《數(shù)學(xué)分析》第四章多元函數(shù)微分學(xué)

第四章

多元函微學(xué)一本知脈框重極限與累次極限極限極限存在的判別方法極限與連續(xù)基本概念多元函數(shù)微分學(xué)

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)可微性全微分（三元為例）計(jì)算應(yīng)用

基本性質(zhì)概念可微和連續(xù)可微的必要條件可微的充分條件dx+fdy+fdzy復(fù)合函數(shù)微分隱函數(shù)微分參數(shù)方程微分高階導(dǎo)數(shù)與微分多元極值

有界性極值和最值介值性泰勒公式條件極值切線、法線、法平面、切平面1

二本重及點(diǎn)本章需要重點(diǎn)掌握以下幾個(gè)方面內(nèi)容：偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義微偏導(dǎo)存在連之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分一微分形式不變性方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標(biāo)變幾何應(yīng)（面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線.極值問題（必要條件與充分條件件極值與乘.三本的本識(shí)點(diǎn)()平面點(diǎn)與多元數(shù)1.任一點(diǎn)

A

與任意點(diǎn)集

E

的關(guān)系1)內(nèi)點(diǎn).若在點(diǎn)的鄰域U是點(diǎn)集E的點(diǎn)。2)外.

若存在點(diǎn)

A

的某鄰域

，使得

，則稱點(diǎn)

A

是點(diǎn)集

E

的外點(diǎn)。3)界（界）若在點(diǎn)AE點(diǎn)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)集的界點(diǎn)。

A

的任何鄰域內(nèi)既含有屬于

E

得的點(diǎn)，又含有不屬于

E

的4)聚.

若在點(diǎn)A的何空心鄰域

內(nèi)部都含有中點(diǎn)，則稱點(diǎn)點(diǎn)集E的聚點(diǎn)。5)孤立點(diǎn)點(diǎn)

A

，但不是

E

的聚點(diǎn)，則稱點(diǎn)

A

是點(diǎn)集

E

的孤立點(diǎn)。2.幾特殊的平面點(diǎn)集1)開集.若面點(diǎn)集

E

所屬的每一點(diǎn)都是

E

的內(nèi)點(diǎn)，則稱

E

為開集。2）閉.若面點(diǎn)集的有聚點(diǎn)都屬于E，稱為集。3)開域若空開集具連通性E中意兩點(diǎn)之間都可用一條完含于得限折線相連接，則稱為開域。4）閉.開連同其邊界成的點(diǎn)集稱為閉域。5）區(qū).開、閉域或者域連同某一部分界點(diǎn)所成的點(diǎn)集，統(tǒng)稱為區(qū)域。3.

R

上的完備性定理1)點(diǎn)列收定：

n

2

為平面點(diǎn)列，

P0

2

為一固定點(diǎn)。若對(duì)任給的正數(shù)

，2

存在正整數(shù)

使得當(dāng)

N

時(shí)有

PUn0

則稱點(diǎn)列

n

P

記limPP

或

PP,n0

.2點(diǎn)收定（西則平面點(diǎn)

條是：任給正數(shù)，在正整n數(shù)

，使得當(dāng)

N

時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)

，都有

nn

.3）閉域理設(shè)

n

2

中的閉域列，它滿足：(i)

Dn

n1,2,...;

(ii)

dnnn

.則存在唯一的點(diǎn)

P,n1,2,...n

.4)聚點(diǎn)定.

設(shè)ER為有界無限點(diǎn)集在中少有一個(gè)聚點(diǎn)。5)有覆定.設(shè)D2為有界閉域，

為一開域族，它覆蓋了

D

（即D

則

中必存在有限個(gè)開域

,...

m

，它們同樣覆蓋了D（i

二函數(shù)定：平面點(diǎn)集2，按照某對(duì)應(yīng)法則f，D中一點(diǎn)P

都有唯一確定的實(shí)數(shù)

z

與之對(duì)應(yīng)，則稱

f

為定義在

D

上的二元函數(shù)（或稱

f

為

D

到

的一個(gè)映射作f:DR

z

，且稱

D

為

f

的定義域，

所對(duì)應(yīng)的z

為

f

在點(diǎn)

P

的函數(shù)值，記作

或

：其它多元函數(shù)與二元函相似（二）元函數(shù)的極。定義

設(shè)f為義在上二元函數(shù)為D的個(gè)點(diǎn)是個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)

