平面向量的坐標表示及其運算

一.情境引入上海市莘莊中學的健美操隊四名隊員A、B、C、D在一個長10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內進行健美操表演。(1)若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊形。隊員A位于點F處，隊員B在邊FG上距F點3米處，隊員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎?E8m8m［說明］此時隊員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個圖形比較特殊，學生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題。(2)若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊形。隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處。你能確定此時隊員C的位置嗎？二．學習新課向量的正交分解我們稱在平面直角坐標系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為i，如圖，稱以原點0為起點的向量為位置向量，如下圖左，貢即為一個位置向量.

如上圖右，設如果點a的坐標為（兀如上圖右，設如果點a的坐標為（兀y）,它在小X軸，y軸上的投影分別為M,N,那么向量OA能用向量OM與ON來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得OA=OM+ON），OM與ON能用基本單位向量i，j來表示嗎？（依向量與實數(shù)相乘的幾何意義可得OM=xi，ON=yj）,于是可得:OA-OM+ON-xi+yj由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標系內的任一位置向量OA都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量i，j的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解.2。向量的坐標表示思考2：對于平面直角坐標系內的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量7j的線性組合嗎？如下圖左。 ? —顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點0為起點作一位置向量OA，使OA=a.于是,可知:在平面直角坐標系內，任意一個向量都存在一個與它相等的位置向量°A。由于這一點，我們研究向量的性質就可以通過研究其相應的位置向量來實現(xiàn)。由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量i,j的線性組合,所以平面內任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量1j的線性組合.即：二OA二xi+yj—A—A ?上式中基本單位向量Aj前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量OA的終點A的坐標。由于基本單位向量7,j是固定不可變的，為了簡便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來，得到有序實數(shù)對（x,y）?？芍行驅崝?shù)對（x,y）與向量的位置向量OA是一一對應的.因而可用有序實數(shù)對（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標，記作：=（x,y）［說明］（x,y）不僅是向量的坐標，而且也是與相等的位置向量OA的終點A的坐標!當將向量的起點置于坐標原點時，其終點A的坐標是唯一的，所以向量的坐標也是唯一的.這樣，我們就將點與向量、向量與坐標統(tǒng)一起來,使復雜問題簡單化。顯然，依上面的表示法，我們有：7= j=（o，i），o=（0,0）.例1?如圖，寫出向量a,b,c的坐標。解：由圖知a=（】，2）與向量相等的位置向量為OA,可知b=OA=（1,2）與向量相等的位置向量為OB,可知c=OB=（1,-2）■2I汪［說明］對于位置向量，它的終點的坐標就是向量的坐標；對于起點不在原點的向量b,c,我們是通過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標得到它們的坐標那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題。讓我們先學習向量坐標表示的運算：3。向量的坐標表示的運算我們學過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數(shù)與向量的乘法等運算，那么,在學習了向量的坐標表示以后，我們怎么用向量的坐標形式來表示這些運算呢?設是一個實數(shù),a=(x，y)，b=(x，y)?1122由于a=(x,y)=xi+yj,b=(x,y)=xi+yj11112222所以a士b=(x,y)士(x,y)=(xi+yj)±(xi+yj)=(xi士xi)+(yj士yj)1212

=(x士x)i+(y士y)j

(121)2=(x士x,y士y丿1/21平九a=X(x,y)=X^xT+yj)=Xxi+九yj=(九x,九y丿1111111于是有：(x,y)士(x,y)=(x士x，y士y)11221212九(x,y)=(九x,九y)1111說明］上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和（差）的橫坐標等于它們對應的橫坐標的和（差），兩個向量的和（差）的縱坐標也等于它們對應的縱坐標的和（差）,可籠統(tǒng)地簡稱為:兩個向量和（差）的坐標等于對應坐標的和（差）；同樣，第二個式子用語言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標等于數(shù)與向量的橫坐標的積,數(shù)與向量的積的縱坐標等于數(shù)與向量的縱坐標的積,也可籠統(tǒng)地簡稱為:數(shù)與向量積的坐標等于數(shù)與向量對應坐標的積.4。應用與深化下面我們來研究剛才提出的不通過位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標的問題：例2。如下圖左，設P（x1，人）、Q（x2,y2）是平面直角坐標系內的任意兩點，如何用P、Q的坐標來表示向量PQ？

解:如上圖右，向量PQ=OQ-°p=(x,y)-(x,y)

=(x2-X,y-y1)2121從而有PQ=(x2-x1,y2-y1)［說明］上面這個式子告訴我們：平面直角坐標系內的任意向量的橫坐標等于它終點的橫坐標與它起點的橫坐標的差，縱坐標也等于它終點的縱坐標與它起點的縱坐標的差，可簡稱為“任意向量坐標二終點坐標一起點坐標”例3。如圖，平面上例3。如圖，平面上A、B、C三點的坐標分別為(2,1)、(-3,2)、(-1，3)。寫出向量AC，BC的坐標；如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標。解：⑴AC=(—1—2,3—1)=(—3,2)BC=(-1-(—3)，3-2)=(2，1)(2)在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以DC=AB設點d的坐標為(xD，yD)，于是有(—1—xD，3―yD)=AB又 AB=(-3—2,2—1)=(-5,1)(—1—x,3—y)=(-5,1)D D

