2021北京昌平二中高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

14/142021北京昌平二中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，0，，，2，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是A．，1， B．，2， C．，2， D．，1，2．（5分）已知空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是A．4 B．2 C． D．3．（5分）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則A． B． C． D．4．（5分）已知空間中三點(diǎn)，0，，，1，，，，，則點(diǎn)到直線的距離為A． B． C． D．5．（5分）已知直線，則下列結(jié)論正確的是A．直線的傾斜角為 B．向量是直線的一個(gè)方向向量 C．過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線方程為 D．若直線，則6．（5分）已知直線，，，若且，則值為)A． B．10 C． D．27．（5分）圓與直線相交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程是A． B． C． D．8．（5分）圓與圓的位置關(guān)系為A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離9．（5分）“”是“方程表示橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分條件又不必要條件10．（5分）已知為橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2，最大值為8，則橢圓的離心率為A． B． C． D．11．（5分）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則使得成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在其巨著《圓錐曲線論》中提出“在同一平面上給出三點(diǎn)，若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離之比是一個(gè)大于零且不等于1的常數(shù)，則該點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓”．現(xiàn)在，某電信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座信號(hào)塔來(lái)構(gòu)建一個(gè)三角形信號(hào)覆蓋區(qū)域，以實(shí)現(xiàn)商用，已知甲、乙兩地相距8公里，丙、甲兩地距離是丙、乙兩地距離的倍，則這個(gè)三角形信號(hào)覆蓋區(qū)域的最大面積（單位：平方公里）是A． B． C． D．二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)把答案填在答題紙的相應(yīng)位置）13．（5分）已知向量，，，，，．若，則實(shí)數(shù)．14．（5分）如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為．15．（5分）直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，以點(diǎn)為圓心且與軸相切的圓的方程為．16．（5分）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則△的周長(zhǎng)為，若，則△的面積為．17．（5分）已知，分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．18．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，，，之間的“折線距離”，有下列命題，其中為真命題的是．（填序號(hào)）①若，，則；②到原點(diǎn)的“折線距離”不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為1；③原點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的折線距離的最小值為3；④原點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)之間的折線距離的最大值為．三、解答題：本大題共4小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．19．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，求邊上的中線所在的直線方程；（Ⅱ）求邊上的高所在的直線方程；（Ⅲ）求的面積．20．（15分）已知圓過(guò)點(diǎn)，，．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)的的切線方程．21．（15分）如圖，四棱錐的底面是正方形，，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。唬á螅┰趥?cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．22．（15分）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上且滿足．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1．【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可．【解答】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，0，，，2，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，，，即，1，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由空間三點(diǎn)共線的條件可得，然后列方程，求出的值．【解答】解：由空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，，可得，2，，，4，，由，，在一條直線上，可設(shè)，則，解得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間的三點(diǎn)共線的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量基本定理可得所求向量．【解答】解：由，可得，由點(diǎn)為中點(diǎn)，可得，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量基本定理，以及空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，1，，，，，點(diǎn)到直線的距離為，由此能求出結(jié)果．【解答】解：空間中三點(diǎn)，0，，，1，，，，，，1，，，，，點(diǎn)到直線的距離為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．【分析】．直線，化為，設(shè)直線的傾斜角為，，，可得，解得，即可判斷出正誤；．利用方向向量與斜率之間的關(guān)系即可判斷出正誤；．利用相互平行的直線斜率之間的關(guān)系即可判斷出正誤；．利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可判斷出正誤．【解答】解：．直線，化為，設(shè)直線的傾斜角為，，，則，解得，因此不正確；．由斜率，可得向量不是直線的一個(gè)方向向量，因此不正確；．過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線方程為，因此不正確；．若直線，兩條直線的斜率滿足：，則，因此正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互垂直與平行的直線斜率之間的關(guān)系、傾斜角、斜率與方向向量之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】利用直線平行及其垂直與斜率之間的關(guān)系即可得出，．【解答】解：且，，，解得，．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足條件，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互垂直及其平行與直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由題意可得所求直線垂直于直線且過(guò)圓心，求出所求直線的斜率，再由直線方程的斜截式得答案．【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，由直線和圓的位置關(guān)系可得，線段的垂直平分線是垂直于直線且過(guò)圓心的直線，直線的斜率為，所求直線的斜率為，故線段的垂直平分線的方程為：，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，得出直線過(guò)圓心且垂直于已知直線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距，根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑之和，可得兩個(gè)圓外切．【解答】解：圓，即圓，表示以為圓心、2為半徑的圓．而圓是以為圓心、3為半徑的圓，兩個(gè)圓的圓心距，即兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑之和，故兩個(gè)圓外切，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判定方法，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】利用充分條件和必要條件結(jié)合橢圓方程判斷即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，方程表示圓，當(dāng)方程表示橢圓，則需，，且．