三角形 專項復習資料 配套練習

考十：角聚焦考點☆溫習理解一三形1、三角形中的主要線段三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角分線。在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形高2、三角形的三邊關系定理及推（）角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（）角形三邊關系定理及推論的作用：判斷三條已知線段能否組成三角形當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。證明線段不等關系。3、三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180。推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。注在同一個三角形中：等角對等；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。二全三形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或SAS角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或ASA（）邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或SSS直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定（斜邊、直角邊定理斜和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或HL2.全等三角形的性質(zhì)：三等三形1、等腰三角形的性質(zhì)定理及推：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1腰角形頂角平分線分底邊并且垂直于底邊腰三角形的頂角平分線邊上的線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個角都等，并且每個角都等于60。2、等腰三角形的判定定理及推：定理：果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1：三個角都相等的三角形等邊三角形推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。3、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。名師點睛☆典例分類考典一三形位【例2】（·北）如圖，△ABC中，，E分上邊，AC的中，若DE=2，BC=（）A、2B、C、4、【答案】C.考點：三角形中位線定理.【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．【舉一反三】1．(2015·湖北衡陽題3分如所示，小明為了測量學校里一池塘的寬度A，取可以直達、B兩的點O處，分別取、OB的中M、，量得＝20m，則池塘的寬度AB為m．【答案】40考點：三角中位線定理考典二等三形【例2(2015·北衡陽題3已知等腰三角形的兩邊長分別是5和6，則這個等腰三角形周長為（A．11．．17．或17【答案】考點：三角形三邊關系；分情況討論的數(shù)學思想【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．【舉一反三】(2015北荊門題分)已一個等腰三角形的兩邊長分別是和4該腰三角形的周長）A．8或10B．C．10．6或12【答案】．【解析】試題分析：是長時，三角的三邊分別為22、，2+2=4，∴不能組成三角形，②2是底邊時，三角形的三邊分為、、，能組成三角形，周=2+4+4=10，綜上所述，它的周長是10．選．考點：．腰三角形的性質(zhì)2三角形三邊關系3．分類討論．考典三全三形【例3如eq\o\ac(△,，)ABC和DEF中AB=DE角B=∠添下列哪一個條件無法證明△ABC≌（）A．AC∥B．∠A=∠．AC=DF．ACB=∠【答案】．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定定理，即可得出：∵AB=DE，∠∠DEF，∴添加AC∥，出∠ACB=∠，即可證明ABC≌△DEF故A、D都確；添加∠∠，據(jù)ASA，可證明ABC△DEF故B正確；添加AC=DF時沒有定，能證明ABCDEF故都不確．故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，證明三角形全等的方法有：，，ASA，，有直角三角形的HL定．【舉一反三】（2015.重慶A卷第20題分如圖，在△ABD和△中點B,C,D,E在一直線上，且AB=FE,BC=DE,

B=

E。求證：ADB=

FCE.題【答案】證明見解析考點：全等三角形的證明.考典四相三形【例4】如圖，在△ABC中，D、分別ABBC上的，且DE∥AC，若S：，：eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,=)（）A．1：B．：18C：20．：24【答案】．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記似三角形面積的比等于相似比的平方，用的面積表示出ABC的積是解題的關鍵．【舉一反三】1.(2015.天津市，第題3分如圖，在ABC中，DEBC，分別交AB于D，.若=3，DB=2，BC=6則DE的長為.A

B

C【答案】【解析】

.試題分析：由DE∥BC可得△ADEABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

ADDE3即=AB56

,解得DE

185

.考點:相似三角形的判定與性.2.(2015·黑龍江哈爾濱）如圖四邊形是平行四邊形，點E在的延長線上，點F在BC的長線上，連接，別交AD、于，，則下列結(jié)論錯誤的是（）（）

EAEGEGAGABCF（）（）（）BEGHAECFAD【答案】考點：三角形相似的應用.考典五位三形【例5】△ABC與△A′C′是似圖形，且△ABC與A′B′C′的位似比是1：，已知△ABC的積是3，則△A′B′C′的面積是（）A．3B．．．12【答案】．【解析】考點：位似變換的性質(zhì)．【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的面積比等于位似比的平方得出是解關鍵．【舉一反三】（2015·遼寧營口）如圖，和△CDE是點E位似中心的位似圖形，已知點（，）點（，2），點D（3，）則點D的應點B坐標().A．（，）

