高中數(shù)學(xué)初高中銜接教材第七講不等式-人教版高一全冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)案

第七講不等式現(xiàn)實(shí)生活中充滿(mǎn)著不相等的數(shù)目關(guān)系，能夠用不等式來(lái)辦理，在初中學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)上，對(duì)不等式要有進(jìn)一步的理解，特別是理解不等式知識(shí)的系統(tǒng)，知道在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究不等式、不等式的基礎(chǔ)公義，在公義基礎(chǔ)上研究不等式的基天性質(zhì)，進(jìn)而利用它們解不等式和證明不等式，解不等式的過(guò)程就是不等式不停等價(jià)轉(zhuǎn)變的過(guò)程。在探究各樣不等式的解法的過(guò)程中，領(lǐng)會(huì)不等式、方程和函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。在證明不等式的基天性質(zhì)和簡(jiǎn)單不等式的過(guò)程中，學(xué)習(xí)和掌握不等式證明的基本思想方法。有了對(duì)不等式的深刻理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)和其余數(shù)學(xué)知識(shí)供給必需的基礎(chǔ)，也能夠應(yīng)用它們來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)質(zhì)問(wèn)題。進(jìn)而也理解不等式（組）對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值。不等式的基礎(chǔ)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)abab0,abab0,abab0，它是研究不等式的公義，由此出發(fā)要理解和掌握不等式的八條（初中階段只有三條）基天性質(zhì)的前因后果。不等式的基天性質(zhì)是研究不等式的理論依照，一定深刻理解每一個(gè)性質(zhì)建立的前提條件。證明一個(gè)不等式正確時(shí)要找到合理的不等式性質(zhì)，證明一個(gè)不等式錯(cuò)誤時(shí)只需舉出一個(gè)反例或用反證法。解不等式的過(guò)程就是利用不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行不停等價(jià)轉(zhuǎn)變和化簡(jiǎn)，最后獲得所含未知數(shù)的范圍，這也是解各樣不等式的基本思想和方法。初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)。本講先介紹一些高中新課標(biāo)中對(duì)于不等式的必備知識(shí)。7.1一元二次不等式及其解法一、核心重點(diǎn)不等式的基本觀點(diǎn)1、不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子。2、不等式的解：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)合適這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解。3、不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的全部解構(gòu)成的會(huì)合叫做這個(gè)不等式的集解。4、解不等式：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式。不等式的基天性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即假如假如

ab，那么ambm；ab，那么ambm。性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即假如假如

ab，且m0，那么ambm（或ab）；mmab，且m0，那么ambm（或ab）。mm性質(zhì)3：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。即假如ab，且m0，那么ambm（或ab）；mm假如ab，且m0，那么ambm（或ab）。mm一元一次不等式及不等式組1、觀點(diǎn)：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式，一元一次不等式的一般形式為axb。2、一元一次不等式的解①當(dāng)②當(dāng)③當(dāng)

a0時(shí)，xb；aa0時(shí)，xb；aa0時(shí)，若b0，則x為隨意實(shí)數(shù)，若b0，則無(wú)解。3、一元一次不等式組：由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式構(gòu)成的不等式組，叫做一元一次不等式組。不等式組中全部不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集。求不等式組的解集的過(guò)程叫做解不等式。4、不等式組的解法：轉(zhuǎn)變成一元一次不等式，求解每個(gè)不等式，得公共部分，即為不等式組的解集。一元二次不等式1、一元二次不等式：一個(gè)整式不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式。2、它的一般形式是ax2bxc0或ax2bxc0(a0)。3、一元二次不等式的解法1）化二次項(xiàng)系數(shù)為正；2）觀察相應(yīng)的二次函數(shù)圖像；對(duì)于一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解，能夠依照其對(duì)應(yīng)方程ax2bxc0(a0)的鑒別式0、0、0（此中b24ac）分為以下三種狀況進(jìn)行議論。①當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0)和(x2,0)。那么由圖7-1可得：②當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)b,0)（此中x1x2b）。那么由圖7-2(2a可得：2a③當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)。那么由圖7-3可得：ax2bxc0(a0)x二、考點(diǎn)打破yyy例1、解以下不等式：（1）4xx20；x（2）x28x160；x1Ox2解：（1）原不等式的解是ROx=x2x（2）原不等式的解是1Ox（3）2x2圖7-1圖7-2圖7-33x70；（4）(x2)(x3)6。解：（3）原不等式的解是{x|365x365}444）原不等式的解是3x4．練1、求以下不等式的解集：（1）x2xx1；（2）4x24x10；解：（1）原不等式的解是{x|x12,或x12}（2）原不等式的解是{x|x1}2（3）x2x60；（4）(x1)(x2)(x2)(2x1)。解：（3）原不等式的解是x3或x2．（4）原不等式的解是x0或x4．7.2簡(jiǎn)單分式不等式的解法一、核心重點(diǎn)分式不等式的定義：分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式。簡(jiǎn)單分式不等式的解法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)變成整式不等式，應(yīng)該注意分母不為零．二、考點(diǎn)打破例2、解以下不等式：（1）2x30；（2）x30x1x2x1剖析：(1)近似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法例”將之化為兩個(gè)一元一次不等式組辦理；或許因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)相乘也異號(hào)，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)變成整式不等式求解．(2)注意到經(jīng)過(guò)配方法，分母其實(shí)是一個(gè)正數(shù)．解：(1)解法(一)原不等式可化為：解法(二)原不等式可化為：(2x3)(x1)01x3．132(2)∵x2x1(x)20原不等式可化為：x30x3124練2、解不等式3x2解：原不等式可化為：說(shuō)明：(1)轉(zhuǎn)變成整式不等式時(shí)，必定要先將右端變成0．本例也能夠直接去分母，但應(yīng)注意議論分母的符號(hào)：小結(jié)練習(xí)1、解以下一元二次不等式（1）2x23x10；（2）x32x2；答案：（1）解集為：(1,1)2（2）解集為：{x|x1,或x3}2（3）x(2x3)32xx2；（4）x22x40；答案：（3）解集為：(137,137)66（4）解集為：R（5）x22x10；（6）2x2x10。答案：（5）解集為：{1}（6）解集為：2、解以下分式不等式：（1）x30；（2）x7（3）x31x73.不等式12x0的解集是。x1