，都存在一個(gè)

，使得

P0

D

時(shí)，都有f3

則稱f在D上當(dāng)PPlim。

時(shí)，以A為極限，記作

limfPP

。有時(shí)簡(jiǎn)記為PP當(dāng)P、P分別

表示時(shí)，上式也可寫作

limf

重要理推.）

limPP

的充要條：于

D

的任一子集

E

，只要

P

是

E

的聚點(diǎn)就有l(wèi)imfP

。2設(shè)

，是E的聚點(diǎn)，若1

fP

不存在，則

limPP

也不存在。3設(shè)

E

、

E

，

P

是它們的聚點(diǎn)若

f1P

，

f2P

但

A2

，則

limf

不存在。

P4極限

limfP

P

存的要件：對(duì)于D中一滿足條件

0

的點(diǎn)列

對(duì)應(yīng)的函數(shù)列

n二函數(shù)函數(shù)極限的四則運(yùn).若

limf

，

limg

,

。則

y

,

lim

y

,

limf

;

lim

,

f,Bgy

累極.定義于函數(shù)

f

若定

yylimf0x

存在且

limy

也存在，則稱

A

為

f

在

P00

處先對(duì)

后對(duì)

的累次極限，記為limlimfyy

，類似可定義

limlimfxxyy

。重要理推.①若

limf

與

limlimf

limlimf

存它

xx

yyxx相等；4

22②若

limf

，

limlimfxxyy

和

limlimfyy

都存在則三者相等；③若

limfxx

與

limlimfyyxx

都存在但不相等

limf

不存在。（三）元函數(shù)的連性定

設(shè)

f

為定義在點(diǎn)集

DR

2

上的二元函數(shù)，

，若對(duì)

，都存在一個(gè)

，只要

0

D

，就有f則稱

f

關(guān)于集合

D

在點(diǎn)

P

連續(xù)

f

在

D

上任何點(diǎn)都連續(xù)

f

為

D

上的連續(xù)函數(shù)。若y000義關(guān)于x連。

則稱

f

在

P00

處關(guān)于

連續(xù)同可定復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理

設(shè)二元函數(shù)

000

點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)

f00

處連續(xù)，其中

y000

，則復(fù)合函數(shù)f

x,y

有閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)）若函數(shù)f在界域上連續(xù)，則f在上界，且能取最大值與最小值；）若函數(shù)

f

在有界閉域

DR

2

上連續(xù)，則

f

在

D

上一致連續(xù)；）函數(shù)在界閉域上續(xù)對(duì)意的、D，f2

，則對(duì)任何滿足不等式

f1

f2

的實(shí)數(shù)

必在點(diǎn)

使

f0

。

n

元函數(shù)唯一存在與連續(xù)可微性定理。若1）函數(shù)

F(x,xxy

在以

(x0x0y)1n

為內(nèi)點(diǎn)的

n

維空間區(qū)域D

內(nèi)連續(xù)；）偏導(dǎo)數(shù)

F','F'xy

在D內(nèi)在且連續(xù)；）

(0x,0)1

；5

）

'0,0x0y0)y

；則在P

的某一鄰域U(P)

內(nèi)，方程

Fx,y)2n

唯一地確定了一個(gè)定義在x00,...,0,01n

的鄰域U(Q)

上的連續(xù)函數(shù)

y(xx)n

使得:①

xx,...,x,f(x,...,(),(x,xU(Q);1222F,xxf(x))0,(,xU(yx0).12n0②

y(xx)2n

在U(Q)

內(nèi)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：

f','f'xxx

而且

f'x

F'xF'y

,f'x

F'xF'y

,...,f'x

F'xF'y

.由程組確定的隱函數(shù)（隱函數(shù)組定理）若：）

F(,y)與(xyu,v)

在以點(diǎn)

P(y,)0

為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域V4內(nèi)續(xù)；）

F(xyu)x,y,,v0000

（為初始條件）在內(nèi)FG具一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；）

J

F)V)

在點(diǎn)

P

處不等于零。則在點(diǎn)

P

的某一（四維空間）鄰域

)V

內(nèi)，方程組x,y,u,)G(x,,uv

唯一地確定了定義在點(diǎn)

(,)0

的某（二維空間域

(Q)

