高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(2)(文)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例1解:(1)由已知

f(x)=3x2-x-2,(2)命題等價(jià)于

f(x)

在

[-1,2]

上的最大值小于

m.單調(diào)遞增區(qū)間是

(-∞,-

)

和

(1,+∞).

23設(shè)

f(x)=x3-

x2-2x+5.(1)求函數(shù)

f(x)

的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;(2)當(dāng)

x[-1,2]

時(shí),f(x)<m

恒成立,求實(shí)數(shù)

m

的取值范圍.12令

f(x)<0

得

-

<x<1;23令

f(x)>0

得

x<-或

x>1.23∴y=f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間是

(-

,1);2323令

f(x)=0

得

x=-

或

1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5

,12f(-

)=5,232722∴f(x)

在

[-1,2]

上的最大值為

7.∴7<m.故實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

(7,+∞).

精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例2已知函數(shù)

f(x)=x5+ax3+bx+1

僅當(dāng)

x=-1,x=1

時(shí)取得極值,且極大值比極小值大

4,求

a,b

的值.解:∵f(x)=5x4+3ax2+b,又當(dāng)

x=-1,x=1

時(shí)

f(x)

取得極值,∴f(1)=f(-1)=0.即

5+3a+b=0.∴b=-3a-5.①代入

f(x)

得,f(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)].∴5x2+(3a+5)0

恒成立.∵僅當(dāng)

x=-1,x=1

時(shí)

f(x)

取得極值,∴3a+5>0.∴x>-

.53故當(dāng)

x<-1

或

x>1

時(shí),f(x)>0;當(dāng)

-1<x<1

時(shí),f(x)<0.∴當(dāng)

x=-1

時(shí),f(x)

取得極大值;當(dāng)

x=1

時(shí),f(x)

取得極小值.∵函數(shù)

f(x)

的極大值比極小值大

4,∴f(-1)-f(1)=4.即

(-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4.整理得

a+b=-3.②由

①,②

得

a=-1,b=-3.故

a,b

的值分別為

-1,-3.精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例3設(shè)函數(shù)

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函數(shù)

f(x)

的單調(diào)區(qū)間、極值;(2)若當(dāng)

x[a+1,a+2]

時(shí),恒有

|f(x)|≤a,試確定

a的取值范圍.13解:(1)由已知

f(x)=-x2+4ax-3a2,

∵0<a<1,∴a<3a.令

f(x)=0

得

x=a

或

x=3a.當(dāng)

x

變化時(shí),f(x),f(x)

的變化情況如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f(x)-0+0-f(x)

極小值極大值由上表可知,

f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

(a,3a),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,a)

和

(3a,+∞).當(dāng)

x=a

時(shí),

f(x)

取極小值

f(a)=-

a3+b;43當(dāng)

x=3a

時(shí),

f(x)

取極大值

f(3a)=b.精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例3設(shè)函數(shù)

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函數(shù)

f(x)

的單調(diào)區(qū)間、極值;(2)若當(dāng)

x[a+1,a+2]

時(shí),恒有

|f(x)|≤a,試確定

a的取值范圍.13解:(2)∵0<a<1,∴2a<a+1.∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,

∴f(x)=-x2+4ax-3a2在

[a+1,a+2]

上為減函數(shù).f(x)min=f(a+2)=4a-4.

∵當(dāng)

x[a+1,a+2]

時(shí),恒有

|f(x)|≤a,即-a≤f(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a

且

2a-1≤a.

解得

≤a≤1.