B．（，）C．（5，）．（，1）【答案】C.【解析】試題分析：分別過C,D,A,B,做x軸的垂線，垂足分別是F,H,K；因為A,D的橫坐標相同，所以D在AH上，∵（（，），A（，），（，），EF=1，F(xiàn)H=1；∵CF∥AH∥BK,∴

1EH2

,∵CD∥AB,∴

EDEHDHED1,∵∥BK,∴EB2BKEB2

,∵EH=2，DH=1，EK=4BK=2OK=5，∴B(5，故選C.考點：位似性質(zhì)；2.平行線分段成比例定.（宜圖eq\o\ac(△,，)OAB與OCD是以點O位似中心的位似圖形比1=90°CDB（，點C的標為（）A，）B，1）22D，）【答案】．考點：．似變換2．坐標與形性質(zhì)．考典六直三形【例6·南長沙）如，為測量一與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米處，測得樹頂A的角ABO為α，則樹的高為（）.

30tan

C.30

D米【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意可得BO=30tan∠ABO=

，則AO=BO·tan∠ABO=30tanα.考點：三角函數(shù)的應.【點睛】本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比邊．【舉一反三】1.（2015·遼寧大連）如圖，在ABC中，C=90°，AC=2，D在BC上，∠ADC=2∠B，，BC的長為（）A.

3

-1B.

3

+1C.

5

-1D.

5

+1【答案】考點：解直角三角形2.(2015·湖北荊門，題3分如圖，在中，∠Rt∠，AB=，D為的點⊥于點E，連接BD，則tan的值為（）A．

B．

C．23

D．

14【答案】．【解析】1.（2015·湖南長1.（2015·湖南長沙）考點：．直角三角形2．等直角三角形．課時作業(yè)☆能力提升一、選擇題如圖，過△ABC的點A，作BC邊的高，以下作法正確的是（）【答案】【解析】試題分析：經(jīng)過一個頂點作對邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的根據(jù)定義可得A是作BC邊上的高，C是AB邊的高，是AC邊上的.考點：三角形高線的作法2.（2015.山東濟寧，第5題3分三角形兩邊長分別為36，三邊是方程x2360三角形的周長為)A.13B.15C.18D.13或18【答案】【解析】

的根，則試題分析：解一元二次方程可求得方程的兩根為

x2

，那么根據(jù)三角形的三邊關系，可3＜第三邊＜9，得到合題意的邊為4，進求得三角形周長為+6=13．故選A6868考點：解一元二次方程，三角形的三邊關系，三角形的周長3.（濟，第9題3分如圖，斜面的坡CD與AD的）為，BC，旗桿頂端點與A點一條彩帶相連，若米，則旗桿BC的度()

3

米，坡頂有一旗桿A.5米B.米C.米D.B

(35)

米CDA【答案】考點：解直角三角形4.(2015.山東日照，第10題，分如圖，在直eq\o\ac(△,角)BAD中延長斜邊BD到點C，DC=BD，接AC若tanB=，則tan∠CAD的值）A.B.C.D.【答案】【解析】試題分析：解：如圖，延長AD過點作CE，垂足為E，∵tanB=，=，∴設AD=5x，AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽eq\o\ac(△,，)BDA∴∴CE=x，∴AE=，∴tan∠CAD=故選D．

，，=．考點：解直角三角形．5.（2015成都）如圖，在中，//，=6，=3AE=4，則的長為（）A．1B．C．D．【答案】．【解析】試題分析：根平行線段的比例關系，

AD4，即，EC2，選B．DBEC考點：平行線分線段成比例．6.(2015·黑龍江哈爾濱）如圖某飛機在空A處測到它的正下方地平面上目標C，此時飛機行高度AC＝1200m，從飛機上看地平面揮臺B的俯角＝30飛機指揮臺B的距為（）（）1200m(B)1200

