2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料（全國(guó)通用）分項(xiàng)專題17 等腰、等邊三角形（練透）-【講通練透】中考數(shù)學(xué)一輪（全國(guó)通用）（教師版）

專題17等腰、等邊三角形一、單選題1．（2020·浙江九年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)綜合活動(dòng)課上，小凌同學(xué)需要在一個(gè)半徑為6cm的圓上裁出一個(gè)面積盡可能大的等邊三角形，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】D【分析】畫出圖形，作于點(diǎn)，利用垂徑定理和等邊三角形的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：依題意得，連接，，作于點(diǎn)，∵，∴，，∴∴由勾股定理可得故選：D．2．（2022·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）九年級(jí)三模）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF⊥AC交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)O．若OA＝3，則△ABC外接圓的面積為（）A．3π B．4π C．6π D．9π【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD是BC的垂直平分線，從而可得點(diǎn)O即為外接圓的圓心，再利用圓的面積公式即可得．【詳解】解：，AD是的平分線，且AD是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一）是BC的垂直平分線是AC的垂直平分線點(diǎn)O為外接圓的圓心，OA為外接圓的半徑外接圓的面積為故選：D．3．（2022·福建廈門雙十中學(xué)思明分校九年級(jí)二模）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，DE＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．9 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到2DE＝AC，解得AC的的長(zhǎng)，再由等邊三角形三邊相等的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，DE＝2，在等邊△ABC中，△ABC的周長(zhǎng)為：故選：B．4．（2022·南昌市第十九中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長(zhǎng)為（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到AD＝AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB為等邊三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.6，故選：A．5．（2022·深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校）如圖，平行四邊形中，，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則等于（）A． B． C． D．2.5【答案】A【分析】過C作CF⊥AD于F，由已知條件求得，由OA=OC，所以，進(jìn)而可得OE=CF．【詳解】如解圖所示，過C作CF⊥AD于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC=∠ABC=60°CD=AB=4，OA=OC,∴∠DCF=30°∴DF=CD=2，∴CF=DF=2∵CF⊥AD，OE⊥AD，∵OA=OC，∴OE=CF=．故選A6．（2022·四川）等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2：，則它的頂角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】證明△ABC是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tanB＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，故選：C．7．（2022·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，是等腰直角三角形的頂角平分線，，則等于（）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得，即可得到答案．【詳解】∵是等腰直角三角形的頂角平分線∴，即為等腰直角三角形的中線∴∵∴故選：B．8．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，在等腰直角中，，、分別為、上的點(diǎn)，，為上的點(diǎn)，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作輔助線，構(gòu)建矩形，得P是MN的中點(diǎn)，則MP＝NP＝CP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作MG⊥BC于M，過點(diǎn)N作NG⊥AC于N，連接CG交MN于H，

∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，

∴四邊形CMGN是矩形，

∴CH＝CG＝MN，

∵PC＝MN，

存在兩種情況：

如圖，CP＝CP1＝MN，

①P是MN中點(diǎn)時(shí)，

∴MP＝NP＝CP，

∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMN＝∠PCM＝90°?50°＝40°，

∴∠CPM＝180°?40°?40°＝100°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，

∵∠CPB＝117°，

∴∠BPM＝117°?100°＝17°，

∵∠PMC＝∠PBM＋∠BPM，

∴∠PBM＝40°?17°＝23°，

∴∠ABP＝45°?23°＝22°．

②CP1＝MN，

∴CP＝CP1，

∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，

∵∠BP1C＝117°，

∴∠BP1M＝117°?80°＝37°，

∴∠MBP1＝40°?37°＝3°，

而圖中∠MBP1＞∠MBP，所以此種情況不符合題意．

故選：A．9．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，在中，，，，且，若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到，，過B作于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，當(dāng)時(shí)，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，解得：（負(fù)值舍去），，，，，，，，過B作于H，，，，，當(dāng)時(shí)，PQ的值最小，，，，，故選：A．10．（2022·河北九年級(jí)期末）如圖，∠ABC=20°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)130°得到△EBF．若點(diǎn)A，F(xiàn)，E在同一條直線上，則∠AFB的度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠E＝25°，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)130°得到△EBF，∴∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，∴∠A＝∠E＝(180°－130°)÷2＝25°，∴∠AFB＝∠E+∠EBF＝25°+20°＝45°，故選：C．二、填空題11．（2022·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿翻折得到，若，則________．【答案】81°【分析】由折疊的性質(zhì)可得，由垂直平分線的性質(zhì)可得，則有，然后可得，則有，進(jìn)而可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，∵邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，在△ABC中，，，∴，即，∴；故答案為81°．12．（2022·浙江諸暨市暨陽初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）AD為面積為30的銳角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，線段AB上的點(diǎn)E將AB分成兩條線段的比為3∶2，過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，若AD＝6，則CF＝_______．【答案】4或6【分析】根據(jù)三角形面積公式求得BC＝10，根據(jù)角的和差倍數(shù)可得∠B＝∠BAC，繼而由等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得BC＝AC＝10，根據(jù)線段比例即可求解．【詳解】∵S△ABC＝＝30，AD＝6，∴BC＝10，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，∠B＝90°﹣∠BAD，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠ACB，∵∠ACB＝2∠BAD，∴∠CAD＝90°﹣2∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝90°﹣∠BAD，∴∠B＝∠BAC，∴BC＝AC＝10，∵點(diǎn)E將AB分成兩條線段的比為3∶2，EF∥BC，∴,或，故答案為：4或6．13．（2022·日照港中學(xué)九年級(jí)一模）如圖，等腰直角三角形中，斜邊的長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為______．【答案】1【分析】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再證明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接著利用△APE和△BFQ都為等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=，即可判定點(diǎn)M到AB的距離總為，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，最后利用三角形中位線性質(zhì)得到點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)．【詳解】解：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為等腰直角三角形，斜邊的長(zhǎng)為2，根據(jù)勾股定理∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ（ASA），∴AP=CQ，∵∠A=45°，PE⊥AB，∴∠APE=180°-∠A-∠AEP=180°-45°-90°=45°，∴△APE為等腰直角三角形，∵∠B=45°，QF⊥AB，∴∠BQF=180°-∠B-∠BFQ=180°-45°-90°=45°，∴△BFQ為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M(jìn)點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點(diǎn)M到AB的距離為，而CO=1，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)=AB=1，故答案為1．14．（2022·黑龍江九年級(jí)期末）在菱形中，，，點(diǎn)在直線上，，連接，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】或【分析】分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：當(dāng)點(diǎn)E在菱形邊BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在菱形邊上時(shí)，如圖1，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，在中，，，根據(jù)勾股定理，得．故答案為：或．15．（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校九年級(jí)月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE⊥BE，若CE＝1，則BD的長(zhǎng)為_____．【答案】2【分析】延長(zhǎng)BA和CE交于點(diǎn)F，根據(jù)已知條件證明△FBE≌△CBE，可得EF=CE=1，得CF=2，再證明△ABD≌△ACF，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA和CE交于點(diǎn)F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵CE⊥BE，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△FBE和△CBE中，，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴EF=CE=1，∴CF=EF+EC=2，∵∠BEF=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∵CF=2，∴BD=2．故答案為：2．三、解答題16．（2022·全國(guó)）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求證：BD?CD＝AC?CE．【答案】見解析【分析】先證明再證明再利用相似三角形與等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∴BD?CD＝AB?CE，即BD?CD＝AC?CE；17．（2022·廣州市南武實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BA=BC，點(diǎn)BD⊥AC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E（1）求證：△AED∽△CDB；（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由BA=BC，BD⊥AC，得到∠BDC=90°，∠A=∠C，由DE⊥AB，得到∠DEA=∠BDC=90°，由此即可求解；（2）由三線合一定理可以得到AD=DC=6，由相似三角形的性質(zhì)可以得到，由此即可求解．【詳解】解：（1）∵BA=BC，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∠A=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠BDC=90°，∴△AED∽△CDB；（2）∵BA=BC，BD⊥AC，∴AD=DC=6，∵△AED∽△CDB，∴，∴．18．（2022·蘭州市外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)，與∠ACF的角平分線交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD∽△CED；（2）若AB=8，AD=2CD，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）CE=4【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，即可求證；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=60°；∴∠BAC=∠ACE；又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△CED；（2）解：∵△ABD∽△CED，∴，∵AD=2DC，AB=8；∴19．（2022·江蘇鹽城·景山中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G．（1）求證：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）78°【分析】（1）只需要證明△ABC≌△AEF即可得到答案；（2）先求出∠FAG=∠BAE=50°，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠F=∠C=28°，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵∠CAF=∠BAE，∴∠BAC=∠EAF．∵將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC=AF．在△ABC與△AEF中，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF=BC；（2）∵AB=AE，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠AEB=65°∴∠BAE=180°-65°×2=50°，∴∠FAG=∠BAE=50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F=∠C=28°，∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．20．（2022·常德市第十一中學(xué)）如圖，在△ABC中，AD是高，BE是中線，∠EBC＝30°，求證：AD＝BE．【答案】見解析【分析】首先過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，利用已知得出EF是△ADC的中位線，再利用EF=BE求出即可．【詳解】解：證明：過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，∵AD⊥BC于D點(diǎn)，EF⊥BC，∴AD∥EF，∵BE為中線，∴F為DC的中點(diǎn)，∴EF是△ADC的中位線，∴EF=AD，∵∠CBE=30°，∠EFB=90°，∴EF=BE，∴AD=BE．21．（2022·全國(guó)）如圖，己知：Rt△ABC中，∠BAC＝9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB延長(zhǎng)線于F，求證：①△ABD∽△CAD；②AB∶AC＝DF∶AF．【答案】①見解析；②見解析【分析】（1）由Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，易得∠BAD＝∠ACD，又由∠ADB＝∠ADC，即可證得△ABD∽△CAD；（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易證得△AFD∽△DFB，可得，繼而證得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∵∠ADB＝∠ADC，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴，∵E是AC中點(diǎn)，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，∴∠ACD＝∠EDC，∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF，∵∠AFD＝∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴，∴，∴AB∶AC＝DF∶AF．22．（2020·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是△BCE的中位線，，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，．（1）求證：△ABC為等腰三角形．（2）求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）通過證明得到即可；（2）如圖，連接、、，先利用勾股定理計(jì)算出，設(shè)的半徑為，的半徑為，在中利用勾股定理得到，解得，則，再利用面積法求出，即，然后計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵AD是的中位線，∴，，，，又∵，，，又∵，，為等腰三角形．（2）解：如圖，作的外接圓⊙P與內(nèi)切圓⊙Q，連接、、，∵等腰和它的外接圓⊙P與內(nèi)切圓⊙Q都是軸對(duì)稱圖形，且它們有一條公共的對(duì)稱軸，為AP所在直線，∴圓心Q也在AP上，∵，，，∴，，∴在中，，設(shè)的半徑為，的半徑為，∵在中，，∴，解得：，，，，解得：，即，．答：的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心之間的距離為．23．（2022·廊坊市第四中學(xué)九年級(jí)期末）把兩個(gè)等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．（1）當(dāng)DE⊥AC時(shí)，AD與BC的位置關(guān)系是______，AE與BC的位置關(guān)系是______；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí)，求∠BEC的度數(shù)；（3）當(dāng)