45又

0<a<1,故

a

的取值范圍是[

,1).45精選ppt已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在

x=0

處取得極值,曲線

y=f(x)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)

P(-1,2).若曲線

f(x)

在點(diǎn)

P

處的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角.(1)求

f(x)

的解析式;(2)若

f(x)

在區(qū)間

[2m-1,m+1]

遞增,求

m

的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例4解:(1)∵曲線

y=f(x)=ax3+bx2+cx+d

過(guò)原點(diǎn),∴

f(0)=0d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.∵函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx

在

x=0

處取得極值,∴f(0)=0c=0.∵過(guò)點(diǎn)

P(-1,2)

的切線斜率為

f(-1)=3a-2b,而曲線

f(x)在點(diǎn)

P

的切線與直線y=2x

的夾角為45,且傾角為鈍角,解得

f(-1)=-3.又

f(-1)=2,∴||=1

且

f(-1)<0.2-f(-1)1+2f(-1)∴3a-2b=-3

且

-a+b=2.解得

a=1,b=3.∴f(x)=x3+3x2.精選ppt已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在

x=0

處取得極值,曲線

y=f(x)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)

P(-1,2).若曲線

f(x)

在點(diǎn)

P

處的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角.(1)求

f(x)

的解析式;(2)若

f(x)

在區(qū)間

[2m-1,m+1]

遞增,求

m

的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例4解:(2)由(1)知

f(x)=3x2+6x.又由

f(x)>0x<-2

或

x>0,∴f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

(-∞,-2]

和

[0,+∞).∵函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[2m-1,m+1]

遞增,

∴2m-1<m+1≤-2

或

m+1>2m-1≥0.∴[2m-1,m+1]

(-∞,-2]

或

[2m-1,m+1][0,+∞).解得

m≤-3

或

≤m<2.12即

m

的取值范圍是(-∞,-3]∪[,2).12精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例5已知函數(shù)

f(x)=x3-ax2-3x.(1)若

f(x)

在區(qū)間

[1,+∞)

上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)

a

的取值范圍;(2)若

x=-是

f(x)

的極值點(diǎn),求

f(x)

在

[1,

a]

上的最大值;(3)在(2)的條件下,

是否存在實(shí)數(shù)

b,

使得函數(shù)

g(x)=bx

的圖象與函數(shù)

f(x)

的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),若存在,求出實(shí)數(shù)

b

的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.13解:(1)由已知

f(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)

在區(qū)間

[1,+∞)

上是增函數(shù),∴在

[1,+∞)

上恒有

f(x)≥0,即

3x2-2ax-3≥0

在

[1,+∞)

上恒成立.則必有

≤1

且

f(1)=-2a≥0.a3解得

a≤0.故實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

(-∞,0].由于

f(0)=-3<0,精選ppt∴f(x)=3x2-8x-3.在

[1,4]

上,當(dāng)

x

變化時(shí),f(x),f(x)

的變化情況如下表:∴f(x)

在

[1,4]

上的最大值是

f(1)=-6.(3)函數(shù)g(x)

與f(x)

的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),即方程

x3-4x2-3x=bx

恰有三個(gè)不等實(shí)根.(2)由題設(shè)

f(-)=0,即+a-3=0.131323解得

a=4.令

f(x)=0

得

x=-或

3.13x1(1,3)3(3,4)4f(x)-0+f(x)

-6-18-12∵x=0

是方程的一個(gè)根,∴方程

x2-4x-3=b

即

x2-4x-(3+b)=0

有兩個(gè)非零不等實(shí)根.∴△=16+4(3+b)>0

且

3+b0.解得

b>-7

且

b-3.故實(shí)數(shù)

b

的取值范圍是

(-7,-3)∪(-3,+∞).精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例6已知函數(shù)

f(x)=x3-3ax2+2bx

在點(diǎn)

x=1

處有極小值

-1,試確定

a,b

的值,并求出

f(x)

的單調(diào)區(qū)間.解:由已知可得:-1=f(1)=1-3a+2b,即

3a-2b=2.①又

f(x)=3x2-6ax+2b,

0=f(1)=3-6a+2b,

即

6a-2b=3.②∴f(x)=3x2-2x-1.由

①,②

解得

a=

,b=-.1213由

f(x)=0

得,x=1

或

-.13∴當(dāng)

x<-或

x>1

時(shí),有

f(x)>0;13當(dāng)

-<x<1

時(shí),有

f(x)<0.13故

f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

(-∞,-)

和

(1,+∞);1313f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間是

(-,1).精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例7解:(1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c.(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)∴由

f[f(x)]=f(x2+1)

得,c=1.

