2022-2023學(xué)年上海市高二下期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年上海市高二下期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷

一.填空題（共12小題）

1.（2021春?浦東新區(qū)校級期中）“直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線”是“Ua”的.

2.（2021春?普陀區(qū)校級期中）圓/+爐-2x-3=0的半徑大小為.

3.（2021春?浦東新區(qū)校級期中）從a、b、c、d、e五個字母中任選三個，共有種

不同的選法（結(jié)果用數(shù)字作答）.

4.（2020秋?楊浦區(qū)期末）若直線l\：2x+my+\=0與b：y=3x-1互相垂直，則實數(shù)m

5.（2021春?金山區(qū)校級期中）己知“、b、c為不重合的三條直線，且a〃c,b//c,則。與

b的位置關(guān)系是.

6.（2017秋?延安期末）已知球的直徑為4,則該球的表面積積為.

2

7.（2019?南通模擬）已知復(fù)數(shù)z=1-i（i為虛數(shù)單位），則—-.

Z

8.（2021秋?南開區(qū)校級月考）若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=l+i,則團(tuán)=.

9.（2016秋?無錫期末）在正四棱柱45C。-小中，若M=24B,則異面直線8。

與CCi所成角的正切值為.

10.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正

三角形旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積.

11.（2008?揚州二模）設(shè)等邊△N8C的邊長為a,P是△NBC內(nèi)的任意一點，且尸到三邊

J3

AB,BC,C4的距離分別為力，d2,由，則有力+刈+公為定值上一a；由以上平面圖形

2

的特性類比空間圖形：設(shè)正四面體4BCD的棱長為a,P是正四面體內(nèi)的任意一

點，且P到四個面ABC、ABD、ACD、BCD的距離分別為d\,di,由，“4,貝U有力+曲+為+4

為定值_______.

12.如果復(fù)數(shù)z的模不大于1,而z的虛部的絕對值不小于工，則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點

2

組成圖形的面積是.

二.選擇題（共4小題）

13.（2021?浦東新區(qū)校級三模）已知Z6C,則“z2=-|z『”是"z為純虛數(shù)”的（）

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A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.（2021?自貢模擬）已知六棱錐尸-NBCDEP的底面是正六邊形，.平面Z8C,PA=

2AB,則下列命題中錯誤的是（）

A.AE_L平面以8

B.直線產(chǎn)。與平面/8C所成角為45°

C.平面與平面PEE的交線與直線不平行

D.直線CD與PB所成的角的余弦值為

10

15.（2021春?徐匯區(qū)校級期中）已知直二面角a-/-0,直線。在平面a上，直線6在平面0

上，且直線。與直線/不垂直，直線b與直線/不垂直，則以下判斷正確的是（）

A.。與6可能垂直，但不可能平行

B.a與b可能垂直，也可能平行

C.。與6不可能垂直，但可能平行

D.。與b不可能垂直，也不可能平行

16.（2015春?上饒期末）已知正方體Z8CD-mBICIOI，點尸，0,R分別是線段與8,AB

和小C上的動點，觀察直線CP與。I。，CP與。17?給出下列結(jié)論

①對于任意給定的點Q,存在點P,使得CP，。。；

②對于任意給定的點尸,存在點0,使得。10_LCP；

③對于任意給定的點R,存在點P,使得CPLOiR；

④對于任意給定的點P,存在點A,使得。

其中正確的結(jié)論是（

A.①B.②③C.①④D.②④

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三.解答題（共5小題）

17.（2020春?威寧縣期末）己知復(fù)數(shù)z=—6+Z-4--m--i（〃他R,i是虛數(shù)單位）.

1+i

（I）若Z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；

（II）設(shè)W是Z的共輾復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)？-2Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)〃?

的取值范圍.

18.（2021春?萬寧校級期中）如圖，在棱長為1的正方體中，求:

（1）直線小B與BiC所成的角的大??；

（2）直線。出與平面所成的角的余弦值.

19.（2020春?閔行區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程f+4x+p=0的兩個虛根

是XI、X2-

（1）若聞|=5,求p的值；

（2）若--1|=2,求p的值.

兀

20.（2021秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，已知菱形N8CD中，NCBA=―,直角梯形/8EF

3

中，BE//AF,ABVAF,AB=BE^=—AF=2,0、尸分別為18、。尸中點，平面4BEF

2

J_平面ABCD.

（1）求證：CO_L平面4BEF：

（2）異面直線PE與48所成角的大?。?/p>

/QQ

（3）線段X。上是否存在一點G,使得直線FG與平面/8EF所成角的正弦值為匕一，

26

若存在，求出NG的長：若不存在，請說明理由.

