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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.2.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度3.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.4.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.240 B.264 C.274 D.2825.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=06.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究,第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界,開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.7.在四面體中,為正三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.8.設(shè),,分別是中,,所對(duì)邊的邊長(zhǎng),則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直9.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(1)對(duì)于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.410.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.正三棱柱中,,是的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.12.在邊長(zhǎng)為的菱形中,,沿對(duì)角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,.若;且,則周長(zhǎng)的范圍為__________.15.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為__________.16.已知函數(shù),則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交直線于,兩點(diǎn),已知,求證:直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).19.(12分)已知,,設(shè)函數(shù),.(1)若,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最小值為1,證明:.20.(12分)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,直線AF與直線垂直,垂足為B,且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn),直線MP與直線交于點(diǎn)Q,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).21.(12分)中的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.22.(10分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.【詳解】,
將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,
再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,故選D.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一,經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí).三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.2、D【解析】
通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.3、A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對(duì)稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對(duì)稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、B【解析】
將三視圖還原成幾何體,然后分別求出各個(gè)面的面積,得到答案.【詳解】由三視圖可得,該幾何體的直觀圖如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn),其中,,,所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體,求組合體的表面積,屬于中檔題5、A【解析】試題分析:漸近線方程是﹣y2=1,整理后就得到雙曲線的漸近線.解:雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故選A.點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程,把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時(shí),滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.7、A【解析】
推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.8、C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點(diǎn):直線與直線的位置關(guān)系9、C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯(cuò)誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對(duì)稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時(shí),可得成立,當(dāng)時(shí),只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線問題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.11、C【解析】
取中點(diǎn),連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點(diǎn),連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角,考查計(jì)算能力.12、A【解析】
畫圖取的中點(diǎn)M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點(diǎn)M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關(guān)鍵點(diǎn)是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,湊而可知的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;當(dāng)時(shí),,又,滿足題意;綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題的求解,重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點(diǎn)的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制,忽略對(duì)于臨界值能否取得的討論.14、【解析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長(zhǎng)故答案為:【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎(chǔ)題.15、【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時(shí)一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙氪?,所以有,則.故本題應(yīng)填.16、【解析】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點(diǎn)的切線方程,將原點(diǎn)代入切線方程,求出的值,于此可得出所求的切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,由于該直線過原點(diǎn),則,得,因此,則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程,求解思路是:(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程;(2)將所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程,求出參數(shù)的值,可得出切點(diǎn)的坐標(biāo);(3)將參數(shù)的值代入切線方程,可得出切線的方程.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,又平面的一個(gè)法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.18、(1)(2)證明見解析;定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】
(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時(shí)滿足∴∴直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.19、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法,求出各段的取值范圍然后取并集可得結(jié)果.(2)利用絕對(duì)值三角不等式可得,然后使用柯西不等式可得結(jié)果.【詳解】(1)由,所以由當(dāng)時(shí),則所以當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則綜上所述:(2)由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以由,所以所以令根據(jù)柯西不等式,則當(dāng)且僅當(dāng),即取等號(hào)由故,又則【點(diǎn)睛】本題考查使用零點(diǎn)分段法求解絕對(duì)值不等式以及柯西不等式的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.20、(I).(II)【解析】
(I)寫出坐標(biāo),利用直線與直線垂直,得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得到的一個(gè)關(guān)系式,由此求得和的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由此寫出直線的方程,從而求得點(diǎn)的坐標(biāo),代入,化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(I)∵橢圓的左焦點(diǎn),上頂點(diǎn),直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率,即①又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線上∴②∴由①②得:∴∴橢圓的方程為.(II)設(shè)由(I)易得頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為∴直線MP的方程是:由得:又點(diǎn)P在橢圓上,故∴∴∴或(舍)∴
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