D8-3 多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù)

第八章第三節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù)第八章一、多變量函數(shù)的微分整理課件一、多變量函數(shù)的微分定義8.3.1

設(shè)在的鄰域中有定義，記，如果存在常數(shù)A,B使得當(dāng)時(shí)，有則稱在M0處可微，并稱為在M0的微分，記成整理課件是的線性主部。定理8.3.1

如果f(x,y)在M0(x0,y0)處可微，則f(x,y)在M0(x0,y0)處連續(xù)。整理課件定義8.3.1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:二、多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)整理課件同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或y偏導(dǎo)數(shù)存在,整理課件例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件例2.

設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整體記號(hào),整理課件若在(x,y)

處可微，則偏導(dǎo)數(shù)也叫偏微商，這種叫法源于其本質(zhì)上是一個(gè)一元函數(shù)微商，但對(duì)于二元函數(shù)而言不具有商的性質(zhì)，只是一種記號(hào)。整理課件二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)y軸的整理課件函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!整理課件二元函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在。但偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微。定理8.3.2

如果z=f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在M0(x0,y0)處都是連續(xù)的，則f(x,y)在M0(x0,y0)處可微。整理課件例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的可微與偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)可微的定義為整理課件例5.

求在（1，2，3）處的偏導(dǎo)數(shù)。整理課件三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù):整理課件類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)為整理課件例6.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的二階偏導(dǎo)數(shù)及整理課件例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件例7.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件則證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:令則令定理.8.3.3.整理課件同樣整理課件在點(diǎn)連續(xù),得整理課件例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等整理課件把區(qū)域D中有n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)全體記作把區(qū)間I中有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的一元函數(shù)全體記作整理課件作業(yè)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P66－681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。整理課件第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則微分法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束復(fù)合函數(shù)的微分法第八章整理課件本節(jié)內(nèi)容:一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二*、Jacobi矩陣三、方向?qū)?shù)和梯度四、全微分的不變性五、例題整理課件一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理8.4.1.若函數(shù)可微，和有一階偏導(dǎo)數(shù)，則z對(duì)x和y有偏導(dǎo)數(shù)，并有寫成矩陣形式：整理課件一般地，設(shè)可微，而整理課件例1.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件例2.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件例3.證明函數(shù)u=1/r

滿足方程其中。Laplace方程，調(diào)和函數(shù)整理課件

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有增量△u,△v,整理課件(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件若定理中說(shuō)明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則定理結(jié)論不一定成立.整理課件中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y對(duì)x求導(dǎo),表示固定v對(duì)x求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件例4.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多