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F

21.（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）已知三棱錐尸-MC中,

⑴若PB=PC=BC=AB=AC=2,且二面角P-8C-/為60°,求三棱錐尸-A8C

體積.

(2)若4B=1,8c=2RZABC=—,/\PBA^/\CBA,^ABPV^ABC,D是BC

4

的中點，設(shè)。是線段以上的動點，當(dāng)PC與。。所成角取得最小值時，求線段工。的長

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2022-2023學(xué)年上海市高二下期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一.填空題（共12小題）

1.（2021春?浦東新區(qū)校級期中）“直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線”是“/，a”的必

要不充分條件.

【考點】直線與平面垂直；充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】閱讀型.

【分析】直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，若無數(shù)條直線是平行線，則/與a不一定平

行，如果/，a,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，最后根據(jù)

“若p=q為假命題且q0P為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件”可得結(jié)論.

【解答】解：直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，若無數(shù)條直線是平行線，則/與a不一

定平行，

如果/La,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.

故“直線/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線”是“/La”的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分條件.

【點評】本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及必要條件、充分條件與充要條件

的判斷，同時考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，

屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021春?普陀區(qū)校級期中）圓/+立-2*-3=0的半徑大小為2.

【考點】圓的一般方程.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】已知能求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解圓的半徑.

【解答】解：圓，+產(chǎn)_右-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）V=4?

圓的半徑為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，圓的半徑的求法，是基礎(chǔ)題.

3.（2021春?浦東新區(qū)校級期中）從a、b、c、"、e五個字母中任選三個，共有10種不

同的選法（結(jié)果用數(shù)字作答）.

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【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題：方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從外b、c、d、e五個字母中任選三個，是組合問題，

有C53=10種選法，

故答案為：10.

【點評】本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意組合、排列的不同，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2020秋?楊浦區(qū)期末）若直線八：2x+〃沙+1=0與/2：y=3x-l互相垂直，則實數(shù)加=

6.

【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求出機(jī)的值.

【解答】解：?.?直線小2%+吁1=0與％：y=3x-l互相垂直，

/.2X3+?iX（-1）=0,求得實數(shù)，W=6,

故答案為：6.

【點評】本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2021春?金山區(qū)校級期中）已知“、氏c為不重合的三條直線，且a〃c,b//c,則a與

b的位置關(guān)系是平行.

【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用平行公理進(jìn)行判斷.

【解答】解：a、6、c為不重合的三條直線，且?！╟,b//c,

則由平行公理得。與b的位置關(guān)系是平行.

故答案為：平行.

【點評】本題考查兩直線位置關(guān)系的判斷，考查平行公理等等基礎(chǔ)知識，考查推理論證

能力，是基礎(chǔ)題.

6.（2017秋?延安期末）己知球的直徑為4,則該球的表面積積為16P.

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；方程思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離.

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【分析】直接利用球的表面積公式求解即可.

【解答】解：球的直徑為4,球的半徑為：2,

球的表面積為：4nX2』16n.

故答案為：16TT.

【點評】本題考查球的表面積的求法，是基礎(chǔ)題.

2

7.(2019?南通模擬)已知復(fù)數(shù)z=l-i(i為虛數(shù)單位)，則一l+3i

【考點】復(fù)數(shù)的運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出.

【解答】解：?.?復(fù)數(shù)Z=17(??為虛數(shù)單位)，

八、

2-Z72=---2----(1-/)2=----2--(--l+-'-i)---,(1-2i+i2)=l+z-(-2，)=1+3。

z1-id-i)d+i)

故答案為：l+3i.

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2021秋?南開區(qū)校級月考)若復(fù)數(shù)z滿足(3+4力z=l+i,則團(tuán)

5

【考點】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)已知條件，運用復(fù)數(shù)的運算法則，以及求復(fù)數(shù)模的公式，求解即可.

【解答】解：；(3+40z=l+i,

._1+i_(l+i)(3-4i)_7i

??z----------------------------------,

3+4i(3+4i)(3-4i)2525

-)+(----)=——

V25255

故答案為：二”.

5

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，以及復(fù)數(shù)的模，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

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9.（2016秋?無錫期末）在正四棱柱中，若44i=2Z8,則異面直線8。

與CCi所成角的正切值為一二三

2

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間角.

【分析】由CC|〃88i,知/8歷。1是異面直線8￡>i與CCi所成角，由此能求出異面直線

BD\與CCi所成角的正切值.

【解答】解：,?,在正四棱柱功中，

CC\//BB\,

二NBiBDi是異面直線BD\與CG所成角,

設(shè)/小=2/5=2,則囪。1=&881=2,

.?.…小―

BB12

異面直線BD\與CG所成角的正切值為二

2

故答案為：足.