內(nèi)的兩個(gè)二元隱函數(shù)

uf(x),v(x,),

使得：①

uf(y),v(x,y),且(xyU(0000

時(shí)，(,),gy))UP),0F(x,y,f(x,x))G(x,f(,y),(,y))6

00000000000000000000②③

f(x,),(x)f(x,),(x)

在在

(Q(Q

內(nèi)連續(xù)；內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且1J1J

F))JF)y,)

),)F),)

(x,)（函數(shù)組定理）若函數(shù)組vx,)

滿足如下條件：）

u(x,),(x)

均是有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；2

,),)

0.則此函數(shù)組可確定唯一的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組xx(),yy(u,),

且

,)))v

()多元微學(xué)的應(yīng)泰定理若

f(x,)

在點(diǎn)

P(,y的鄰域0

()

內(nèi)存在n階連的偏數(shù)則xyU()0

，有f(x,yf())()(h)2!

2

f(x,)00(h)nf(,)!

(h)nf(xy(n1)!其中

(h

)

f(xy)cp0p

mk

p

f

當(dāng)

xy0

時(shí)，相應(yīng)二元函數(shù)

f(x,)

的麥克勞林公式為7

f(x)fxy)(0,0)

(x)!

f(0,0)(x)(

f

).．值）定義

設(shè)函數(shù)

zf(,y)

在點(diǎn)

Py)00

的某鄰域

()

內(nèi)有定義，如果,)(P)

滿足

f(x(,fx,yf(,y00

f((xy)0的極大值（極小值時(shí)點(diǎn)稱為f(x,)極值。

的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)大，極小值統(tǒng)稱函

f(x,)

在點(diǎn)

P

的偏導(dǎo)數(shù)存在，則

f

在點(diǎn)

P

取得極值的必要條件為：f

(x,)f

(x,)

，滿足上述條件的點(diǎn)稱穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn)。極值充條設(shè)數(shù)

f(x,)在Px,)0

的某鄰域

()

內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

P

是

f

的穩(wěn)定點(diǎn)。記

f

(P),

(PCf

()

則①當(dāng)

B

2

時(shí)，函數(shù)在取極值，若，取得極大值，若則取得極小值；②當(dāng)

B

2

時(shí)，函數(shù)

f

在點(diǎn)

P

不取極值；③當(dāng)

2

時(shí)，不能判斷

f

在點(diǎn)

P

是否極值；．件值）求條件極值的方法有兩種：一種將條件極值化為無條件極值的問題來求解；并一是用拉格朗日乘數(shù)法求解。）拉格朗日乘數(shù)法求二元函數(shù)

zf(x,)

在約束條件

(,y)

下的極值步驟如下：①作相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)L(y

(,y)②令

''0.x

即8

(x,)()0,(xy)0,(x,)y)③求解上述方程組，得穩(wěn)定點(diǎn)

P,00

。④判定該點(diǎn)是否為條件極值如是實(shí)際問題可由問題本身的性質(zhì)來判定不是實(shí)際問題，可用二階微分判別。對(duì)條件極值的一般情形，求函數(shù))112n(x,x)m2

zf(,x)

在約束條件（其中

f

m

均具有一階連續(xù)偏函數(shù)，且雅可比Jacobi矩陣1

...

的秩為m)下的極值步驟如下：①作拉格朗日函數(shù)Lf.12mm②分別令

L'''xx

'

得到相應(yīng)的方程組。③解上述方程組得到可能的條件極值點(diǎn)，再對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行判定。()多元函幾何應(yīng)平面線切與線平面曲線由方程

F(xy)

給出，它在點(diǎn)

Px,y0

的切線與法線的方程為：切線方程：

F'

(x,)(x)'00y

(y)(00

，法線方程：

F'(x,y)'

(y)00

?？臻g線切與平空間曲線

L

由參數(shù)方程

Lxt),y(t),(t),t

表出，假定

'(t),y'(t),z(t)000

不全為零曲

L

在

Px,y,0

處的切線方程式為：9

PP000PP000yz000'(t)'t)z()00曲線在P,,z

;處的法平面方程式為：x

'

(tx)0

'

(t)(y)0

'

(t)0

空間曲線

由方程式組

(y,)Gx,)

給出.當(dāng)

F)F)G),),)

中至少一個(gè)不為零時(shí)，曲線

在點(diǎn)

P

的切線方程為：()()(z)F,G)F,)F,)|,z)x),y)