2

m(C)1200

3

m(D)2400m【答案】考點：三角函數(shù)的應.7.（2015內(nèi)江）如圖，在ABC中AB=，BD平分ABC交AC于D，BD交CB的長于點．若∠=35°則BAC度數(shù)為（）A．40°B．45°C．60°．70°【答案】．【解析】試題分析：AE∥，∴CBD==35°平分∠，∴∠=70°，AB=，∠C∠CBA=70°∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．選A．考點：．腰三角形的性質(zhì)2平行線的性質(zhì)．8.(2015.北京市，第6題，3分)如圖，公路，互垂直，路AB的中點與點被湖開，若測得AM的為1.2km，則、兩間的距離()A0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】．【解析】試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=1.2km．故選D．考點：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半二、填空題9.（2015·遼寧沈陽）如圖，與△DEF似，位似中心為點，ABC的積等于DEF面積的則：．

，【答案】：．考點：位似變換．10.如圖已△ABC三內(nèi)角的分線交于點O點D在的長線上且DC=BCAD=AO若BAC=80°則∠BCA的度數(shù)為．【答案】60°【解析】試題分析：可證明△CODeq\o\ac(△,，)得出∠D=∠CBO再根據(jù)∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角分線可得，從而得出，根據(jù)，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°最后算出∠BCA=60°試題解析：∵△ABC三個角的平分線交于點，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中CB，OCBCO∴△CODeq\o\ac(△,，)∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°考點:1.全等三角形的判定與性2.腰三角形的性質(zhì)．11.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°點，別是邊ABAC的中，延長BC到點F，使CF=AB=10，EF的是▲．

BC..若【答案】5.【解析】試題分析：∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠ACB=90°點D，分別邊，的中，AB=10，1∴，AE=EC，DE=BC，∠=90°2∵CF=

BC，∴在eq\o\ac(△,Rt)ADE和eq\o\ac(△,Rt)EFC中∵AE=EC，DE=FC∴eq\o\ac(△,Rt)ADE≌eq\o\ac(△,Rt)EFC（SAS）∴EF=AD=5.考點：三角形中位線定理；2.等三角形的判定和性.12.（2015山棗，第15題4分如圖，中，CD⊥AB于D，是AC的點，若，DE=5則CD=________．【答案】【解析】【試題分析】因為⊥，以ADC是角三角形EAC的點所以AC=2DE=10，勾定理可得AD=8.考點：直角三角形的性質(zhì)（·龍江省黑河市、齊哈爾市、大興安嶺）如圖，點、、、在一直線上，BD=，∥EF，要使△ABC△DEF則只需添加一個適當?shù)臈l件是填一個即可）【答案】BC=或∠=∠EDF．考點：．等三角形的判定2開放型．（2015龍省黑河市齊哈爾市興嶺為腰△的腰AC上的∠ABD=則的為．

，【答案】3或23或

．【解析】試題分析分種情況①如圖1∠A為角=AC在Req\o\ac(△,t)ABD∵BD∠ABD=3∴=，AB，∴=2，∴CD=2，②如圖2為角ACReq\o\ac(△,t)中=1∠=

=

=2=2=

23

，③如圖3，BC∵BDAC，∴=CD，在Req\o\ac(△,t)中∵=1，tanABD=

，∴AD=

3，∴=，3綜上所述；的長為：

23

或

23

或

33，故答案為：3或或．33考點：．直角三角形2．等三角形的性質(zhì)3勾股定理．三．解答題15.如圖，△是邊三角形DBC中.（）圖：過B作AC的行線BH；過D作BH的線，分別交AC，，AB的延線于E，，（）圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié).【答案）作圖見解析△DEC△DFB（答案不唯一明解.【解析】試題分析）根據(jù)平行線和垂線的作圖方法作.（）據(jù)作圖方法，由可定△DECDFB（答案不唯一.試題解析：解）圖如下：①如答圖；②如答圖2.（）DEC≌△DFB（案不唯明下：∵BH∥，∴∠∠DBF.又∵D是BC中點∴在△DEC與△中∵DB，△DEC△DFB（ASA）

FDB考點：作圖復雜作圖開型問題3.全等角形的判定；平的性質(zhì)16.在△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分在ABAC上AE=AFBF與CE相于點P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．【答案】證明見解析【解析】試題分析：可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明BEP△CFP，則，而可得出PE=PF，BE=CF試題解析：在△和△中AB=AC∠BAF=∠AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的應角相等∴BF=CE（等三角形的對應邊相等∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△中∠∠∠PBE=∠BE=CF，∴△≌CFP（AAS∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴圖中相等的線段為PE=PF，BF=CE考點：全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)．17.．(2015·湖北孝感題分8分）我們把兩組