2021屆高考數(shù)學(xué)（統(tǒng)考版）二輪提升指導(dǎo)與專練15平行垂直關(guān)系的證明（文）【含答案】

優(yōu)培15平行垂直關(guān)系的證

例1：在三棱柱MC—44G中，平面MC,AB=BC,D,E分別為zc,

BB1的中點.證明：BD//平面AEC一

例2:如圖，在四棱錐尸一/BCD中，底面Z6CO是正方形，側(cè)面P4O_L底面Z8CZ),

若E,尸分別為〃3,℃的中點，求證：EF〃平面PAD.

例3:如圖，在四棱錐尸一Z8CO中，底面Z8C。為正方形，PC平面

PD=AB,點E,F,G分別為PC,PA,8C的中點.

p

(1)求證：PBLEF■,

(2)求證：EG〃平面PC。.

例4:如圖，在直三棱柱/8C—44G中，點。，E分別是邊6C,8cl中點，且

AB=AC.

求證：(1)8E〃平面ZCQ；

（2）AD_LC]D

一、解答題

L如圖，正方體44Goi的棱長為1,線段44上有兩個動點￡,F,且

求證：(1)ACLBE；

(2)EF//平面ABCD.

2.已知四棱錐P_/8CZ>,PN_L平面/BCD,底面/BCD為等腰梯形，AB//DC

AB=2DC,AD=—^~DC,M是PB中點.

(1)求證：〃平面

(2)求證：PD工BC.

3.如圖，在直三棱柱中，ABAC=90°t=點”，N分別為

A'B和4G的中點，

Cl

(i)求證：MN〃平面//eq；

(2)求證：平面48C_L平面M4c.

4.如圖，三角形PC。所在的平面與等腰梯形Z8C。所在的平面垂直,

AB=AD=—CD,AB//CD,CP±CD,M為PZ)的中點.

(1)求證：ZM■〃平面P8C；

(2)求證：8OJ.平面尸8C.

5.如圖，在三棱錐/一88中，AB=AD,BD上CD,煎E、尸分別是棱8C、

6。的中點.

(1)求證：EF//平面'CD；

(2)求證：AEVBD.

6.如圖，在三棱柱NBC—z4G中，AGJ_CG，點E，/分別是8C，4瓦的中點,

平面4cle41平面BCGB-

(1)求證：Bxcx±AXC;

(2)求證：EF〃平面4cleZ.

7.在三棱錐夕一/80中，AB=BC,P4_L平面/6C,。為PC的中點，￡為4S的

中點.

(2)若〃為48的中點，請問線段尸。上是否存在一點N,使得MN〃平面區(qū)0￡?若存

在，請說明點N的位置，并說明理由？若不存在，也請說明理由.

兀

8.如圖，矩形和菱形/BCD所在平面互相垂直，已知NZOC=§,點N是線段

的中點.

D

(1)求證：CNLAF-

(2)試問在線段BE上是否存在點用，使得直線//〃平面MNC?若存在，請證明

〃平面"NC,并求出器的值；若不存在，請說明理由.

ME

9.如圖，在四棱錐6c。中，p/_L平面Z8C。，CDLAD,BC//AD,

BC=CD=1AD.

2

(1)求證：CD1PD-

(2)求證：區(qū)0,平面P48;

(3)在棱尸。上是否存在點"，使CW〃平面PZ8,若存在，確定點〃的位置；若不存

在，請說明理由.

10.已知四棱錐P-中，平面PZ8,平面N8C。，底面N8C。為矩形，且

PA=PB=4,AB=2,BC=3,0為川？的中點，點E在4。上，且=

(1)證明：ECLPE；

(2)在08上是否存在一點E,使。尸〃平面PEC,若存在，試確定點廠的位置.

優(yōu)培15平行垂直關(guān)系的證

例1：

證明見解析.

如圖，連接4c交"G于點。，連接0°,EO.

因為。，。分別為明，"的中點，所以?！恪ā?°'一5"

因為〃與8qC=B]B所以O(shè)D〃EB,0D=EB,

所以四邊形OQ6E為平行四邊形，所以BD〃OE.

因為8。平面/Eg外，OE在平面內(nèi)AEC],所以BD//平面AEC{.

例2:

證明見解析.

