2018年數(shù)學(xué)專題2.1多點(diǎn)開花巧求向量?jī)?nèi)積小題大做

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題2。1多點(diǎn)開花巧求向量?jī)?nèi)積一、典例分析，融合貫通典例1如圖為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,在線段上有一點(diǎn),則=?！窘夥?】（定義法）如圖：.【點(diǎn)睛之筆】本題關(guān)鍵在于構(gòu)造,求出.【解法2】（基底法）以為基底表示，,又三點(diǎn)共線，，=3=18.【點(diǎn)睛之筆】把化為,利用三點(diǎn)共線，再把用基底表示.【點(diǎn)睛之筆】建立坐標(biāo)系，內(nèi)積數(shù)量化.【解法4】（特值法）令與重合，【點(diǎn)睛之筆】小題小做，提速神器?！窘夂蠓此肌拷夥?：從定義出發(fā),直接在直角三角形求夾角的余弦，利用直角三角形中余弦的定義，化簡(jiǎn)求出最后結(jié)果。解法2：利用平面向量基本定理，目標(biāo)明確以為基底，（注意必須是不共線的）利用了轉(zhuǎn)化思想，簡(jiǎn)單實(shí)用。解法3：利用數(shù)量積的計(jì)算公式，內(nèi)積數(shù)量化,簡(jiǎn)化思維過程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.（適合有垂直的條件的習(xí)題）。解法4：充分利用填空題的特點(diǎn)，小題小做，以特殊代替一般，讓動(dòng)點(diǎn)P具體化,是解決選擇填空題常用的方法。本題四種解法包括了求向量?jī)?nèi)積常用的幾種方法和特值法，方法多元化，能舉一反三，起到事半功倍的效果，與其跳進(jìn)題海不能自拔,不如仔細(xì)研究這樣一題收獲豐厚.典例2【2015天津，理14】在等腰梯形中，已知,，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，則的最小值為?！窘夥?】【等價(jià)轉(zhuǎn)化思想】因?yàn)?,，,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.【點(diǎn)睛之筆】以為基底，利用均值不等式求解.【點(diǎn)睛之筆】等腰梯形適合建立坐標(biāo)系,內(nèi)積數(shù)量化之典例.【解法3】【數(shù)形結(jié)合思想】由題意得，，過、作,垂足分別為、．則,，，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.ABABHCDEFG【點(diǎn)睛之筆】數(shù)形結(jié)合顯神威！【解后反思】方法1：在向量運(yùn)算中常用平面向量基本定理，即在平面內(nèi)選一組適當(dāng)?shù)南蛄浚ū仨毑还簿€）作為基向量,根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為基向量數(shù)量積，結(jié)合向量的數(shù)量積定義表示要運(yùn)算的向量，充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；方法2：本解法通過建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)具體的圖形性質(zhì)用坐標(biāo)表示向量，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)式進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的解題策略；方法3：從平面幾何性質(zhì)出發(fā)，利用三角形表示欲求向量的模及夾角，幾何條件與三角代數(shù)結(jié)合是本方法的關(guān)鍵。典例3（2017高考全國(guó)卷Ⅱ理12題）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是(）A。B.C。D.【解法1】（坐標(biāo)法）如圖建系:設(shè)點(diǎn)點(diǎn)為中點(diǎn)可以有兩種思路:【點(diǎn)睛之筆】本題由于是在等邊三角形中的問題,可以考慮用坐標(biāo)法解決.把所求的向量?jī)?nèi)積轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)形式，進(jìn)一步求出最小值.【解法2】(基底轉(zhuǎn)換法),當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)=,等號(hào)成立。【點(diǎn)睛之筆】基底表示法是解決向量問題的一利器！?！窘夥?】極化恒等式法(1）由解法一可知：，由利用極化恒等式得：,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)=,.【解法4】極化恒等式法（2）設(shè)分別為中點(diǎn)，,利用性質(zhì)：“在平行四邊形中對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和”得：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取最小值?！军c(diǎn)睛之筆】利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換.【點(diǎn)睛之筆】利用定義結(jié)合余弦定理.【解后反思】解法1：構(gòu)造直角坐標(biāo)系，典型又直接。在有垂直的條件下建立坐標(biāo)系是首選方法.解法2：選擇不共線的向量作為基底，把表示出來，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。解法3和解法4利用了向量的一個(gè)性質(zhì)。積累一些常見結(jié)論,適當(dāng)運(yùn)用可以起到事半功倍的效果.解法5：利用了余弦定理和“在平行四邊形中對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和”體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.二、精選試題，能力升級(jí)1。在Rt△ABC中,CA=CB=3，M,N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2,則CM·CN的取值范圍為(A.2,52 B。［2，4］ C?！敬鸢浮緿2.已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,則，，，即，所以,，因此,因?yàn)椋缘淖畲笾档扔冢?dāng)，即時(shí)取等號(hào)．3。已知向量，，,若與的夾角為60°，且，則實(shí)數(shù)的值為（)A。B。C.6D。4【答案】A【解析】，,故選A.4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A5。在中，，，，為邊上的高,為的中點(diǎn)，，則()A。B。C。D。1【答案】A6.在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若,,則（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】如下圖所示，設(shè)，，∴，∴，又∵，由平面向量基本定理可得，，∴，故選C．7.已知菱形的邊長(zhǎng)為4，,點(diǎn),分別在邊,上，，(，且），若，則的值為__________．【答案】88。已知向量與的夾角為，且若且，則實(shí)數(shù)的值為___【答案】【解析】,則，,，則.9.在中，,，。若，，且,則的值為___________.【答案】【解析】，則。10．在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若,則的