專(zhuān)題15 導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題15導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）已知函數(shù)f(x)=ex?ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1A.a>e B.x1+x2>2

C.x1x【答案】C【解析】解：∵f(x)=ex?ax，

∴f'(x)=ex?a，令f'(x)=ex?a>0，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=ex?a>0在x∈R上恒成立，

∴f(x)在R上單調(diào)遞增．

②當(dāng)a>0時(shí)，∵f'(x)=ex?a>0，∴ex?a>0，解得x>lna，

∴f(x)在(?∞,lna)單調(diào)遞減，在(lna,+∞)單調(diào)遞增．

∵函數(shù)f(x)=ex?ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1<x2，

∴f(lna)<0，a>0，

∴elna?alna<0，

∴a>e，A正確；

x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x已知函數(shù)f(x)=32x2?3x?eA.函數(shù)fx的極大值點(diǎn)為x=2

B.函數(shù)fx在?∞,?2上單調(diào)遞減

C.函數(shù)fx在R上有3個(gè)零點(diǎn)

D.【答案】D【解析】解：A選項(xiàng)：由f(x)=(32x2?3x)?e3，得．

令f'(x)=0，得x=1.故x∈(?∞,1)，f'(x)<0，f(x)為減函數(shù)；x∈(1,+∞)，f'(x)>0，f(x)為增函數(shù)，所以x=1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)：

當(dāng)x∈?∞,2時(shí)，f(x)=(32x2?3x)?e3先減后增，故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)：由f(x)=(32x2?3x)?已知函數(shù)f(x)=sinx?x2π?x，給出下列結(jié)論：①函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=?π2對(duì)稱(chēng)；②曲線y=f(x)上存在垂直于y軸的切線；③函數(shù)f(x)的最大值為0；④方程f(f(x))=0A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】解：∵f(?π?x)=sin(?π?x)?(?π?x)2π+π+x=sinx?x2π?x=f(x)，

∴f(x)的圖像關(guān)于直線x=?π2對(duì)稱(chēng)，①正確；

f'(x)=cosx?2πx?1，f'(0)=f'(?π2)=f'(?π)=0，

且當(dāng)x<?π時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0，f'(x)只有這三個(gè)零點(diǎn)，

∴f(x)在(?∞,?π)單增，?π,?π2單減，單增，(0,+∞)單減，f(?π2)=?1+π4<0，f(?π)=f(0)=0，

作出f(x)的圖象如圖所示：

∴y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))，(?π,f(?π))處的切線方程為y=0，∴②③已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f’(x)，且xf’(x)=x3ex+2f(x)，若f(2)=4e2+4，則函數(shù)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，由xf’(x)=x3ex+2f(x)得f(0)=0，

當(dāng)x≠0時(shí)，由xf’(x)=x3ex+2f(x)得xf'x?2fxx3=ex，

即fxx2'=ex，所以fxx2=ex+t，fx=x2ex+tx2，

又f(2)=4e2+4，所以4e2+4t=4e2+4，得t=1，

所以fx=x2ex+x2，當(dāng)x=0時(shí)也滿足此式，

所以g(x)=f(x)?2=x2ex+x2?2，

因?yàn)間'x已知函數(shù)f(x)=mx?lnx+m在區(qū)間(e?1,e)A.?ee2+1,e2+1 B.【答案】B【解析】解：由f(x)=0，得m1x+1=lnx，m=xlnxx+1，

令h(x)=xln?xx+1，h'x=x+1+lnxx+12，

令k(x)=x+1+lnx，k'x=1+1x>0，

函數(shù)y=k(x)在區(qū)間(e?1,e)單調(diào)遞增，k(x)>k(e?1)=e我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f(x)=ex?2x2?1A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵f(x)=ex?2x2?1的定義域?yàn)镽，且f(?x)=e當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex?2x2?1，設(shè)gx=f'(x)=ex?4x，g'(x)=ex?4，

