新教材人教b版必修第二冊5.3.4頻率與概率學案

5.頻率與概率學習目標1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和概率的穩(wěn)定性.2.正確理解概率的含義，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．知識點一用頻率估計概率在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，則當n很大時，可以認為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計值為eq\f(m,n)，此時也有0≤P(A)≤1.知識點二頻率與概率的關系概率可以通過頻率來“測量”或者說頻率是概率的一個近似，概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大?。?．隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值．(√)2．某試驗重復進行了1000次，事件A發(fā)生的頻率即為事件A發(fā)生的概率．(×)3．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率越來越接近于概率．(√)4．概率是隨機的，在試驗之前不能確定．(×)一、概率概念的理解例1解釋下列概率的含義．(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為；(2)一次抽獎活動中，中獎的概率為0.2.解(1)“某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為”．說明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%，也可以說100件該廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格的．(2)“中獎的概率為”．說明參加抽獎的人有20%的可能中獎，也可以說，若有100人參加抽獎，約有20人中獎．反思感悟概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定發(fā)生，只是認為發(fā)生的可能性大．跟蹤訓練1(1)(多選)下列說法正確的是()A．由生物學知道生男生女的概率約為，一對夫婦先后生兩個小孩，不一定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為，則摸5張票，一定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是答案AD解析一對夫婦生兩個小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A正確；中獎概率為是說中獎的可能性為，當摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是，所以C不正確，D正確．(2)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說明()A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．合格率是99.99%，很高，說明該廠若只生產(chǎn)1件產(chǎn)品一定會合格D．該廠生產(chǎn)的一件產(chǎn)品合格的可能性是99.99%答案D解析合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．二、利用頻率與概率的關系求概率例2某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率eq\f(m,n)(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？解(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為,,,,,0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)附近，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.反思感悟隨機事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小．當試驗的次數(shù)越來越多時，頻率越來越趨近于概率．當次數(shù)足夠多時，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率．(2)求法：通過公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)計算出頻率，再由頻率估算概率．跟蹤訓練2下表是某種乒乓球的質(zhì)量檢查統(tǒng)計表：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品頻率(1)計算各組優(yōu)等品頻率，填入上表；(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計事件“抽取的是優(yōu)等品”的概率．解(1)根據(jù)優(yōu)等品頻率＝eq\f(優(yōu)等品數(shù),抽取球數(shù))，可得優(yōu)等品的頻率從左到右依次為：0.9,,,,,0.951.(2)由(1)可知乒乓球抽取的優(yōu)等品頻率逐漸穩(wěn)定在附近，故估計優(yōu)等品的概率是0.95.三、概率的實際應用例3為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚作上記號，不影響其存活，然后放回水庫，經(jīng)過適當時間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中有記號的魚，設有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫內(nèi)魚的尾數(shù)．解設水庫中魚的尾數(shù)為n，假定每尾魚被捕的可能性是相等的，先從水庫中任捕一尾，設事件A＝{帶有記號的魚}，易知P(A)＝eq\f(2000,n)，①第二次從水庫中捕出500尾，觀察其中帶有記號的魚有40尾，即事件A發(fā)生的頻數(shù)m＝40，由概率的統(tǒng)計定義可知P(A)＝eq\f(40,500)，②由①②兩式，得eq\f(2000,n)＝eq\f(40,500)，解得n＝25000.所以估計水庫中約有魚25000尾．反思感悟(1)由于概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩(wěn)定值，所以可以用樣本出現(xiàn)的頻率近似地估計總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率．