【點評】本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注

意空間思維能力的培養(yǎng).

10.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正

三角形旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積_，?！?

【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

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【分析】先確定旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是兩個同底的圓錐，然后確定圓錐的底面半徑，

由圓柱的表面積公式求解即可.

【解答】解：以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體

為兩個同底的圓錐，

該圓錐的底面半徑為正三角形的高，即/'=二73一，

2

所以旋轉(zhuǎn)體的表面積為s=2x」-"2兀rT=、后.

故答案為：R

【點評】本題考查了空間旋轉(zhuǎn)體的理解與應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開圖的理解與應(yīng)用，圓錐

表面積公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2008?揚州二模）設(shè)等邊△/8C的邊長為a,P是△/8C內(nèi)的任意一點，且尸到三邊

J3

AB,BC,C4的距離分別為由，d2,d3,則有由+必+公為定值二一一a：由以上平面圖形

2

的特性類比空間圖形：設(shè)正四面體488的棱長為a,P是正四面體488內(nèi)的任意一

點，且尸到四個面ABC.ABD、ACD、BCD的距離分別為d\,d2,為，山,則有力+的+公+4

為定值_吏十_.

3

【考點】類比推理.

【專題】探究型.

【分析】這是一個升維類比，線類比為面，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面

積類比為體積即可.

【解答】解：由于等邊△/BC的邊長為a,尸是△/8C內(nèi)的任意一點，且P到三邊48,

/3

BC,C4的距離分別為力，d2,必，則有力+心+為為定值上一a；

2

證明如下：如圖，△/8C是等邊三角形，點尸是等邊三角形內(nèi)部任一點.

111

S&APB=-a-PE,S&CPB=-a-PE,S&APC=-a*PG,

222

第9頁共22頁

于是S^APB+S^CPB+S4APC——a*PE+—a?PF+—a?PG,

222

111

即nn—a*PE+—a*PF+—a*PG=S,

222

2S

PE+PF+PG=-----為定值.

a

2S,

即di+d2+d3=----,為定值.

a

由線類比為面，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積得到:

有di+ch+d3+d4為定值.’64.

3

【點評】升維類比是一種比較重要的類比方式，要掌握好其類比規(guī)則，對于類比還有一

點要注意，那就是類比的結(jié)論不一定是正確的

12.如果復(fù)數(shù)z的模不大于1,而z的虛部的絕對值不小于＞1,則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點

2

組成圖形的面積是_工_衛(wèi)_.

34

【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】設(shè)z=x+yi(x,"€R),則|z|Wl,且|加之」-，畫出圖形，由扇形面積減去三角

一2

形面積求解.

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【解答】解：設(shè)2=①次（x,y€R）,

則|z|Wl,且|加之」-,

-2

如圖:

...復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z的對應(yīng)點組成圖形的面積是

12兀21r-1兀

—X——X1——X^/3X

23234

故答案為:

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考

查扇形面積的求法，是中檔題.

二.選擇題（共4小題）

13.（2021?浦東新區(qū)校級三模）已知紅,則“z2=-|zF”是“z為純虛數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【考點】充分條件、必要條件、充要條件：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由充分必要條件的判斷方法，結(jié)合復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件判斷即可.

【解答】解：①對于復(fù)數(shù)Z,若z2=-|z|2,Z不一定為純虛數(shù)，可以為0,...充分性不成

立，

②若z為純虛數(shù)，設(shè)2=4（b€R,且6W0）,z2--b2,-\z\2--b2,.".z1--\z\2,

必要性成立，

.?.z2=-閔2是Z為純虛數(shù)的必要非充分條件.

第11頁共22頁

故選：B.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題.

14.（2021?自貢模擬）已知六棱錐尸-NBCDEP的底面是正六邊形，.平面Z8C,PA=

2AB,則下列命題中錯誤的是（）

A.平面以8

B.直線尸。與平面Z8C所成角為45°

C.平面PBC與平面PEF的交線與直線不平行

D.直線CD與PB所成的角的余弦值為殳

10

【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角；空間中直線與平面之間的位置

關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】對于4推導(dǎo)出必，AELAB,從而平面以8；對于B,推導(dǎo)出我，

AD,PA=4D,從而/PD4=45°是直線PD與平面/8C所成角；對于C,由M〃/。

//BC,得平面P8C與平面PEF的交線與直線4。平行；對于O,由CA〃8E,得NPBE

是直線CD與PB所成的角（或所成角的補(bǔ)角），利用余弦定理能求出直線CD與PB所成

的角的余弦值.