解得且，所以““是”方程是方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)和充分必要條件的綜合，屬于容易題．10．【分析】根據(jù)點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2，最大值為8，列出，的方程組，進(jìn)而解出，，最后求出離心率．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2，最大值為8，所以，解得，所以橢圓的離心率為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)，屬于容易題．11．【分析】設(shè)，，根據(jù)以及點(diǎn)在橢圓上建立方程組，解得坐標(biāo)，即可知道點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：設(shè)，，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，．，．，，，，，，即①，又，為橢圓上任意一點(diǎn)，，聯(lián)立①②得或，使得成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．12．【分析】以點(diǎn)，分別表示甲、乙兩地，以點(diǎn)表示丙地，建立合適的平面直角坐標(biāo)，求出點(diǎn)的軌跡方程，即可求得答案．【解答】解：以點(diǎn)，分別表示甲、乙兩地，以點(diǎn)表示丙地，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，設(shè)點(diǎn)，則，即，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則，所以這個(gè)三角形信號(hào)覆蓋區(qū)域的最大面積（單位：平方公里）是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立符合條件的函數(shù)模型，分析清楚問(wèn)題的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此類問(wèn)題求解的一般步驟是：建立函數(shù)模型，進(jìn)行函數(shù)計(jì)算，得出結(jié)果，再將結(jié)果反饋到實(shí)際問(wèn)題中指導(dǎo)解決問(wèn)題，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)把答案填在答題紙的相應(yīng)位置）13．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解．【解答】解：向量，，，，，，，，解得實(shí)數(shù)．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】連結(jié)，可得異面直線與所成的角為，在直角三角形中，求得即可．【解答】解：連結(jié)，，異面直線與所成的角為，在正四棱柱中，可知面，則，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成的角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)題意，將直線的方程變形為，然后求出的坐標(biāo)，根據(jù)條件求出圓的半徑，再得到圓的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于直線，變形可得，則有，解得，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為，以點(diǎn)為圓心且與軸相切的圓，其半徑，則圓的方程為；故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，16．【分析】直接利用橢圓的定義和方程，余弦定理和三角形的面積，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上，如圖所示：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，，，，故△的周長(zhǎng)為；設(shè)，，所以，利用余弦定理，整理得，故，所以；故答案為：10；；【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓的定義和方程，余弦定理和三角形的面積，平面向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．17．【分析】畫出圖形，根據(jù)對(duì)稱性，觀察可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)距離最小，進(jìn)而得解．【解答】解：圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓上，則有，故，顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小，從而轉(zhuǎn)化為求，兩點(diǎn)距離的最小值，顯然．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中檔題．18．【分析】根據(jù)新定義為兩點(diǎn)，，，之間的“折線距離”，依次判斷即可．【解答】解：對(duì)于①：坐標(biāo)代入，故①對(duì)．對(duì)于②：到原點(diǎn)的“折線距離”不大于1的點(diǎn)的集合，如圖：構(gòu)成的區(qū)域面積為，故②不正確．對(duì)于③：設(shè)，則，函數(shù)圖像如下：則最小值為3，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)閳A表示以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)，則，令，即，所以，解得，即最大值為，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)新定義的理解和運(yùn)用能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共4小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．19．【分析】（Ⅰ）利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，線段的中點(diǎn)為，利用斜率計(jì)算公式可得，利用點(diǎn)斜式即可得出邊上的中線所在的直線方程．（Ⅱ）設(shè)，交與點(diǎn)，有斜率計(jì)算公式可得，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得，即可得出邊上的高所在的直線方程．（Ⅲ）利用點(diǎn)斜式可得直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，即可得出的面積．【解答】解：（Ⅰ）線段的中點(diǎn)為，，即，，所以，所以邊上的中線所在的直線方程為，即．（Ⅱ）設(shè)，交與點(diǎn)，則，所以，所以邊上的高所在的直線方程為，即．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離．，所以的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，求出直線和的斜率，分析可得直線與垂直，由此確定圓的圓心和半徑，計(jì)算可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，，，；則，，則有，即直線與垂直，故圓心為的中點(diǎn)，故，圓的半徑，圓的方程為；（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)要求直線為，分2種情況討論：①直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意，②直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則有，解可得，此時(shí)直線的方程為，變形可得；綜合可得：切線的方程為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及切線方程的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（Ⅰ）利用平面幾何知識(shí)證明，，由線面垂直的判定定理證明即可；（Ⅱ）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（Ⅲ）假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，求出的坐標(biāo)，利用，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以點(diǎn)是，的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，且，，平面，故平面；（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所以，由（Ⅰ）可知，，，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，所以，，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，故，所以，由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為；（Ⅲ）假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，由（Ⅱ）可知，平面的一個(gè)法向量為，由，可得，解得，所以，所以在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，的值