(2)實際生活與生產(chǎn)中常常用隨機事件發(fā)生的概率來估計某個生物種群中個別生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等．跟蹤訓練3某中學為了了解初中部學生的某項行為規(guī)范的養(yǎng)成情況，在學校隨機抽取初中部的150名學生登記佩帶胸卡的學生名字．結(jié)果150名學生中有60名佩帶胸卡．第二次檢查，調(diào)查了初中部的所有學生，有500名學生佩帶胸卡．據(jù)此估計該中學初中部一共有多少名學生．解設初中部有n名學生，依題意得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.所以該中學初中部共有學生約1250名．1．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，前4個病人都沒有治好，第5個病人的治愈率為()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D．0答案B解析由概率的意義知，第5個病人的治愈率仍為eq\f(1,5)，與前4個病人都沒治好沒有關系．2．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.eq\f(1,999)B.eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000)D.eq\f(1,2)答案D解析拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為eq\f(1,2).3．從存放號碼分別為1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：卡片號碼12345678910取到的次數(shù)101188610189119則取到號碼為奇數(shù)的頻率是()A．B．C．D．答案A解析利用公式fn(A)＝eq\f(nA,n)計算出頻率值，取到號碼為奇數(shù)的頻率是eq\f(10＋8＋6＋18＋11,100)＝0.53.4．經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場上各品牌食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場上的食用油大約有80個品牌，則不合格的食用油品牌大約有()A．64個B．6個C．16個D．8個答案C解析80×(1－80%)＝16.5．如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個，從中任取一球后放回，取了10次有7次是白球，估計袋中數(shù)量較多的是__________球．答案白解析取出白球的頻率是，估計其概率是，那么取出黃球的概率約是，取出白球的概率大于取出黃球的概率，所以估計袋中數(shù)量較多的是白球．1．知識清單：(1)頻率與概率的關系．(2)用頻率估計概率．2．方法歸納：極限思想．3．常見誤區(qū)：頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．1．(多選)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列說法正確的是()A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能沒有降雨C．今天北京和上海都可能沒降雨D．北京今天降雨的可能性比上海大答案BCD解析北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，說明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都沒有降雨，但是不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正確，A錯誤．2．(多選)以下說法錯誤的是()A．昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預報降水的概率為99%”是錯誤的B．“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎C．做10次拋擲硬幣的試驗，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為eq\f(3,10)D．某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品答案ABC解析A中，降水概率為99%，仍有不降水的可能，故錯誤；B中，“彩票中獎的概率是1%”表示在設計彩票時，有1%的機會中獎，但不一定買100張彩票一定有1張會中獎，故錯誤；C中，正面朝上的頻率為eq\f(3,10)，概率仍為eq\f(1,2)，故錯誤；D中，次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故D的說法正確．3．我國古代數(shù)學名著《數(shù)學九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒夾谷28粒．這批米夾的谷約為()A．134石B．169石C．338石D．454石答案B解析由題意可知這批米內(nèi)夾谷約為1534×eq\f(28,254)≈169(石)，故選B.4．先后拋擲兩枚均勻的五角、一元的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列哪個事件的概率最大()A．至少一枚硬幣正面向上B．只有一枚硬幣正面向上C．兩枚硬幣都是正面向上D．兩枚硬幣都是反面向上答案A解析拋擲兩枚硬幣，其結(jié)果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四種情況，至少一枚硬幣正面向上包括三種情況，其概率最大．5．某市交警部門在調(diào)查一起車禍過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號碼及顏色，而該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車，3000輛帕薩特出租車，乙公司有3000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車．交警部門應先調(diào)查哪家公司的車輛較合理？()A．甲公司 B．乙公司C．甲與乙公司 D．以上都對答案B解析由于甲公司桑塔納車占的比例為eq\f(100,100＋3000)＝eq\f(1,31)，乙公司桑塔納車占的比例為eq\f(3000,3000＋100)＝eq\f(30,31)，可知應選B.6．為了估計今年來昆明的紅嘴鷗數(shù)量，云南大學科研人員隨機對500只紅嘴鷗做上記號后放回，一段時間后隨機查看了500只紅嘴鷗，發(fā)現(xiàn)有2只標有記號，今年來昆明的紅嘴鷗總數(shù)最可能為________．答案125000解析設今年來昆明的紅嘴鷗總數(shù)為n，則eq\f(500,n)＝eq\f(2,500)，解得n＝125000.7．