由g'(ln?4)=0，知f'(x)在(0,ln4)上遞減，(ln4,+∞)上遞增，

f'(x)min=f(ln?4)=4?4ln?4<0，又f'(0)=1>0，f'(4)=已知f(x)=x3?2x2+x?a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍為

A.1,83 B.0,427 C.2,2【答案】B【解析】解：f(x)=x3?2x2+x?a，

則f'x=3x2?4x+1=3x?1x?1，

由f'x>0得x>1或x<13，由f'x<0得13,1，

所以f(x)=x定義方程fx=f'x的實(shí)根叫做函數(shù)fx的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)g(x)=2xex+1,h(x)=lnx+2,φ(x)=x3?1的“新駐點(diǎn)”分別為A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a【答案】B【解析】解：由題意：函數(shù)g(x)=2xex+1，g'(x)=2xex+2ex，所以a為2xex+1=2xex+2ex的根，解得x=?ln2，即a=?ln2．

h(x)=lnx+2，h'(x)=1x，b為lnx+2=1x的根，

令p(x)=lnx+2?1x，則p'=1x+1x2>0；

故P(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，且p12=?ln2<0,p(1)=1>0，

故1函數(shù)f(x)=e|x|?ln|x|?2的大致圖象為A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函數(shù)的定義域x|x≠0，

因?yàn)閒?x=e?x?ln?x?2=ex?lnx?1=fx，

所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，故排除A，

當(dāng)x>0時(shí)，fx=ex?lnx?2，則f'x=ex?1x，

令f'x=ex?對(duì)于函數(shù)，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)fx有兩個(gè)不同零點(diǎn)

B.在區(qū)間(0,e)單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+∞)遞減

C.函數(shù)fx的極值點(diǎn)是(e,e)

D.【答案】D【解析】解：選項(xiàng)A：由f(x)=0得：x=0，所以函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)0，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由f'(x)=lnx?1lnx2<0解得：0<x<e，且x≠1.所以函數(shù)f(x)在?∞,1,1,e上單調(diào)遞減，在e,+∞單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：函數(shù)的極值點(diǎn)指的是函數(shù)的自變量的取值，不是一個(gè)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：函數(shù)f(x)在e,+∞單調(diào)遞增，所以因?yàn)椋?，即，故D正確．

故選D．二、填空題已知函數(shù)fx=2x2①函數(shù)fx為偶函數(shù)；②函數(shù)fx在區(qū)間12,1單調(diào)遞增；③函數(shù)fx存在兩個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)【答案】?①?②?④【解析】解：?①:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(?x)=2(?x)2?e|?x|=2x2?e|x|=f(x)，則函數(shù)為偶函數(shù)，故?①正確;

?②:當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=4x?ex，令g(x)=f'(x)，則g'(x)=4?ex，

由g'(x)=0，解得x=ln4，則當(dāng)x∈(0,ln4)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

又由g(12)>0及[12,1]?(0，ln4)可知，g(x)>0，即f'(x)>0對(duì)x∈[12,1]恒成立，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[12,1]單調(diào)遞增，故?②正確；

?③:由?②可知，f'(x)=4x?ex在(0,ln4)單調(diào)遞增，(ln4,+∞)單調(diào)遞減，

又f'(0)=?1<0，f'(2)=8?e2>0，f'(3)=12?e3<0，

由零點(diǎn)存在定理知，?x1∈(0,2)，x2∈(2,3)，使得f'(x1)=f'(x2)=0，

f(x)在(0,x1)已知函數(shù)fx=ex?mx3，曲線y=fx在不同的三點(diǎn)x1,fx1，x2【答案】(e【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex?mx3，所以f'(x)=ex?3mx2．

又曲線y=f(x)在不同的三點(diǎn)(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，(x3,f(x3))處的切線均平行于x軸，

所以ex?3mx2=0有3個(gè)不同的解，即3m=exx2．

可知，3m>e24，即m>e212已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f’(x)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)滿足2f(x)+xf'(x)<xf(x)，則f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)______【答案】1【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2f(x)ex(x<0)'