P

，曲線

在點(diǎn)

P

的法平面方程為：F)y,)

F))|(x)|(yy)|(z)xy)

?？臻g線切面法設(shè)曲面由方程

F(xyz)0

給出，

Px,y,000

是曲面上一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)

F(xy

在偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，且不同時(shí)為零，則曲面上點(diǎn)

P

處的切平面方程為：

()'0y

()(y)z

(P)(z)

，曲面上點(diǎn)

P

處的法線方程為：yz00F'()F'()F'(P)x0

。四基例解點(diǎn)10

]=xex]=xex【例】

f(,y

是區(qū)域

:x

上有界的

次齊次函數(shù)（

問極限lim[f(x,yx]xy

是否存在？若存在，試求其值?！臼?/p>

f(y

是

次齊次函數(shù)是指

frx)(xy)【】令

xr

sin

。同時(shí)設(shè)

(,y)M,(xy)D

。則

f(x,yf(r

r

(cos

M

因

limr

k

M，limf(x,)limfrcos

rsin

r

r從而

lim[f(x,yxxy

yxy

【例】證明

f(,)

在點(diǎn)

(0,0)

兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點(diǎn)

(0,0)

不可微?！久黠@然，

f

'x

(0,0)limx

f(xf(0,0)x

，f

'y

limy

fy)

。因此

f(,)

在點(diǎn)

兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且等于零.若

f()

在點(diǎn)

可微，則有f(x)(0,0)f'(0,0)'(0,0)(y2

即

f(x,)

xy(

2

y

2

)((y)0)

，但如果沿直線趨零，有l(wèi)imx0y0

x

xy22

故

f(x,y)

xy(x

2

y

2

)((y)0)

因此

f(x,)

在點(diǎn)

0)

不可微?！觥纠?】設(shè)

fx)

是連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，證明

z

f

y

滿足方程

xy

?！咀C】設(shè)

t

，則

nftxnyf(),nft)

11

''于是

yf()n'()yf()nf()nz

?！觥纠?

ur)

r

x

y

和

f

為可微分兩次的函數(shù).證(r

，其中

，

為拉普拉斯算子【示計(jì)算時(shí)計(jì)算三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，而uf(r)中x,y慮利用對(duì)稱性，從而減少計(jì)算量。

地位是一樣的，故可以考【證】

xx2r22f'(r)，f"(r)fr)rr2r3

由對(duì)稱性即得yrzr22f"(r)(r)，f"(r)'(r)r2rr2r3于是

f"(r)f(r)(r)r

■【例5

x,y

為由

F(xy)

所定義的函數(shù).明

【證】由

F(x(yz),y)得F

F

F，于是有，F(xiàn)'同理可得F'F'z，.'F'注意的是上式一切

,y,z),Fxyz0000

成立因此F'

F'F'

F'F'

■12

【例】設(shè)

z(,y)

u為由方程組x,

u

,z（其中

uv

為參數(shù)）所定義的函數(shù)，求當(dāng)

u

時(shí)

dz

和

d2z

【證】

u

dudy

u

),udvd

2

2

vdu

2

dudv

當(dāng)

u

時(shí)，解出

,dv

2du,,0,dz11du(),dv(dx)得，因此221dz(dx2)2

，

■【例】求函

fx

22

在

下最小值?！窘庾骼嗜蘸瘮?shù)xyz

x

2

2

2

令

L''''xyz

，即解得唯一駐點(diǎn)x

2x2y2axbya,,aa2a2

.將它們代入

fx22

得

f

a

2

1

2

。因此

fx2y22

在

by

下最小值為

f

min

a

2

12

2

?！觥纠?】設(shè)

f(x,)

在全平面上二次可微且恒不為零，證明

f(x)(hy)

的充分必要條件是

f(x,)

滿足方程13

"yxxxye"yxxxyef"'yx

'y

【證】必性顯然.在證明充分性由于

f(x,)

在全平面上二次可微且恒不等于零，不妨設(shè)

f(x,)，(y)f(,)

，則有f'ffF'x,F"ff2

下面證明

F(,y)f(,y)(xy

實(shí)際上由

F"xy

可得

'(x)x

因此f(,y)(x,)

p()y)

這說明結(jié)論成立.