【解答】解：對于4平面N8C,ZEu平面A8C,：.AELPA,

:六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，

"：PAC\AB=A,PA,18u平面州8,.?.PE_L平面以8,故/正確；

對于8,：六棱錐尸-/88EF的底面是正六邊形，融_L平面/8C,PA=2AB,

：.PALAD,PA=AD,：.ZPDA^45°是直線尸￡）與平面4&C所成角，故8正確；

對于C,'JEF//AD//BC,EFu平面PEF,8Cu平面P8C,

二平面P8C與平面PEF的交線與直線平行，故C錯誤；

對于設(shè)/B=1,則21=2,AE=^i2+r_2XlXlXcosl20°=y3,

PE=BE=2,PB=

???CD〃5E,.?./尸BE是直線CD與PB所成的角（或所成角的補(bǔ)角），

直線CD與PB所成的角的余弦值為：

第12頁共22頁

4+5-7GM-a

cosZPBE=-----------=,故。正確.

2X2X7510

故選：c.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.

15.（2021春?徐匯區(qū)校級期中）已知直二面角a-/-0,直線a在平面a上，直線6在平面。

上，且直線〃與直線/不垂直，直線6與直線/不垂直，則以下判斷正確的是（）

A.。與人可能垂直，但不可能平行

B.。與b可能垂直，也可能平行

C.a與b不可能垂直，但可能平行

D.。與b不可能垂直，也不可能平行

【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理.

【分析】當(dāng)直線。〃直線/,直線b〃直線/時，a//b,當(dāng)直線a_L直線6時，則直線aJ_

直線/,與直線。與直線/不垂直相矛盾，從而a與b不可能垂直.

【解答】解：直二面角a-/-仇直線。在平面a上，直線b在平面0上，

直線a與直線/不垂直，直線b與直線/不垂直，

當(dāng)直線a〃直線/,直線b〃直線/時，a//b,排除選項

當(dāng)直線直線方時，則直線直線/,與直線。與直線/不垂直相矛盾，

“與6不可能垂直，排除B.

故選：C.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，是中檔題.

16.（2015春?上饒期末）已知正方體點尸，Q,R分別是線段囪8,AB

和4c上的動點，觀察直線C尸與。i0,C尸與。iR給出下列結(jié)論：

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①對于任意給定的點Q,存在點P,使得

②對于任意給定的點尸,存在點。，使得。iQLCP；

③對于任意給定的點R,存在點P,使得CPLOiR；

④對于任意給定的點P,存在點R，使得。iRLCP.

其中正確的結(jié)論是（

A.①B.②③C.①④D.②④

【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體的性質(zhì)，分別判斷選項,

利用排除法能得出結(jié)論.

【解答】解：①當(dāng)點尸與81重合時，CPLAB,且CPLWi，所以。尸，平面

因為對于任意給定的點。，都有。i0u平面

所以對于任意給定的點。，存在點尸，使得CP_LOi。，所以①正確；

②只有.平面BCC\B\,即.平面ADD\A\時，

才能滿足對于任意給定的點尸，存在點0,使得。i2，CP,

因為過5點與平面。0小/垂直的直線只有一條。Ci，而功。〃工瓦所以②錯誤；

③當(dāng)R與小，重合時，在線段8歸上找不到點P,使CP_LGR，所以③不正確；

④只有當(dāng)C尸平面小COi時，④才正確，

所以對于任意給定的點尸不存在點心使DiR工CP,故④不正確.

故選：A.

【點評】本題考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時要注

意空間思維能力的培養(yǎng).

三.解答題（共5小題）

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17.（2020春?威寧縣期末）已知復(fù)數(shù)z=-6+4rnL（m€R,i是虛數(shù)單位）.

1+i

（I）若z是純虛數(shù)，求實數(shù)”的值;

（II）設(shè)；是z的共規(guī)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)f-2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)加

的取值范圍.

【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運算.

【專題】對應(yīng)思想；定義法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：數(shù)學(xué)運算.

【分析】（I）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求得

m值;

（II）求出工,得到2-2z,由實部小于0且虛部大于0聯(lián)立不等式組求解.

，融冰、融6+4mi(6+4mi)(l-i)6+4m4m-6.

【解答】解：(1)Z=---------=-----------------------------1---------1

1+i(l+i)(l-i)22

—(3+2〃?)+(2m-3)i是純虛數(shù),

,J3+2m=0即片-金

2m-3Ho2

(II)由z=(3+2m)+(2m-3)i,得(3+2m)-(2m-3)i,

z_2z=(3+2m)-(2w-3)i-(6+4w)-(4/n-6)i—(-3-2/n)+(9-6m)i,

-3-2m<033

則，,解得-—<m<—.