所以F'(x)=2xf(x)ex+x2f'(x)ex?x2f(x)exe2x=xex[2f(x)+xf(x)?xf(x)]，

因?yàn)?f(x)+xf'(x)<xf(x)，x<0，所以F'(x)>0，

所以函數(shù)F(x)在x<0時(shí)是增函數(shù)，

又F(0)?=0所以當(dāng)已知函數(shù)f(x)=x3①函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為3x+y?4=0；②函數(shù)y=f(x)有3個(gè)零點(diǎn)；

③函數(shù)y=f(x)在x=2處取得極大值；④函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)．上述命題中，正確命題的序號(hào)是__________．【答案】①②④【解析】解：f'(x)=3x2?6x=3x(x?2)，則f'(1)=?3，又f(1)=1，

所以函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y?1=?3(x?1)，即3x+y?4=0，故①正確；

令f'(x)=0，可得x=0或x=2，

令f'(x)>0，可得x<0或x>2，令f'(x)<0，可得0<x<2，

所以f(x)在(?∞,0)，(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=0處f(x)取得極大值，在x=2處取得極小值，故③錯(cuò)誤；

極大值為f(0)=3>0，極小值為f(2)=?1<0，f(?1)=?1<0，f(3)=3>0，

所以在(?1,0)，(0,2)，(2,3)上f(x)各有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確；

令g(x)=f(x+1)?1=(x+1)3?3(x+1)2+3?1=x3?3x，

則g(?x)=?x3+3x=?g(x)，

所以g(x)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以f(x)三、解答題設(shè)函數(shù)其中m∈R.

(1)若m=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)的極值；

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,e2?1]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】(1)解：依題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,+∞)，

當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=ln(1+x)?x，

∴f'(x)=11+x?1，

由f'(x)<0得11+x?1<0，即?x1+x<0，

解得x>0或x<?1，

又∵x>?1，∴x>0，

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞)．

(2)求導(dǎo)數(shù)可得f'(x)=11+x?m，(x>?1)

①m≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，

∴?f(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值．

②m>0時(shí)，由于1m?1>?1，

∴

f(x)在(?1,?1m?1]上單調(diào)遞增，在[1m?1,?+∞)上單調(diào)遞減，

從而f(x)極大值=f(1m?1)=m?lnm?1.

(3)由(2)問(wèn)顯然可知，

當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,e2?1]上為增函數(shù)，

∴在區(qū)間[0,e2?1]不可能恰有兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)m>0時(shí)，由(2)問(wèn)知f(x)極大值=f(1m已知函數(shù)f(x)=(x+2)lnx+ax2(1)若a=12，求函數(shù)f(x)(2)若a≥12，證明函數(shù)f(x)【答案】(1)解：當(dāng)a=12時(shí)，f(x)=(x+2)lnx+12x2?4x+72，

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

且f'(x)=lnx+2x+x?3．

設(shè)g(x)=lnx+2x+x?3，

則g'(x)=1x?2x2+1=x2+x?2x2=(x+2)(x?1)x2，(x>0)．

當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0，

即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)≥g(1)=0(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))．

即當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))．

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)閒(1)=0，x=1是函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)．

所以若a=12，則函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn)只有x=1．

(2)證明：因?yàn)閒(x)=(x+2)lnx+ax2?4x+7a，

設(shè)函數(shù)f(x)=2x?alnx，a∈R．(1)若a=3，求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)g(x)=ax?x2，f(x)=g(x)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值．【答案】解：(1)若a=3時(shí)，f(x)=2x?3lnx，f'(x)=2?3x，

∴f'(1)=?1，f(1)=2，

所以切線方程為y?2=?(x?1)

，即y=3?x；

(2)f'(x)=2?ax，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2x>0成立；

當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，則x>a2，

所以f(x)在(0,a2)單調(diào)遞減，f(x)在(a2,+∞)單調(diào)遞增，

所以f(x)min=f(a2)=a?alna2≥0，

所以0<a≤2e，

當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)>0，所以