■【例】求函數(shù)

z()

一階和二階的偏導(dǎo)數(shù)，其中

xy

z

【證】等兩邊微分，得dxdy

z

①故有

11dz(dx)exy

(dx)

1于是，xy

再①式微分一次

dzz2zz

2

故有

d2z

ee

ez

dy

于是

ezz

xy

■【例】設(shè)可微函數(shù)

zf()

對(duì)任意實(shí)數(shù)

t

(

t

)滿足

f(,t)

t(

點(diǎn)P2)

是曲面上一點(diǎn)

f

求曲面在處的切平面方程?！咎帷?/p>

f(y

是一次齊次函數(shù)清齊次函的導(dǎo)函數(shù)的特征很重要?！窘庖阎我獾狞c(diǎn)

(y有，f(txty().................(*)0014

將*)邊對(duì)

t

求導(dǎo)得：

xf(txty)yf(tx)f(y)x000

...................(**)在**)令t得xf(,)f(y)(y)0000故當(dāng)

(x,y)

時(shí)，

(ff(1,f(1,2y故

fy令

F(x,y)f(x,

則線方向

f,f,xy

故

處法線方向?yàn)?/p>

(4,1,

從而曲面在點(diǎn)

處的切平面方程為

4(x

即

4

■五、擴(kuò)展題解題點(diǎn)擊【例】設(shè)

f(x,)

在

,)21}

上定義，若

f(x

在點(diǎn)

x

處連續(xù)，而且f

'y

()在G上界，則

f(x,)

在（）連續(xù)?！咀C】由中值定理，得f(,)(f'(,

（其中

(0，y)

）由

f

'(xy在上界，知'y

(x

0,

取

2M

當(dāng)

時(shí)有f(,y)fx.2

（1由

f(x

在

x

處連續(xù)，知

當(dāng)

時(shí)，有f(,0)f(0,0)|.2

（）取

min{

}

，當(dāng)

|

，

|

時(shí)，由（1得f(y)f(0,0)fx,)f(xf(x(0,0)15

■【例】設(shè)

f,y)

在閉立方體

axaya,

上連續(xù)。令

x)

{min(x,y,)}

。試證：

)

在區(qū)間

[a,]

上連續(xù)。a

a【證】令

x,)minf(z),

可得

g(x,)

在

D]a,]

上連續(xù)。a令

F(x,y,)(xy)且a

可得

(y,)在[a,]a,]

上連續(xù)。aF(xz)

在關(guān)于

在

[a,]

上連續(xù)。a因?yàn)?/p>

(x)max(y,z)

以

x)在[ab]

上連續(xù)。

■a【例】設(shè)

f(y)

(yxy)y

,x220,

2

y

2

證明：

f(x,)點(diǎn)處連續(xù)但不可微【證】由于

|

(xyxy(x)xy|||y222故對(duì)

取

，當(dāng)

|y

時(shí)，（)sin()||y|f(y)f|y

即

lim(,y)

f(x)f0.故

f(x,)

在點(diǎn)

(0,0連，下證

f(x,)

在點(diǎn)

(0,0不可微。f

'x

limx0

f(x,0)(0,0)

同理

'y

令16

2222t)f(xf(0,0)f'(0,0)'xxy).y且lim

(y)sin(xy(xy)

(y)kx2)k)lim()(12)(1)與k有。所以

f(x,)在處不可微。

■【例4

x2yf(x,)y)

2

2

證明：

f(x,)

在點(diǎn)

(0,0連續(xù)但不可微。

0,x2y2【證】

由

f(x,f|

x22(2)

2

y

2

y2

時(shí)，|f(y)

14

2故

limf(x,)f0.(,y)從而

f(x,)

在點(diǎn)

連續(xù)。又

f'limxt0

f(xf

0.

同理

f'y令

(y)(0,0)f

f

考慮limlim

x2y2()2

lim

k24(12)x42)2

，即

lim

不存在。所以

f(x,)

在點(diǎn)

不可微。

■17

【例】設(shè)

f(x,)

在區(qū)域

Dx

上

上的函數(shù)，且）對(duì)每個(gè)

(y)

的

存在

f(y)g(x)

；y）

f(y)(y)

，關(guān)于

(y)

中的y一。xx試證：

limlimf()limlimf(x).xx【證】由條件2)，得x1120x當(dāng)121f(y)f(,

時(shí)

（1在上面（）式兩邊令

，則(x)(x)(x)xx

存在，令

g(xx由條件h()f(x)3

當(dāng)

