曲線方程的求法課件人教版選修

1．知識與技能進一步理解曲線的方程和方程的曲線的概念，掌握求曲線的方程和由方程研究曲線性質(zhì)的方法．2．過程與方法了解求曲線方程的幾種常用方法，能夠利用它們?nèi)デ笄€的方程．重點：軌跡方程的求法．難點：求曲線的方程的思路．在求軌跡方程時，要注意題設(shè)條件對變量的限制，這一點易被忽視，如求某一三角形的頂點的軌跡方程時，要排除三點共線的情況．求出軌跡方程后，將方程所表示的曲線在原圖中大致畫一下，看有沒有多余的或漏掉的點．求曲線方程的常用方法(1)直接法：也叫直譯法，即根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何的有關(guān)公式進行整理、化簡．(2)定義法：若動點的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量．(3)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能知道曲線方程的類型，可設(shè)出其方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．(4)代入法：動點M(x，y)隨著動點P(x1，y1)的運動而運動，點P(x1，y1)在已知曲線C上運動，可根據(jù)P與M的關(guān)系用x，y表示x1，y1，再代入曲線C的方程，即可得點M的軌跡方程．(5)參數(shù)法：選取適當?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動點坐標x，y，得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程．(6)交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程．1．解析幾何研究的主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出

；(2)通過曲線的方程，研究 ．表示曲線的方程曲線的性質(zhì)2．求曲線的方程的步驟[例1]過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程．[點評]

1.直譯法求軌跡方程是常用的基本方法，大多數(shù)題目可以依據(jù)文字敘述的條件要求，直接“翻譯”列出等式整理可得．2．解題過程中，要注意使用某種形式時是否受到某些條件的限制而丟掉個別點，如使用斜率求解時限制條件是斜率存在，因而可能漏掉斜率不存在的點．必須找一找是否漏掉了．有時也可能使范圍擴大了，多出了不合要求的點，要通過最后的檢驗“防失去偽”．[解析]

設(shè)C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐標公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，∵C(x1，y1)在曲線y＝3x2－1上，∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.化簡得y＝9x2＋12x＋3.故△ABC的重心的軌跡方程為y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直線AB的交點)[例3]求(x－1)2＋(y－1)2＝1關(guān)于直線x＋y＝0的對稱曲線的方程．∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上，∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1[點評]代入法適用于所求動點與另一動點有密切聯(lián)系，(這兩個動點可通過具體式子聯(lián)系起來)，而另一個動點在已知定曲線上運動(或者另一個動點的幾何條件好找的情形).[例4]設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程．[點評]本題中的四種方法都是求軌跡方程的常用方法，在求軌跡方程時，要注意挖掘題目的條件，恰當選取方法．[例5]已知點A(0,3)點B(3,0)，若曲線C：y＝－x2＋mx－1與線段AB有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．[辨析]

錯誤的原因是線段AB，而不是直線AB.可以求出AB的方程式x＋y＝3，線段AB的方程為x＋y－3＝0(0≤x≤3)，若拋物線與線段AB有兩個不同交點，等價于兩方程組成的方程組在[0,3]內(nèi)有兩組不同實數(shù)解，可借助一元二次方程根的分布來解決．[答案]

C2．方程x2－y2＝0表示的圖形是(

)A．兩條相交直線 B．兩條平行直線C．兩條重合直線 D．一個點[答案]

A[解析]

方程x2－y2＝0可化為y＝±x，故它表示兩條相交直線．[答案]

B二、填空題4．一個動點到直線x＝8的距離是它到點A(2,0)距離的2倍，則動點的軌跡方程為________．[答案]

3x2＋4y2＝485．M為直線l：2x－y＋3＝0上的一動點，A(4,2)為一定點，又點P在直線AM上運動，且AP：PM＝3，則動點P的軌跡方程為________．[