x30；x74.不等式11的解集是.x2總結(jié)：概括分式不等式的解法：1）化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型：2）將分式不等式轉(zhuǎn)變成整式不等式求解如：拓展：高次不等式的解法解不等式：x23x2x22x0.37.3含參數(shù)的不等式的解法及恒建立問(wèn)題一、核心重點(diǎn)含參數(shù)的一元二次不等式因?yàn)槠湎禂?shù)中出現(xiàn)了參數(shù)，所以需要對(duì)參數(shù)的不一樣取值進(jìn)行分類(lèi)議論而加以求解。一般狀況下，含參數(shù)的一元二次不等式的分類(lèi)和議論步驟以下：1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的一元二次不等式，要注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)能否為零進(jìn)行分類(lèi)議論，特別地，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)能夠轉(zhuǎn)變成一元一次不等式來(lái)求解；2）含參數(shù)的一元二次不等式，在其解的狀況下不明確的狀況下，需要對(duì)其鑒別式分0、0、0三種狀況加以議論；（3）若含參數(shù)的一元二次不等式能夠轉(zhuǎn)變成用其對(duì)應(yīng)方程的根x1,x2表示成形如a(xx1)(xx2)的形式時(shí)，且兩根x1,x2中含參數(shù)，常常需要對(duì)其根分x1x2,x1x2,x1x2三種狀況進(jìn)行議論，或借助韋達(dá)定理求解。與一元二次不等式相關(guān)的逆向問(wèn)題給出了一個(gè)一元二次不等式的解集，則可知a的符號(hào)和ax2bxc0的兩根，由韋達(dá)定理可知a,b,c之間的關(guān)系。含參數(shù)的不等式的恒建立問(wèn)題不等式恒建立，則不等式的解集為R，一元二次不等式ax2bxc0(a0)在R上恒建立的條件是a0,4acax2bxc0(a0)在R上恒建立的條件是b20;a0,0.二、考點(diǎn)打破例3、已知m是實(shí)常數(shù)，解對(duì)于x的不等式：m(xm)x1。答案：當(dāng)m10時(shí)，xm1；當(dāng)m10時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)m10時(shí)，xm1；練3、解對(duì)于x的不等式：（1）4(x1)ax3；（2）a(xa)b(xb)。答案：（1）當(dāng)a4時(shí)，x1；a4當(dāng)a4時(shí)，x為一確實(shí)數(shù)；當(dāng)a41；時(shí)，xa4（2）當(dāng)ab時(shí)，xab；當(dāng)ab時(shí)，原不等式無(wú)解；當(dāng)ab時(shí)，xab例4、假如不等式3x26xm0無(wú)解，求m的取值范圍。答案：m3練4、不等式(a1)x2(a1)x10的解為一確實(shí)數(shù)，求a的取值范圍。答案：綜上所述：當(dāng)3a1時(shí)，原不等式的解為一確實(shí)數(shù)。注意：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為零的狀況的議論。練5、若不等式(m1)x2(m1)x20的解集為R，求m的取值范圍。解：1m9練6、若對(duì)于x的不等式mx2(m3)x10的解集為，務(wù)實(shí)數(shù)m的范圍。答案：9m1例5、設(shè)a為參數(shù)，解對(duì)于x的一元二次不等式ax2(a1)x10。解：（1）當(dāng)a0時(shí)，x1；（2）當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為a(x1)(x1)0。a①若a0，當(dāng)0a1時(shí)，1x11；當(dāng)a1時(shí)，x1。aa②若a0，x1或x1。a練7、解不等式x2(a1)xa0。答案：當(dāng)a1時(shí)，xa或x1；當(dāng)a1時(shí)，x1；當(dāng)a1時(shí)，x1或xa。例6、若不等式ax2bxc0的解集為{x|3x4}，求不等式bx22axc3b0的解集。答案：解集為：{x|3x5}練8、已知對(duì)于x的不等式ax2bxc0(a0)的解集是{x|x2,或x3}，求不等式bx2axc0的解集。答案：{x|x1,或x6}5練9、不等式ax2bx20的解集為{x|1x2}，求a與b的值。答案：a1,b1練10、已知對(duì)于x的不等式ax2bxc0的解集是{x|x1,或x2}，求關(guān)2于x的不等式ax2bxc0的解集。