最短路徑問題(將軍飲馬問題)

最短路徑問題

——將軍飲馬問題及延長為什么有的人會常常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了……禁止踐踏兩點(diǎn)之間，線段最短在馬路l兩側(cè)有兩村莊，現(xiàn)要在馬路l旁修建一所候車亭P，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短，試確定候車亭P的位置。ABP★思索：本題運(yùn)用了.

兩點(diǎn)之間，線段最短.l將軍飲馬問題：兩線段之和最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳聞亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去探望他，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天騎馬從城堡A動身，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？

這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問題。如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？

ABBAB'P作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線MN

的對稱點(diǎn)B'（2）連結(jié)B'A，交MN于點(diǎn)P；

所以點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．MN∴BP+AP<BP'+AP'，即AP+BP最?。甆ABPB'P'∵直線MN是點(diǎn)B、B'的對稱軸，點(diǎn)P、P'在對稱軸上，∴BP=B'P，BP'=B'P'．

在MN上任取另一點(diǎn)P'，連結(jié)BP、BP'、AP'

、B'P'

．證明：在△AB'P'中，AB'<AP'+B'P'，

∴BP+AP=B'P+AP=B'A．M∴BP'+AP'=B'P'+AP'變式1：已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，

使△PQR的周長最短嗎？草地河邊.駐地A如圖：一位將軍騎馬從駐地A動身，先牽馬去草地OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最終回到駐地A問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN.....如圖:已知內(nèi)一點(diǎn)A

求作:OM上一點(diǎn)B,ON上一點(diǎn)C,使AB+BC+AC最小作法:(1)作點(diǎn)A關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)A'、A''(2)連結(jié)A'和A''，交OM于B,交ON于C,則點(diǎn)B、C為所求。變式1：已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R，使△PQR的周長最短嗎？如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路途。兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部答案：如圖,A是馬廄,B為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷.請你幫他確定這一天的最短路途.ABA'B'MN變式1：已知：MON內(nèi)兩點(diǎn)A、B.求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得點(diǎn)C在OM上，點(diǎn)D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。A'B'CD變式2：如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？......AA'BB'CDMON變式2：課堂小結(jié)：今日我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問題，我們應(yīng)當(dāng)怎么樣找到它們的最短路徑呢？1、確定對稱軸，找出定點(diǎn)的對稱點(diǎn)。2、連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)（連接各對稱點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)）。本節(jié)課探討問題的基本過程是什么？把實際問題變成數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型→推理→猜想→證明↓得出結(jié)論應(yīng)用到實際問題中