時(shí)

（2由條件

0當(dāng)yy

時(shí)f(xy)(x)|

3

（3由

g(xx

，得

當(dāng)

時(shí)有

g()

3

取

min{

,

}，當(dāng)x

，

y

時(shí)|()limy).y

即

limlimf,ylimf).xx

■例6】證明微分中值定理設(shè)二元函數(shù)

zf(x,)

在凸區(qū)域D上個(gè)導(dǎo)數(shù)

x

,

y

都存在，則對(duì)于內(nèi)任何兩點(diǎn)

(x)

，

yUP00

有18

f(xy(xy)000

(x102

(x102其中

1,0【證】f(yf(,y)000f(xyf(,f(f(x,)]000000

（1令

(x)f(xy

，則由一元函數(shù)的中值定理有：)0

(x

（

即(xf(f0000

'

(x0

1

y0

（

同理令

(f(,y)

，可得f(x,(xy)

'

(,

（

）代式即可證明。

■【例】設(shè)二元函數(shù)

f(x,)

在區(qū)域

D{(,y)

上可微，且對(duì),y)D

，有

|

證明：對(duì)任意

x),()D1122

成立：f(,yfxx|yy2221

?！咀C】應(yīng)微中值定理，有|f()f(,)|f(x,y)f(x,y)fxy)f(xy)221111f(xy)f,)|f(,)f(,)|222111ffy1221x|221其中

x,),1

y,2

。

■【例】設(shè)

xy

(0)

求

,

。19

【解由

x(x兩取數(shù)lnlnx

兩邊對(duì)x求有

1z

xyxyln

。則

(xyxlnx)xx(xyln)

。同樣在（）式兩端對(duì)y求導(dǎo)有：

z

xy(ln)

。則

x

x

x)

■【例】證明不等式

y

ln0,(xy0).【證】令

f()yx則我們只須證明函數(shù)

f(x,)

在區(qū)域

D{(,y|

上的最小值即可。令

f'f'xy

得

,

由此可見函數(shù)

f(x,)

的最小值只能在曲線

x

上達(dá)到f(y

因此在

D

上

f(x)

即證。

■【例】設(shè)

ABC

的外接圓半徑為一定值，且

,

所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為

a,b,c

試證明

dadb0AcosC【證】如圖1設(shè)的接圓半徑為R圓心為O，則由于

（同弧上圓周角）有

sinD

aaA

AbBc2R同理da因此dbRcosBdB,dc2Rcos

O

D20

dadbcosC

C2R

B2C

圖1

0

■【例】設(shè)

f(x,)

有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

r

x

2

y

2

，試證：若

limyr

，f(x,)則有最小【證題設(shè)當(dāng)r時(shí)

y

。令rcos

yrsin,

則有

cossin

y

M

1r

O

如圖，設(shè)

M

0

是圓r

上的點(diǎn)，

是過

，

M

0

的射線，則當(dāng)

ML

，且

0

時(shí)，有

f

0

圖因此，當(dāng)

ra

，

f(x,)

在

x2y2a2

上取得最小值又

f(x,)

在有界閉區(qū)域x

2

y

2

2

上有最小該小值也是

f(x,)

在全平面上的最小值.

■六訓(xùn)題示評(píng)【訓(xùn)題1】考慮二元函數(shù)

0f(xy)xysin(x22)

x2yx2y2

，問此函數(shù)0,0)處是否21

連續(xù)？【提及評(píng)考慮點(diǎn)

)

延

y

趨于零時(shí)

f(y

的極限?！觥居?xùn)題2考慮二元函數(shù)

0f(x,y)sinx

2

x2x2y

在處的可微性ff【提及評(píng)先計(jì)算得再計(jì)算xyfy)f(0,0)fxfy]y2

f(0x,02y

因此，

f(y

在(0,0)處可微

■【訓(xùn)題3】若

uv

是

,y

的函數(shù)，

xr

sin

。試由

證明等式：

1,rr

?！咎峒霸u(píng)利用

;

■【訓(xùn)題4】證明：二元函數(shù)

yf(,y)xy

xx0

在平面上處處連續(xù)但不一致連續(xù)。【提及評(píng)】連性主要考慮

x

時(shí)。取

及特殊點(diǎn)列

xn

使得lim,ynnn

fynnn

0

■【訓(xùn)題5函數(shù)

z(,