答案：[2,1]2練11、已知對(duì)于x的不等式kx2(k21)x30的解為1x3，求k的值．剖析：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根是1和3，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象張口向上．依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系能夠求解．k0解：由題意得：13k21k1k(1)33k說(shuō)明：本例也能夠依據(jù)方程有兩根1和3，用代入法得：k(1)2(k21)(1)30，k323(k21)30，且注意k0，進(jìn)而k1．小結(jié)練習(xí)練1、求對(duì)于x的不等式m2x22mxm的解．解：原不等式可化為：m(m2)xm2(1)當(dāng)m20即m2時(shí)，mx1x；，不等式的解為1m(2)當(dāng)m20即m2時(shí)，mx1．①0m2時(shí)，不等式的解為x1；m②m0時(shí)，不等式的解為x1；③m0m時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)．(3)當(dāng)m20即m2時(shí)，不等式無(wú)解．綜上所述：當(dāng)m0或m2時(shí)，不等式的解為x1；當(dāng)0m2時(shí)，不等式的m解為x10時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)m2時(shí)，不等式無(wú)解．；當(dāng)mm1練2、已知對(duì)于x的不等式k2kxx2的解為x，務(wù)實(shí)數(shù)k的值．2剖析：將不等式整理成axb的形式，能夠考慮只有當(dāng)a0時(shí)，才有形如xb的解，進(jìn)而令b1a．a(chǎn)2解：原不等式可化為：(k1)xk22．k10k13k221或3k所以依題意：k2．k1212練3、已知對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，kx22xk恒為正數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：明顯k0不合題意，于是：7.4含絕對(duì)值的不等式的解法一、核心重點(diǎn)x,(x0)我們知道，|x|0,(x0)它表示實(shí)數(shù)x在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。因x,(x0)此，求不等式|x|a(a0)的解集就是求數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的會(huì)合。最簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值的不等式的解法|x|a(a0)的解為axa；|x|a(a0)無(wú)解；|x|a(a0)無(wú)解；|x|a(a0)的解為xa或xa；|x|a(a0)的解為x0的一確實(shí)數(shù)；|x|a(a0)的解為一確實(shí)數(shù)；較簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值的不等式的解法（1）|axb|c(c0)caxaxbcbcb；axc（2）|axb|c(c0)axbc或axbc；（3）|xa||xb|c(c0)的解法：先求出使每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)學(xué)式子等于零的未知數(shù)的值（稱(chēng)為零點(diǎn)），將這些值挨次在數(shù)軸上標(biāo)明出來(lái)，它們把數(shù)軸分紅若干個(gè)區(qū)間，議論每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子在每一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，使之轉(zhuǎn)變成不含絕對(duì)值的不等式去解。這類(lèi)方法我們稱(chēng)為零點(diǎn)分段法。二、考點(diǎn)打破例7、解以下絕對(duì)值不等式：（1）|4x3|2；（2）|3x1|5；答案：（1）(1,5)；44（2）{x|x4或x2}3（3）|x24x|5；（4）|3x1||2x|；答案：（3）[5,1]（4）[1,3]42（5）|3x2|x1；（6）|2x1|x5。答案：（1）(1,3)42（2）{x|x4或x6}3練11、解不等式：（1）|2x10|12；（2）|