坐標(biāo)系及其變換完成

坐標(biāo)系及其變換完成第一頁，共十八頁，2022年，8月28日(1)坐標(biāo)系的相對(duì)變換相對(duì)于參考系的相對(duì)變換——始終相對(duì)于一個(gè)相同的參考系的變換2)相對(duì)于當(dāng)前系的相對(duì)變換——每個(gè)平移、旋轉(zhuǎn)變換始終相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系（每個(gè)當(dāng)前坐標(biāo)系均不同）。第二頁，共十八頁，2022年，8月28日(2)坐標(biāo)系前乘變換或后乘變換的相對(duì)變換

設(shè)C是以齊次坐標(biāo)矩陣表示的坐標(biāo)系，T是由若干平移、旋轉(zhuǎn)變換因子按一定順序組成的變換。顯然TC及CT將得到完全不同的變換結(jié)果，原因是坐標(biāo)系C所作的相對(duì)變換不同。1)坐標(biāo)系C前乘（左乘）變換時(shí)，得到的TC是C始終相對(duì)于同一參考系的變換，變換的動(dòng)作順序由T的最后（最右）因子開始，以最前（最左）的因子結(jié)束其變換。2)坐標(biāo)系C后乘（右乘）變換時(shí)，得到的CT是C相對(duì)于不同當(dāng)前坐標(biāo)系的變換，變換的動(dòng)作順序由T的最前（最左）因子開始，以最后（最右）的因子結(jié)束其變換。TC與CT導(dǎo)致不同變換的結(jié)果與矩陣乘法不服從交換律的性質(zhì)是一致的。第三頁，共十八頁，2022年，8月28日【例2.4】給定一坐標(biāo)系

及一變換T=試確定C相對(duì)于參考系的變換

X=TC及C相對(duì)于當(dāng)前系的變換Y=CT。第四頁，共十八頁，2022年，8月28日解：相對(duì)于參考系的相對(duì)變換為：X=TC其變換的動(dòng)作順序?yàn)橄刃D(zhuǎn)后平移。相對(duì)于當(dāng)前系的相對(duì)變換為：Y=CT其變換的動(dòng)作順序?yàn)橄绕揭坪笮D(zhuǎn)。第五頁，共十八頁，2022年，8月28日4.逆變換將被變換坐標(biāo)系變回到原來的坐標(biāo)系時(shí)，可以用變換T的逆來實(shí)現(xiàn)。例如X=TC使C變換為X，若用X求C則為

給定變換T為

則T的逆陣為

(2-14)式中p、n、o、a表示T的各列矢量；”

”表示二矢量的數(shù)量積。

第六頁，共十八頁，2022年，8月28日5.一般旋轉(zhuǎn)變換所謂一般旋轉(zhuǎn)變換，即其旋轉(zhuǎn)軸線不與參考系任何軸線重合，而是參考系中某一矢量，這一矢量的方向用其上的單位矢量。表示。

為了導(dǎo)出一般旋轉(zhuǎn)變

的計(jì)算公式，設(shè)

是一個(gè)坐標(biāo)系C中軸

的單位矢量，一般坐標(biāo)系為

C=(2-15)第七頁，共十八頁，2022年，8月28日其中軸的單位矢量為這樣，繞矢量旋轉(zhuǎn)就等于繞坐標(biāo)系C的

軸旋轉(zhuǎn)，即(2-16)第八頁，共十八頁，2022年，8月28日?qǐng)D2-12一般旋轉(zhuǎn)變換如圖2-12所示，被旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系為

,該系以坐標(biāo)系

為參考系記為Y,以坐標(biāo)系C為參考

系時(shí)記為X(注意：X、Y均為

坐標(biāo)系

)。Y與X的關(guān)系為

或

(2-17)第九頁，共十八頁，2022年，8月28日繞旋轉(zhuǎn)Y等效于繞坐標(biāo)系的C的軸旋轉(zhuǎn)X，即(2-18)式中的

表示將

變換到與左端

相同的參考系中去，否則(2-18)的等式不成立。將(2-17)式代入(2-18)式，得因此第十頁，共十八頁，2022年，8月28日

現(xiàn)將此式展開，并利用C矩陣的正交性對(duì)展開式進(jìn)行整理，得到一般旋轉(zhuǎn)變換的計(jì)算公式為(2-19)

式中

—一般軸的單位矢量的3個(gè)方向的分量，即(2-15)式中的

；第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日V—

的縮寫，通常為正矢；S—

的簡寫；

C—

的簡寫；

由(2-19)式可見，一般旋轉(zhuǎn)變換在

角不變時(shí)，它僅僅是矢量

的函數(shù)，

繞坐標(biāo)軸的

旋轉(zhuǎn)變換僅是一般旋轉(zhuǎn)變換的特例。例如繞坐標(biāo)軸的

旋轉(zhuǎn)變換

，其

，將這些值代入(2-19)式，得第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日它與(2-13)式完全一致。第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日6.等效旋轉(zhuǎn)軸及等效旋轉(zhuǎn)角

對(duì)于一個(gè)任意給定的旋轉(zhuǎn)變換，可以利用(2-19)式求出繞等效旋轉(zhuǎn)軸

、等效旋轉(zhuǎn)角為

的等效變換。

設(shè)給定的旋轉(zhuǎn)變換R為R=使R式與(2-19)式相等，得(2-20)第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日(2-20)式兩端矩陣的對(duì)角線元素分別相加，仍然相等，故有(2-21)利用

及

，得(2-22)由此解出等效旋轉(zhuǎn)角

的余弦為

(2-23)(2-20)式兩端矩陣非對(duì)角線上對(duì)稱元素相等，得(2-24)第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日由此解出等效旋轉(zhuǎn)角

的正弦為(2-25)規(guī)定

在

中選取，故上式取正值，因而等效旋轉(zhuǎn)角

唯一地按下式確定：(2-26)等效旋轉(zhuǎn)軸矢量

的分量可用(2-24)式確定：第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日(2-27)利用(2-27)式解矢量

，當(dāng)

很小可能導(dǎo)致單位矢量的模大于1，這時(shí)需要對(duì)

進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

第十七頁，共十八頁，2022年，8月28日當(dāng)

接近于

時(shí)，(2-27)式的計(jì)算