設(shè)〃為尸。的中點，連接M4,MF（如圖），則板為的中位線,

所以W〃/）C且,

2

???四邊形N8C。是正方形，E為48的中點，NE//OC且ZE=；DC,

故板〃/￡且A/E=NE,.?.四邊形NEFM為平行四邊形，則EE〃/Af,

又因E/Z平面尸4。，/A/u平面尸力。，所以，EF〃平面P4D.

例3:

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

(1)連接/C,BD,為正方形，則/CL8O,

因為平面，NCu平面N8CO,所以PO_L/C,PDRBD=D,

所以ZC_L平面，PBu平面PBD,所以/C-LPB,

因為點E,尸分別為尸C,0/的中點，所以EF〃4C,所以

(2)取中點〃，連接HF,HG,

因為點尸，G分別為尸/,8c的中點，所以FH〃PD,HG//CD,

又HFZ平面PCD,P￡)u平面P8,所以"Eu平面PC。，

同理〃G〃平面PCD,

而HFCHG=H,HF,HGu平面FHG,所以平面FHG//平面PCD,

又FGU平面FHG,所以FG//平面PCD

??B40

例4:

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

證明：(1)在直三棱柱—中，點。，E分別是邊8C,81G中點,

EC[〃且=BD,...四邊形BDC[E是平行四邊形，,BE"CQ

BEU平面"CQ,CQu平面ZCQ,,BE〃平面NG。.

(2)二?直三棱柱/8C—48]G中，CG，平面/6C,--AD±CC]

???點D,E分別是邊8C,AG中點，且..?.ZOJ.BC,

BCPlCCt=C...AD_L平面BCC、B\,

C]Du平面BCC、B\AD_LC】。

捐刎觴

一、解答題

1.

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

(1)連接3。，因為四邊形NBC。為正方形，所以

又因為平面，所以

而DQCBD=D,故/C，平面

而8Eu平面D、DBB\,所以/C工BE.

(2)根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面44GA〃平面/8C。，

而Ee44，F(xiàn)wBR,所以平面N4GD，

故EF//平面ABCD.

2.

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

(1)證明：取PZ的中點N,連接九DN,

在△PNS中，M是PB中氤.：.MN〃AB且MN=LAB,

2

又???等腰梯形□中，AB//DC,AB=2DC,

:.MN//CD,且A/N=C0,.?.四邊形MN0C是平行四邊形,

:.CM//DN,CM平面PAD,DNu平面PAD,

.?.CM〃平面P/Z).

(2)證明：連接。與力8的中點H,

根據(jù)題意，等腰梯形48。。中，AB//DC,AB=2DC,

???四邊形BCD"是平行四邊形，，BC//DH

設(shè)AB=2a,則Z)C=/〃=a,AD=BC=~^~a>

/.AD2+DH2=AH2,：.AD1DH,

?：BC//DH,.-.AD1BCI

?/PA1平面ABCD,BCu平面ABCD,

?：PALBCt'.-PAC\AD=At尸/u平面NP0,NDu平面/PD,

BC1平面APD,

-：PDu平面APD,PD1BC.

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

證明：（1）連結(jié)/用，"G,

在三棱柱4G中，AA}=BB]

所以四邊形叢乃乃為平行四邊形,

因為M為48的中點，所以M為的中點,

又因為N為與G的中點，所以,

因為/Qu平面Z/CG,MV<Z平面Z/CG

所以肋v〃平面'/eq

(2)因為"8="4,點/為48的中點，所以4W_L48,

在直三棱柱/8C_44cl中，AA}_L平面NBC,

因為ZCu平面/8C,所以4<_L"C,

因為NR4C=90。，即ZBJ.ZC,

又441U平面ZB8/1,所以/CJ_平面ZB44

因為46u平面,所以NC_L48,

因為4Wn〃C=4,NCu平面上"C,所以48_L平面上"。，

因為48u平面48C,所以平面48CJ.平面朋ZC

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

證明：(1)如圖，取℃的中點N,連MN,BN,

??.M為P。的中點，N為PC的中煎，；.MN〃CD,MN=-CD.

2

又AB"CD、AB=gcD,MN//AB,MN=AB,

，四邊形Z8NM為平行四邊形，AM//BN.

又/A/<Z平面P8C,8Nu平面P6C,二〃平面尸8c.

(2)如圖，在等腰中梯形Z8CD中，取CD的中點T,連NT,BT.

■：AB^-CD,AB//CD,AB=DT,AB//DT,

二.四邊形/8TZ)為平行四邊形.