9-6m>022

【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表

示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

18.（2021春?萬寧校級期中）如圖，在棱長為1的正方體中，求:

（1）直線48與8iC所成的角的大?。?/p>

（2）直線與平面N8CD所成的角的余弦值.

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【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)由題意可知BiC〃小。，所以即為直線38與81C所成的角，由△

小80為等邊三角形即可求出結(jié)果.

(2)因為。平面N8C。，所以/。歸。即為直線。18與平面Z88所成的角，在

RtA￡)i￡>5中即可求出cosNDiBD的值.

【解答】解：(1)連接4。，BD,如圖所示，

'：A\B\//CD,/1歷=CD,

四邊形出為平行四邊形，

：.B\C//A\D,

：.ZDAiB即為直線小8與SC所成的角，

...正方體的棱長為1,,A.D=BD=A1B=v歷，

...△小8。為等邊三角形，

：.ZDA\B=60°,

即直線48與81c所成的角的大小為60°.

(2)???QiD_L平面/BCD,

NDiBD即為直線DiB與平面ABCD所成的角，

在RtADQB中，D\D=\,BD=R0.8=盜，

，c°sN。皿=皿=遭=費

D/v/33

即直線DyB與平面ABCD所成的角的余弦值為巫.

3

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【點評】本題主要考查了異面直線所成角，考查了直線與平面所成角，是基礎(chǔ)題.

19.(2020春?閔行區(qū)校級期中)已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程/+4x+p=0的兩個虛根

是XI、X2-

(1)若所|=5,求p的值；

(2)若|XI-X2|=2,求p的值.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】計算題；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【分析】本題由一元二次方程根的求法可解決此題.

【解答】解：(1)由題意知，△=42-4XlXp<0,解得：p>4.

-412____

實系數(shù)一元二次方程/+4x+p=0的兩個虛根為：------$------=-2±五二矛.

刈=5,(-2)2+二p2=25,解得：p=25；

(2)由(1)知由-X2『=|2/^二不『=4,解得：p=5.

【點評】本題考查在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程根的求法，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

20.(2021秋?虹口區(qū)校級期末)如圖，已知菱形中，NCB4=——，直角梯形/BE尸

3

中，BE//AF,ABVAF,AB=BE=-AF=2,。、尸分別為18、DF中點,ABEF

2

_L平面ABCD.

(1)求證：(:。，平面/^后尸；

(2)異面直線尸E與所成角的大小；

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(3)線段/。上是否存在一點G,使得直線尸G與平面Z8E廠所成角的正弦值為二一,

26

若存在，求出ZG的長；若不存在，請說明理由.

【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直.

【專題】計算題；整體思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用；邏輯推

理：數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)根據(jù)題意得進(jìn)而結(jié)合平面平面即可證明。0_1_平

面ABEF-,

(2)根據(jù)題意，以點。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-kz,利用坐標(biāo)法求解即

可；

(3)假設(shè)存在，設(shè)ZG=M。，AG[O,1],再根據(jù)線面角的向量法求解即可.

兀

【解答】(1)證明：因為在菱形中，/CBA=—，

3

所以為等邊三角形，

因為。分別為中點，

所以0CJ_48,

因為平面力平面平面ZBEFCI平面COu平面/8C￡).

所以CO_L平面N8EF.

(2)解：因為直角梯形/8￡尸中，BE//AF,ABLAF,COJ_平面/8EF,

所以，以點。為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-乎，

因為AB=BE=—AF=2,

2

所以8(1,0,0),E(1,0,2),A(-1,0,0),尸(-1,0,4),D(.-2,J9.0>

第18頁共22頁

3v/3

C(0,y3,o>P(一萬2)，

所以近_*、0).AB=(2,0,0>

所以cos〈71戲〉=-^^-

\PE\\AB\

（3）解：假設(shè)線段/O上是存在一點G,

/領(lǐng)

使得直線FG與平面N2EF所成角的正弦值為2----此時NG=A/I。，入6[0,1],

26

則

FG=AG-AF=XAD-AF=X(-1,73,0)-(0,0,4)=(-X,/入，-4)

由（1）知平面ABEF的法向量為~OC=（0,、/§,0〉

設(shè)直線FG與平面/8E尸所成角為仇

第19頁共22頁

,.—m—3X</39"

則sin8=|cos\0C,FG〉|=-------—=------，解得

下\/4入？+1626

人=且￡[0,1]，

3

/39

所以線段上是存在一點G,使得直線尸G與平面48"所成角的正弦值為二一，

26

此時AG=—