已知

f(x)=x2+c,且

f[f(x)]=f(x2+1).(1)設(shè)

g(x)=f[f(x)],求

g(x);(2)設(shè)

(x)=g(x)-f(x),試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)

,使

(x)

在(-∞,-1)內(nèi)為減函數(shù),且在

(-1,0)

內(nèi)是增函數(shù).∴f(x)=x2+1,g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.=x4+(2-)x2+2-.∴(x)=4x3+2(2-)x=2x(2x2+2-).∵(x)

在

(-∞,-1)

內(nèi)為減函數(shù),∴(x)<0

在

(-∞,-1)

內(nèi)恒成立.即

2x2+2->0

在

(-∞,-1)

內(nèi)恒成立.∴-2<2x2

在

(-∞,-1)

內(nèi)恒成立.∵當(dāng)

x(-∞,-1)

時(shí),2x2>2(-1)2=2,∴-2≤2.∴≤4.①精選ppt又∵(x)

在

(-1,0)

內(nèi)為增函數(shù),∴(x)>0

在

(-1,0)

內(nèi)恒成立.即

2x2+2-<0

在

(-1,0)

內(nèi)恒成立.∴-2>2x2

在

(-1,0)

內(nèi)恒成立.∵當(dāng)

x(-1,0)

時(shí),2x2<2(-1)2=2,∴-2≥2.∴≥4.②由

①,②

知

=4.故存在實(shí)數(shù)

,其值為

4,使

(x)

滿足題設(shè)條件.精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)

f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).

(1)若

a=1,函數(shù)

f(x)

的圖象能否總在直線

y=b

的下方?說(shuō)明理由;(2)若函數(shù)

f(x)

在

[0,2]

上是增函數(shù),x=2

是方程

f(x)=0

的一個(gè)根,求證:

f(1)≤-2;(3)若曲線

f(x)

上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于

1,求

a

的取值范圍.(1)解:

當(dāng)

a=1

時(shí),令

x=-1

得f(-1

)=1+1+b=2+b>b,∴點(diǎn)(-1,2+b)在函數(shù)圖象上,且在直線

y=b

的上方.∴函數(shù)

f(x)

的圖象不能總在直線

y=b

的下方.另解:

當(dāng)

a=1

時(shí),f(x)=-x3+x2+b,

f(x)=-3x2+2x.

令

f(x)=0

得

x1=0,x2=.23而

f(

)=-++b=

+b>b,2349274278∴函數(shù)

f(x)

的圖象不能總在直線

y=b

的下方.∴點(diǎn)

(,+b)

在函數(shù)圖象上,且在直線

y=b

的上方.23274精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)

f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).

(1)若

a=1,函數(shù)

f(x)

的圖象能否總在直線

y=b

的下方?說(shuō)明理由;(2)若函數(shù)

f(x)

在

[0,2]

上是增函數(shù),x=2

是方程

f(x)=0

的一個(gè)根,求證:

f(1)≤-2;(3)若曲線

f(x)

上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于

1,求

a

的取值范圍.(2)證:

∵x=2

是方程

f(x)=0

的一個(gè)根,∴f(2)=0

即

-8+4a+b=0b=8-4a.又

f(x)=-3x2+2ax,

令

f(x)=0

得

x1=0,x2=a.23∵函數(shù)

f(x)

在

[0,2]

上是增函數(shù),∴

a≥2.23∴a≥3.∴f(1)=-1+a+b=7-3a≤-2,即

f(1)≤-2.

