線性代數(shù)答案解答

線性代數(shù)答案解答第一章行列式1.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式：.解（2）（4）4.計(jì)算下列各行列式：解(2)=0(4)===7.計(jì)算下列各行列式（）：解(2)將第一行乘分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得(3)從第行開始，第行經(jīng)過次相鄰對(duì)換，換到第1行，第行經(jīng)次對(duì)換換到第2行…，經(jīng)次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式(4)由此得遞推公式：即而得(6)第二章矩陣及其運(yùn)算4．計(jì)算下列乘積：解(2)(4)13．利用逆矩陣解下列線性方程組:解(1)方程組可表示為故從而有第三章矩陣的初等變換與線性方程組1．把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣：解3．從矩陣中劃去一行得到矩陣,問的秩的關(guān)系怎樣?解設(shè)，且的某個(gè)階子式.矩陣是由矩陣劃去一行得到的，所以在中能找到與相同的階子式，由于，故而.解(1)二階子式．(2).二階子式．(3)秩為3三階子式．6．求解下列齊次線性方程組:(2)解(2)對(duì)系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得故方程組的解為8．取何值時(shí),非齊次線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個(gè)解?解(1)(2),即時(shí)方程組有唯一解.由得時(shí),方程組無解.,由時(shí),方程組有無窮多個(gè)解.11．試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q，求下列方陣的逆矩陣：(3),得(1);解（1）故逆矩陣為12．(1)設(shè),求使;解(1)第四章向量組的線性相關(guān)性1．設(shè),求及.解2．設(shè)其中,,,求解由整理得3．舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的:(1)若向量組是線性相關(guān)的,則可由線性表示.(2)若有不全為0的數(shù)使成立,則線性相關(guān),亦線性相關(guān).(3)若只有當(dāng)全為0時(shí),等式才能成立,則(4)若線性無關(guān),線性相關(guān),亦線性無關(guān).亦線性相關(guān),則有不全為0的數(shù),使同時(shí)成立.解(1)設(shè)滿足線性相關(guān),但不能由線性表示.(2)有不全為零的數(shù)原式可化為取使其中為單位向量,則上式成立,而,均線性相關(guān)(3)由(僅當(dāng))線性無關(guān)取取為線性無關(guān)組滿足以上條件,但不能說是線性無關(guān)的.(4)與題設(shè)矛盾.4．設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明設(shè)有使得則(1)若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),;;;;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2)若線性無關(guān),則由知此齊次方程存在非零解則線性相關(guān).綜合得證.5．設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明設(shè)則因向量組線性無關(guān),故因?yàn)閯t故方程組只有零解線性無關(guān)所以6．利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組:(1);(2).解(1)所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組.(2)，所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組．7．求下列向量組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:(1),,;(2),,.解(1)線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.(2)秩為2,最大線性無關(guān)組為.8．設(shè)是一組維向量,已知維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示,證明線性無關(guān).證明維單位向量線性無關(guān)不妨設(shè):所以兩邊取行列式，得由即維向量組所構(gòu)成矩陣的秩為故線性無關(guān).9．設(shè)是一組維向量,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.證明設(shè)為一組維單位向量，對(duì)于任意維向量則有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關(guān)，且能由單位向量線性表示，即故兩邊取行列式，得由令由則即都能由線性表示，因?yàn)槿我痪S向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由已知任一維向量都可由線性表示.線性表示，則單位向量組：可由線性表示，由8題知線性無關(guān).顯然,存在矩陣,使得,因此由于所以方程組只有零解證畢..所以線性無關(guān),13．設(shè)問是不是向量空間？為什么？證明集合成為向量空間只需滿足條件：若若，則，則是向量空間，因?yàn)椋呵夜使什皇窍蛄靠臻g，因?yàn)椋汗使十?dāng)時(shí)，14．試證:由所生成的向量空間就是.證明設(shè)于是所以故線性無關(guān).由于均為三維,且秩為3,為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.15．由所生成的向量空間記作所生成的向量空間記作,由,試證.證明設(shè)任取要證中一向量,可寫成,從而得,由得上式中,把看成已知數(shù),把看成未知數(shù)有唯一解同理可證:()故16．