又=，四邊形N8ZD為菱形，，

同理，四邊形/8CT為菱形，，.

VATA.BD,.-.BC1BD.

?.?平面PCD±平面ABCD,平面PCDPl平面ABCD=CD,

CPLCDtCPu平面PC。，

CP1平面ABCD,

又8。u平面/BCD,CPJ_AD.

?:BC上BD,8CnCP=C,8。，平面P3C.

5.

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

(1)因為點E、F分別是棱8C、的中點，

所以跖是△BCD的中位線，所以EF〃CD,

又因為EFZ平面NC￡>,。。<=平面〃8,EE〃平面4CD.

(2)由(1)得，EF//CD,

又因為BDLCD,所以EFJ.BD,

因為48=力。，點尸是棱8。的中點，所以力尸，8。，

又因為EFC4F=F,所以6O_L平面〃

又因為ZEu平面ZE/"所以

6.

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

(1)因為4G,GC,平面4GC"，平面Bcc/i,

平面Pl平面BCC\B[=C,C8clu平面BCC[B[

則4G，平面/CC/1.

又因為40u平面4GC/,所以4c.

(2)取4G的中點G,連接FG,GC.

在中，因為八G分別是4片，4G的中點，所以EG//B?,且

FG=；B￡

在平行四邊形8比4中，因為E是8c的中點，所以EC〃與￡,且"°一5"。

所以EC〃FG,且EC=/G,

在平行四邊形EECG是平行四邊形，所以所〃GC.

又因為跖且平面4GC4，GCu平面AXCXCA,所以EF//平面A.C.CA.

(1)證明見解析；(2)存在，點N是線段PC上靠近點尸的四等份點，詳見解析.

(1)證明：,.?/￡=EC,PD=CD,DE〃AP,

又?.?PZl平面NBC,。后〃40，，。后，平面/80,

ACu平面ABCDEJ_AC,

?

,?AB=BC,AE=EC?,-,BELAC,

AC1DEtACrBEtBEfWE=E,5Eu平面BOE,QEu平面8DE,

NC，平面BOE.

又?：BDu平面BDE,BD上4c.

(2)假設(shè)線段尸。上存在一點N,使得MN〃平面如圖，

取/￡的中點0,連A/。、NQ,

-：MB=MA,AQ=QE,:.MQ//BE,

又平面,MQ〃BE、：，MQ//.BDE、

?.?MNu平面跖V0,MQu平面MNCMQ=M,

MN//平面BDE,MQ//平面BDE,

平面MNQ//平面BDE,

又...NQu平面政V。，...N?！ㄆ矫?OE,

?.?平面尸建0口平面臺八七二八七，NQ〃平面BDE,NQu平面尸/c,

...NQ//DE

又.：AQ=QE,NQ〃°E,;.N為線段尸。的中點，故假設(shè)成立，

線段℃上存在一點N,使得施V〃平面8DE,

此時點N是線段尸C上靠近點P的四等份點.

8.

⑴證明見解析；⑵存在’證明見解析'翟=2.

Jr

(1)菱形4BCD,AD=DC,AADC=-,則△/℃是等邊三角形,

又N是線段的中點，

又平面ADEF1平面ABCD,平面ADEFD平面ABCD=AD,

所以CN1平面ADEF.

又AFu平面ADEF,故CN±AF.

(2)取FE的中點P,連接CP交于點"，陽點即為所求的點.

證明：連接pN,

???PE//AD,AD//BC，,PE//BC,所以CP與CE相交于點”，

??,N是/。的中點，尸是EE的中點，PN//AF,

又PNu平面MNC,4尸(2平面MNC,.?.直線//〃平面MVC.

又.—??嚏BC

~PE~

9.

(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，"是尸。的中點.

(1)證明：因為P4_L平面NBC。，Su平面/8CO,所以CO_L/M.

因為CD_LN。，PAr\AD=A,所以CO1平面

因為POu平面所以。

(2)因為尸41平面Z8CZ),BDu平面4BCD,所以3O1P4.

在直角梯形/8CO中，BC=CD=；AD,由題意可得Z8=8D=08C,

AD2=AB2+BD2,所以8O_LA8.

因為0/Cl48=4,所以8。，平面PZ8.

(3)解：在棱PQ上存在點〃，使CM〃平面PZ6,且“是尸。的中點.

證明：取4的中點N,