I-1-x由此可得［ DL3-yD=-5=1Ix解得1DLyD=-5=1Ix解得1DLyD練習:(1)請大家用兩分鐘的時間解答本節(jié)課一開始我們所提出的在某時刻，健美操隊員C的位置問題。即：在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊形。如F圖左，隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處。你能確定此時隊員C的位置嗎?EyD(4,5)”?B(6,3)EyD(4,5)F ?A(2,1)O——= 解:以點F為坐標原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸,建立如上圖右所示直角坐標系。則依題意有A(2，1)，B(6,3),D(4,5)，設C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：AC=AB+AD=(4,2)+(2,4)=(6,6)又AC-(x,y)-(2，1)=(x一2,y一1)故(x一2,y一1)=(6,6)于是x=8,y=7，即C(8,7)。答：隊員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處.(2)在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持平行四邊形隊形。已知隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(包括邊界)某一位置。你能確定此時隊員D可能的位置區(qū)域嗎？

Ey[―<—8m解：以點F為坐標原點，以邊FG為x軸,5jH出(6,3)譽0mEy[―<—8m解：以點F為坐標原點，以邊FG為x軸,5jH出(6,3)譽0m4mGx以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標DC=AB=(4,2)又D(x，y)，所以可得C(x+4,y+2)由題意5<x+4<10由題意4<y+2<8于是可得隊員D可能的位置區(qū)域如圖所示陰影部分（除去點B）:EH6Ca*2jr?■-BFo4*1———6G―3例4。已知向量a=（4，一1）與b=（5,2）,求2云+3b的坐標。解:因為2a=（8，一2），3b=（15,6）所以2a+3b=(8+15,—2+6)=(23,4)1.如圖，寫出向量a，b1.如圖，寫出向量a，b，c的坐標.2。已知a=(—1,2)，若其終點坐標是(2,1),則其起點的坐標是；若其起點坐標是(2,1),則其終點的坐標是.3。已知向量a=(_2,3)與b=(1,—5),求3a-b及b-3a的坐標。3。解：1.由題意：a=(2,1),b=(1,—1),c=(2,1)—(1,—1)=(2—1,1—(—1))=(1,2)2.設起點的坐標是(x,y)，則(2,1)—(x,y)=(—1,2)，解得:(x,y)=(3,—1),即起點的坐標是(3,—1)；設終點的坐標是(x,y),則(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3),即起點的坐標是(1,3).3。3a—b=3—(—7,14)(1,—5)=(-7,14)b—3a二(1,—5)3(—2,3)=(7,—14)［另法］：b—3a［另法］：b—3a二一Ga—b)=—(—7,14)=(7,—14)拓展內容：1、已知向量a=(1,2).(1)在坐標平面上，畫出向量；并求a(2)若向量終點Q坐標為(3,0),則向量的始點P坐標為 ；向量的模與兩點P、Q間距離關系是。若a=PQ=(x—x,y—y)，則a= =J(x—x)2+(y—y)2QPQP ll+QP QP練習1：已知向量a=(—2,3),b=(1,—5)，求2a—b［說明］在問題一中，先給出向量a=(1,2),要求學生在坐標平面上畫出向量，增強數(shù)形結合的解題意識，感悟向量的模即平面上兩點的距離。由此發(fā)現(xiàn)并掌握向量模的求法及幾何意義。安排(2)小問的目的在于復習鞏固位置向量與自由向量的概念，體會并感悟到任何一個自由向量都可轉化為位置向量。通過自由向量與位置向量的學習,引出向量平行的概念。向量平行的概念：對任意兩個向量a,b，若存在一個常數(shù)，使得a=九?b成立，則兩向量與向

量平行，記為：a//b.2?在坐標平面上描出下列三點A（O,1）,B（1,3）,C（3,7），完成下列問題:1）請把下列向量的坐標與模填在表格內：ABBCAC向量坐標（1，2）（2,4）（3,6）向量的模2運3頂2）通過畫圖,你得出什么結論？三點A、B、C在一條直線上（3）分析表格中向量的模，你發(fā)現(xiàn)了什么?眄+阿二|ac4）分析表格中向量，你還發(fā)現(xiàn)了什么？BC=BC=2ABAC=3AB，［說明］養(yǎng)成解題后反思的習慣，總結如何判斷三點共線?方法一:計算三個向量的模長關系。方法二:看兩個非零向量之間是否存在非零常數(shù)。（5）分析表格中向量坐標，你又發(fā)現(xiàn)了什么？向量坐標之間存在比例關系.xy思考:如果向量a,b用坐標表示為a=（x,y）,b=（x,y），則=4是a//b的（）條1 1 2 2 xy22件。A件。A、充要C、充分不必要由此，通過改進引出B、必要不充分D、既不充分也不必要課本例5若a,b是兩個非零向量，且a=（x，y）,b=（x,y）1122則a〃b的充要條件是xy=xy。1221分析：代數(shù)證明的方法與技巧，嚴密、嚴謹.證明：分兩步證明，(I)先證必要性：a//bnxy=xy1221非零向量a//b存在非零實數(shù)，使得a=xb，即c fx=Xx(x,y)=X(x,y)，化簡整理可得：］1 .2，消去即得xy=xy1 1 2 2 Iy=Xy 12 21I1 2(II)再證充分性：xy=xyna//b1221則、、全不為零，顯然有—=―1=X豐0xy22C ~A ~A ~A~A(x, y)=X(x ,y)na =Xb na //b1122⑵若x1y2=x2y1=0，則、、中至少有兩個為零。如果x=0，則由是非零向量得出一定有y豐0,x=0,112又由是非零向量得出y豐0，從而