2022年中考數(shù)學(xué)重難點精講精練43三角形的折疊問題(教師版)

精講精練43三角形的折疊問題

1、如圖1,在EL48C中，AC=6,8c=8,AB=IO,分別以口/BC的三邊/B,BC,NC為邊在三角形外部作正

方形ABDE,BCIJ,AFGC.如圖2,作正方形Z8QE關(guān)于直線48對稱的正方形，交CG于點

M,交/C于點N點。在邊〃上.則四邊形CMEW的面積是24.

圖1

（解析】?/正方形ABDE關(guān)于直線AB對稱的正方形ABD'E',

：.AE'=AB=\O,ZE'AB=90°,NAE'N=90°,

'：AC=6,BC=8,AB=\O,

.'.AC^+B^AB2,

：.△ZC8為直角三角形，

:*AC=BC?MC,

629

.?.A/C=_2_=W,

82

,/NMAC=NN4E',

：.Rt^ACM^Rt^AE'N,

9_

MC_ACHR2=6;.E'N=^-,

E，hTAE，'EyNIo2

四邊形CME'N的面積=S?EW-S沙c,Jx10X」互-Ax6x2=24.

2222

故答案為24.

2、如圖，在［NBC中，叱=90。，AC=BC=42,將口/BC繞點/順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到口/夕C的位置，連接

C'B,則C'8=

【解析】如圖，連接89，

,:AABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△/9C,

：.AB=AB',NB4B，=60°,

，△/188,是等邊三角形，

：.AB=BB',

在△力8。和△8'8C'中，

<AC'=B'C',

BC'=BC'

(SSS),

：.ZABC'=ZB'BC',

延長BC'交/夕于D,則BDL4B',

VZC=90°,AC=BC=?,

?"BR（&）2+（，）2=2,

：.BD=2^^-=yf3,C7）」X2=1,

22

：.BC'=BD-C'D=^/3-1.故答案為：V3-1

3、如圖，在RtZL4BC中，DJC5=90°,AC=3,8C=4,點。是邊BC的中點，點E是邊上的任意一點（點

E不與點8重合），沿DE翻折口。36使點8落在點F處，連接ZF,當線段4戶JC時，8E的長為.

【解析】連接/。，作EGL8。于G,如圖所示:

則EG//AC,

:ZEGs^BAC,

.EG_BE_BG

ACABBC

設(shè)BE=x,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

AJ5=VAC2+BC2=5,

?EG_x_BG

??石一后一丁

解得：EG衛(wèi)x,BG=^-x,

55

;點。是邊8c的中點，

：.CD=BD=2,

：.DG=2-Av,

5

由折疊的性質(zhì)得：DF=BD=CD,ZEDF=ZEDB,

'AC=AF

在zUC。和尸。中，＜CD=CF,

AD=AD

/./\ACD^^AFD(SSS),

ZADC=ZADF,

：.ZADF+NEDF.x1880。=90。,

2

即N4DE=90°,

：.AD2+DE2=AE2,

222222

'.'A^AC^+CD^!^,DE^=DG+EG=(2-Ax)+(旦x),

55

.,.13+(2-A.v)2+(2X)2=(5-x)2,解得：x=20t即夕房空；

551717

故答案為：20.

4、已知AABC中，AC=BC,NC=RtN.如圖，將AABC進行折疊，使點A落在線段8C上（包括

點8和點C）,設(shè)點A的落點為。，折痕為Eb,當△￡＞印是等腰三角形時，點?？赡艿奈恢霉灿校ǎ?

A.2種B.3種C.4種D.5種

【解析】（1）當點D與C重合時,

0AC=BC,AE=DE（即CE）,AF=DF（即CF）,

回此時回AFC（即E1AFD）是等腰直角三角形，點E是斜邊AC的中點,

I3EF=DE,

00EDF為等腰三角形.

（2）當點D與B點重合時，點C與E重合，

0AC=BC,AF=DF（即BF）,

13此時EF=,AB=DF（即BF）,

2

EBDEF是等腰三角形；

（3）當點D移動到使DE=DF的位置時，回DEF是等腰三角形.

綜上所述，當I3DEF為等腰三角形時，點D的位置存在3中可能.

故選B.

5、如圖，在中，口/=90。，05=30°,8C=、Q+1，點￡、尸分別是8C、ZC邊上的動點，沿E、F

所在直線折疊nC,使點C的落對應(yīng)點。始終落在邊48上，若□?BEC是直角三角形時，則8。的長為

，將士、^2+1

【答案】------或1.

2

【解析】通過觀察及分析可知，C點不可能為直角頂點，分兩種情況討論.

①當NCM8，=90。時，如圖例5-2所示.

由折疊知：/BMN=NB'MB=45°,又因為/8=45。，所以/8M0=9O。，NMNB'=90°

即夕=180。，所以8、N、9三點共線，此時夕與點力重合.

所以，BM=LBC=^^~

22

①當NC/M=90。時，如圖例5-3所示.

由折疊知/8=/夕=45。，因為NC=45。，可得/9MC=45。，所以△夕例C是等腰直角三角形

設(shè)BM=B，M=x,B'C=x,貝IJA/C=叵x

因為8C=艱+1

所以x+V2X=V2+1

解得：x=l,即8M=1.

綜上所述，的值為也土!■或1.

2

【點睛】根據(jù)題意判斷出C點不可能為直角頂點，分兩種情況討論，利用等腰直角三角形的三邊關(guān)系

求解.

6、如圖，矩形ABC。中，點E為射線BC上的一個動點，連接AE,以AE為對稱軸折疊△AEB,得到△AEB',

點8的對稱點為點B，，若A8=5,BC=3,當點9落在射線C。上時，線段BE的長為.

【答案】5或5后.

【解析】???四邊形A8CZ）為矩形，

；?CD=4B=10,BC=AD=5,

口矩形力BCO折疊，使點C落在邊4?上的E處，折痕交OC邊于點

□□AfE5=CC=90°,BC=BE=5,

四邊形BCME為正方形,

ME=5,

AE=AB-BE=5,

□點尸在。M上運動，且/KF是腰長為5的等腰三角形，

點尸只能在點?；螯cM處，

點下運動到點。時，EF=5

當點尸運動到點M時，EF=5.

故答案為5或50

7、如圖例3-1,在RE48C中，EL4C8=90。，□5=30°,BC=3,點。是8c邊上一動點（不與點8、C重合），

過點D作DEDBC交4B邊于點、E,將沿直線Z）E翻折，點8落在射線8c上的點尸處，當口工所為直

角三角形時，8。的長為_______________

BD

圖例3-1圖例3-2圖例3-3

8、如圖例5-1,在MAA8C中，NA=90°,AB=AC,BC=0+1,點M,N分別是邊5C,ABI.

的動點，沿MN所在的直線折疊NB,使點5的對應(yīng)點8始終落在邊AC上.若AVB'C為直角三角形，則

BM的長為.

圖例5-1圖例5-2圖例5-3

9、如圖例6-1,在口A//N=90。，點C在邊4"上，NC=4,點8為邊/N上一動點，連接8C,口，8c與E1/8C

關(guān)于8c所在直線對稱.。、E分別為ZC、BC的中點，連接。E并延長交所在直線于點F,連接/TE當

□4'EF為直角三角形時，48的長為.

A'