，∵

，∴四邊形BDFC

是平行四邊形，則DEEF

，∴EDF是邊三角形，則

設(shè)ABCx

，則BAC180

，

，EAD

，EDA

，由EDA

，得180

，解得x

，∴

解法如3所，過點(diǎn)

作DF

(或作BDF

)，使DFEC

，則四邊形EDFC

是平行四邊形，∴

連結(jié)BF,CF，F(xiàn)DB

，∴BF，BFD

∵

ADBCCEDE

，∴

BFFCBC

，BCF

為等邊三角.設(shè)則

BFDxCFD60

∵

EAD180

，∴

2(60180

，

解得x20則

，∴

四、解題回顧與反思此題的已知信息主要是兩組相等線(ABAC，BCCEDE)求BAC的度數(shù)卻沒有相關(guān)角度數(shù)的明顯信息而等腰三角形的角度一般需要知道同一三角形的底角和頂角的關(guān)系以此題須明圖中

DAE

和BAC

間的深層關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵由BCCEDE

，試圖從邊入手構(gòu)造全等三角形，為確定相關(guān)角之間的關(guān)系創(chuàng)造條件，或?qū)⑾嗟染€段平移構(gòu)造等邊三角形以產(chǎn)生°角，為求角度提明確的信息.、選準(zhǔn)目標(biāo)三角形，多種解法自然生成從以上解題過程看出，求BAC關(guān)鍵是把相等線段轉(zhuǎn)移整合構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，產(chǎn)生60°的特殊角，而線段的轉(zhuǎn)移是通過構(gòu)造全等三角來完成.造全等三角形是基于選準(zhǔn)目標(biāo)法便自然生.

，根據(jù)其邊角的特點(diǎn)，構(gòu)造與之全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的輔助線作解法中過C

作CF//AD

是為了產(chǎn)生一組對(duì)應(yīng)作CF

是為了滿足全等的條件這里目標(biāo)

的確定晰確定了構(gòu)造與之等三角形的輔助線作.按這個(gè)策略思考還能得到如下的輔助線作解法如以為目三角形，DE,為角的對(duì)應(yīng)為造等腰三角形的頂點(diǎn)，則過

E

作EFAD

，使EFAE

連結(jié)

BFCF

，則

BFC

為等邊三角以下過程略解法4如以DAE為標(biāo)三角形，EA,DB為角形的對(duì)應(yīng)邊，則過點(diǎn)B作BF，使BF.連結(jié)

DFEF

，則

DFE

為等邊三角這樣，通過列方程同樣可求出

過略

這里采取的作平行線的方法是為了產(chǎn)生相等的內(nèi)錯(cuò)角作為全等三角形的對(duì)應(yīng)角當(dāng)然，也可以直接選擇構(gòu)造三角形的頂點(diǎn)，作一個(gè)角等于某個(gè)如解法，以為對(duì)應(yīng)邊，過點(diǎn)

作FDBDEA

使

則FDB

且邊形EDFC

為菱形，這樣BFC

為等邊三角形作怎樣的輔助線完全是由標(biāo)三角形決定的，理解了這一點(diǎn)就不會(huì)有“我怎么想不到過點(diǎn)

作DF

”的遺憾了、綜合分析確認(rèn)解題條件，基于認(rèn)知選擇目標(biāo)三角形用“目標(biāo)三角形法”構(gòu)造全等三角形的前提是:先選擇原圖中的目標(biāo)三角形，這個(gè)三角形必須含有所求角或含有與所求角有密切關(guān)聯(lián)的角，其所在的邊與圖中線段有相等關(guān)系，即這個(gè)三角形必須包含重要的解題條件，它是構(gòu)造全等三角形的思維起點(diǎn).然根據(jù)目標(biāo)三角形的有關(guān)信息，確定輔助線的作法如角相等、過某點(diǎn)作某線段的平行線、垂線，作角的平分線等等二以上四個(gè)解法都是基于目標(biāo)

，它以四條相等線段中兩條為腰，

為解題信息，構(gòu)造與之全等的三角.在具體的解題中，若圖形中有幾個(gè)不同的三角形都可以作為“目標(biāo)三角形就需要我們根據(jù)題目信息，準(zhǔn)確選擇“目標(biāo)三角形.例如，前面的問題，若選擇ABC為目標(biāo)三角形;則以產(chǎn)生以BCCE

為條件的等邊三角形當(dāng)然目標(biāo)三角形也可以在原圖中通過添加輔助線來構(gòu)造從生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和解法自然的角度看優(yōu)選擇原圖中的三角形作為目標(biāo)三角形.總之利用構(gòu)造的全等三角形將題目中的條件聚焦整合容易找到隱藏于圖形中各要素之間的深層關(guān)系，激活解題信息，使數(shù)學(xué)問題較輕松地解決添輔助線