驗(yàn)證為的一個(gè)基,并把用這個(gè)基線性表示.解由于即矩陣故的秩為3線性無關(guān)，則為的一個(gè)基.設(shè)，則故設(shè)，則故線性表示為17．求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:(1)(2)(3).解(1)所以原方程組等價(jià)于取取得得因此基礎(chǔ)解系為(2)所以原方程組等價(jià)于取取得得因此基礎(chǔ)解系為(3)原方程組即為取取得得取得所以基礎(chǔ)解系為由此．23．求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：(1)(2)解(1)(2)24．設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:(1)(2)線性無關(guān)；線性無關(guān)。證明(1)反證法,假設(shè)使得下式成立:線性相關(guān),則存在著不全為0的數(shù)(1)其中,否則,線性相關(guān),而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生矛盾。由于為特解，為基礎(chǔ)解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產(chǎn)生矛盾,假設(shè)不成立,故線性無關(guān).(2)反證法,假使線性相關(guān).則存在著不全為零的數(shù)使得下式成立:（2）即1)若,由于,由(2)式得與假設(shè)矛盾.是線性無關(guān)的一組基礎(chǔ)解2)系,故此時(shí)3)若由題(1)知,線性無關(guān),故與假設(shè)矛盾,綜上,假設(shè)不成立,原命題得證.25.設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿足.證明也是它的解.證明由于是非齊次線性方程組的個(gè)解.故有而即（）從而也是方程的解．26．設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個(gè)線性無關(guān)的解(由題24知它確有個(gè)線性無關(guān)的解)．試證它的任一解可表示為（其中）.證明設(shè)為的任一解．由題設(shè)知：取線性無關(guān)且均為的解．，則它的均為解．的用反證法證：線性無關(guān)．反設(shè)它們線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)：使得即亦即由線性無關(guān)知矛盾，故假設(shè)不對(duì)．線性無關(guān)，為的一組基．為的由于均為的解，所以解可由線性表出．令則,證畢．第五章相似矩陣及二次型1．試用施密特法把下列向量組正交化：(1)；(2)解(1)根據(jù)施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．(2)根據(jù)施密特正交化方法令故正交化后得2．下列矩陣是不是正交陣:(1)解(1)第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣．(2)該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣．;(2)．3．設(shè)與都是階正交陣，證明證明因?yàn)槭请A正交陣，故也是正交陣．，故也是正交陣．4．求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解(1)①故的特征值為．②當(dāng)時(shí),解方程,由得基礎(chǔ)解系所以當(dāng)是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量．時(shí),解方程,由得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量．故不正交．(2)①故的特征值為．②當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系故當(dāng)是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量.時(shí),解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量，由當(dāng)時(shí)，解方程得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量．，，，所以兩兩正交．(3)=,當(dāng)時(shí)，取為自由未知量，并令，設(shè).故基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，可得基礎(chǔ)解系綜上所述可知原矩陣的特征向量為5．設(shè)方陣與相似，求.解方陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，即．6．設(shè)都是階方陣，且則可逆，證明則與相似．證明與相似．7．設(shè)3階方陣的特征值為；對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，，求.解根據(jù)特征向量的性質(zhì)知可逆,得:可得得8．設(shè)3階對(duì)稱矩陣的特征值6，3，3，與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為,求.解設(shè)由，知①3是的二重特征值,根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)定理知的秩為1，故利用①可推出秩為1.則存在實(shí)的由①②解得使得②成立．．得．9．試求一個(gè)正交的相似變換矩陣,將下列對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣:(1);(2)．解(1)故得特征值為．當(dāng)時(shí)，由解得單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由解得單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由解得．單位特征向量可取:得正交