投擲硬幣的結(jié)果如下表：投擲硬幣的次數(shù)200500c正面向上的次數(shù)102b404正面向上的頻率a據(jù)此可估計若擲硬幣一次，正面向上的概率為______．答案解析由題意得a＝eq\f(102,200)＝，b＝500×＝241，c＝eq\f(404,)＝800.易知正面向上的頻率在附近，所以若擲硬幣一次，正面向上的概率應為0.5.8．對某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下表所示：調(diào)查件數(shù)50100200300500合格件數(shù)4792192285478根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)，若要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到950件合格品，大約需抽查________件產(chǎn)品．答案1000解析由表中數(shù)據(jù)知，抽查5次，產(chǎn)品合格的頻率依次為,,,,，可見頻率在附近擺動，故可估計該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品合格的概率約為0.95.設大約需抽查n件產(chǎn)品，則eq\f(950,n)＝，所以n＝1000.9．某中學從參加高一年級上學期期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)；(2)從成績在70分以上(包括70分)的學生中任選一人，求選到第一名學生的概率(第一名學生只一人)．解(1)依題意，60分及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和為(＋＋＋)×10＝，所以估計這次考試的及格率約為75%.(2)因為成績在[70,100]的人數(shù)是60×(＋＋)×10＝36，所以從成績在70分以上(包括70分)的學生中任選一人，選到第一名學生的概率P＝eq\f(1,36).10．某水產(chǎn)試驗廠實行某種魚的人工孵化，10000個魚卵孵出8513條魚苗，根據(jù)概率的統(tǒng)計定義解答下列問題：(1)這種魚卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30000個魚卵大約能孵化出多少條魚苗？解(1)這種魚卵的孵化頻率為eq\f(8513,10000)＝3，可把它近似作為孵化的概率，即這種魚卵的孵化概率是3.(2)設能孵化出x條魚苗，則eq\f(x,30000)＝3，所以x＝25539，即30000個魚卵大約能孵化出25539條魚苗．11．隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購物已逐漸成為消費時尚，為了解消費者對網(wǎng)上購物的滿意情況，某公司隨機對4500名網(wǎng)上購物消費者進行了調(diào)查(每名消費者限選一種情況回答)，統(tǒng)計結(jié)果如下表：滿意情況不滿意比較滿意滿意非常滿意人數(shù)200n21001000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計在網(wǎng)上購物的消費者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是()A.eq\f(7,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15)D.eq\f(13,15)答案C解析由題意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以隨機調(diào)查的消費者中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的總?cè)藬?shù)為1200＋2100＝3300，所以隨機調(diào)查的消費者中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的頻率為eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).由此估計在網(wǎng)上購物的消費者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為eq\f(11,15).12．已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率：用計算機隨機模擬產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．B．C．D．答案B解析在20組隨機數(shù)中表示射擊4次至少擊中3次的有5727,0293,9857,0347,4373,8636,9647,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281，共15組隨機數(shù)，所以所求概率約為eq\f(15,20)＝0.75.故選B.13．一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[10,20)，2個；[20,30)，3個；[30,40)，x個；[40,50)，5個；[50,60)，4個；[60,70]，2個．則x＝________；根據(jù)樣本的頻率估計概率，數(shù)據(jù)落在[10,50)的概率約為________．答案4解析樣本中數(shù)據(jù)總個數(shù)為20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的數(shù)據(jù)有14個，故所求概率P＝eq\f(14,20)＝0.7.14．若某地8月15日無雨記為0，有雨記為1，統(tǒng)計從1995年至2019年的氣象資料得：1100010011000010101110100，則該地出現(xiàn)8月15日下雨的概率約為________．答案解析根據(jù)所統(tǒng)計的25年的資料，共有11次有雨，因此該地8月15日下雨的概率約為eq\f(11,25)＝0.44.15．某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是去年200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果．投資成功投資失敗192次8次則估計該公司一年后可獲收益的平均數(shù)是________．答案解析應先求出投資成功與失敗的概率，再計算收益的平均數(shù)．設可獲收益為x萬元，如果成功，x的取值為5×12%，如果失敗，x的取值為－5×50%.一年后公司成功的概率估計為eq\f(192,200)＝eq\f(24,25)，失敗的概率估計為eq\f(8,200)＝eq\f(1,25).所以估計一年后公司收益的平均數(shù)為5×12%×eq\f(24,25)－5×50%×eq\f(1,25)＝0.476.16．某高中啟動了“全民閱讀，書香校園”活動，