精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)

f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲線

f(x)

上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于

1,求

a

的取值范圍.(3)解:設(shè)

P(x1,y1),Q(x2,y2)

為曲線

y=f(x)

上任兩點(diǎn),

x1x2.∵曲線

f(x)

上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于

1,

∵x1x2,亦即

<1

恒成立.-(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1-x2)(x1+x2)x1-x2∴

<1,y1-y2x1-x2-x13+ax12+b-(-x23+ax22+b)x1-x2即

<1,∴x1x2<1+(x1+x2)2-a(x1+x2)

恒成立.而

x1x2<

(x1+x2)2

恒成立,14∴1+(x1+x2)2-a(x1+x2)≥

(x1+x2)2恒成立.14∴(x1+x2)2-a(x1+x2)+1≥0

恒成立.34∴a2-3≤0.

∴-3

≤a≤

3

.

精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)

f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲線

f(x)

上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于

1,求

a

的取值范圍.另解:設(shè)

P(x1,y1),Q(x2,y2)

為曲線

y=f(x)

上任兩點(diǎn),不妨

x1<x2.∵曲線

f(x)

上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于

1,

∵x1<x2,∴

<1,y1-y2x1-x2∴x1-x2<0.∴y1-y2>x1-x2.

即

f(x1)-f(x2)>x1-x2.

∴f(x1)-x1>f(x2)-x2.

記

g(x)=f(x)-x,

則

g(x1)>g(x2).

∴g(x)

為

R

上的減函數(shù).

∴g(x)≤0

即

-3x2+2ax-1≤0

對(duì)

xR

恒成立.

∴a2-3≤0.

∴-3

≤a≤

3

.

精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例9已知函數(shù)

f(x)=(

-1)2+(-1)2

的定義域?yàn)?/p>

[m,n),且

1≤m<n≤2.(1)討論

f(x)

的單調(diào)性;(2)證明:對(duì)任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.xmnx解:由題設(shè)

f(x)=(+

-1)2-

+1.xmnx2nm令

t=+,xmnx∵1≤m<n≤2,

x[m,n),nm則

t≥2

=2xmnx>2,t=-

.

1mx2n∴由

t<0

得

m≤x<mn;由

t>0

得

mn

<x<n.∴t(x)

在

[m,

mn

)

上是減函數(shù),在

[

mn,n)

上是增函數(shù).∵函數(shù)

y=(t-1)2-

+1

在

[1,+∞)

上是增函數(shù),2nm∴f(x)

在

[m,

mn

)

上是減函數(shù),在

[

mn,n)

上是增函數(shù).精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例9已知函數(shù)

f(x)=(

-1)2+(-1)2

的定義域?yàn)?/p>

[m,n),且

1≤m<n≤2.(1)討論

f(x)

的單調(diào)性;(2)證明:對(duì)任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.xmnx∴對(duì)任意的

x1,x2[m,n),有(2)證:由(1)知

f(x)

在

[m,n)

上的最小值為

f(

mn

)=2(-1)2,nm最大值為

f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|≤(-1)2-2(-1)2nmnm=()2-4

+4

-1.nmnmnm令

u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm∵1≤m<n≤2,

∴1<≤2.nm∴1<u≤

2

.∵h(yuǎn)(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u+

)(u-

)>0,5+125-12∴h(u)

在

(1,

2

]

上是增函數(shù).=42

-5.故對(duì)任意

x1,x2[m,n),

|f(x1)-f(x2)|≤42

-5

恒成立.∴h(u)≤h(

2

)=4-8+42-1

精選ppt導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例10某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量

x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格

p(元/噸)之間的關(guān)系式為

p=24200-

x2,且生產(chǎn)

x

噸的成本為

R=50000+200x

元.問(wèn)該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大?最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=收入-成本)15解:

設(shè)每月生產(chǎn)

x

噸的利潤(rùn)為

y

元,則

x≥0,且y=(24200-

x2)x-(50000+200x)15=-

x3+24000x-50000.15由

y=-

x2+24000=0

得35x=200(-200舍去).∵在

[0,+∞)

上只有一個(gè)點(diǎn)

x=200

使

y=0,∴它就是最大值點(diǎn),且最大值為-

2003+24000200-5000015=3150000(元).故每月生產(chǎn)