2022屆福建省福州市福建高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/(x)=3cosx+4sinx在時取得最小值，貝ijcos(9=()

3443

A.-B.--C.-D.--

5555

2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，仇c,已知。力=1,8=30,則4為()

A.60。B.120。C.60或150。D.60。或120。

3.設(shè)a=log73,b=10g，c=3。，,則a,b,c的大小關(guān)系是()

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

4.已知X、F,是雙曲線￡-士=1(。>0力>0)的左右焦點，過點工與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一

ab

條漸近線于點若點M在以線段G8為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(2,+00)B.(V3,2)C.(V2,5/3)D.(1,0)

5.某人2018年的家庭總收入為80000元，各種用途占比如圖中的折線圖，2019年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計

如圖中的條形圖，已知2019年的就醫(yī)費用比2018年的就醫(yī)費用增加了4750元，則該人2019年的儲畜費用為()

儲蓄衣食住旅行就醫(yī)儲蓄衣食住旅行就醫(yī)

A.21250兀B.28000兀C.29750兀D.85000元

6.已知拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點尸的距離比點”到，軸的距離大g,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.y2=xB.y2-2xC.y2-4xD.y2-8x

7.設(shè)c分別是AABC中D5,NC所對邊的邊長，則直線sinA-x-ay-c=()與法+sin8-y+sinC=()

的位置關(guān)系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

8.等差數(shù)列｛q｝中,4+%=1。，%=7,則數(shù)列｛q｝前6項和§6為（）

A.18B.24C.36D.72

9.復(fù)數(shù)l+i=()

i

A.-2zB.-iC.0D.2z

2

10.下列不等式正確的是()

A.sin130°>sin40°〉log?4B.tan226<ln0.4<tan480

C.cos(-20)<sin65"<1g11D.tan410°>sin80°>log52

11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為()

A.372B.2亞C.2瓜D.277

CILLIUlLIUU...

12.在AA3C中，點。是線段3c上任意一點，2A〃=AZ），BM^AAB+AC,則兀+〃=（)

11

A.——B.-2C.-D.2

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是.

14.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=」，則忖=.

15.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+°),對于任意》都有嗎+幻=嗎一幻，則/(令的值為.

16.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡崩，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十

二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡璇就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，

十二而一”，就是說：圓堡璇(圓柱體)的體積為V=」x(底面圓的周長的平方x高)，則由此可推得圓周率乃的取

12

值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+q-a,g(x)=-~^+竺(aG7?)

xx2e

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點，且此時,f(x)Ng(x)+m恒成立，求實數(shù)，〃的取值范圍.

18.(12分)已知等比數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，且《+%=￡，%%=4.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)若以=〃〃“(〃eN*),求數(shù)列｛〃,｝的前〃項和S..

19.（12分）如圖（1）五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=150,將AEW沿AO折到的位置，得到四棱錐P-488,如圖(2),點M為線段PC的中點,

且BA7_L平面PCD

(1)求證：平面A4Z>J_平面A3CD；

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為v-7■*/6COSOL(a是參數(shù))，以原點。為極點，不軸的正半

y=sina

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin[e-=血.

(1)求直線/與曲線C的普通方程，并求出直線的傾斜角；

(2)記直線/與y軸的交點為。,M是曲線C上的動點，求點M,Q的最大距離.

21.(12分)已知動圓E與圓M:(x-l)~+y2=z外切，并與直線x=相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點。(—2,0)的直線/交曲線C于A,B兩點,若曲線C上存在點尸使得NAQB=90°,求直線/的斜率4的

取值范圍.

22.(10分)已知等腰梯形ABCO中(如圖1),AB=4,BC=CD=DA=2,尸為線段CO的中點，E、M為

線段上的點，AE=EM=1,現(xiàn)將四邊形AEED沿EF折起(如圖2)

圖1圖2

(D求證：AM〃平面BC。；

（2）在圖2中，若BD=&,求直線CO與平面8CFE所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用輔助角公式化簡f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得/“）在x=e函數(shù)取得最小值時cos。的值.

【詳解】

4

解：/(x)=3cosx+4sinx=5-cosx+—sinx=5sin(x+a),其中，sinez=-,cosa--

5

故當(dāng)e+a=2k〃一色(keZ),即8=2%/一2一a(keZ)時，函數(shù)取最小值/'(6)=—5,

22v7

所以cos0=cos(2Z)---<z)=cos(---a)=-sina=~-,

225

故選：D

【點睛】

本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=火，再由角4的范圍可求得角4.

2

【詳解】

由正弦定理可知，一="一，所以芭,解得sinA=",又0<A<180，且。>仇所以A=60’或

sinAsmBsinAsin30°2

120°o

故選：D.

【點睛】

本題主要考查正弦定理，注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

l>a=log73>0,"=37<0,C=3<”>1得解.

3

【詳解】

l>a=log73>0,"=C=3°7>1,所以匕<a<c,故選D

3

【點睛】

比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法.

4.A

【解析】

雙曲線與-4=1的漸近線方程為y=±'x,

a2b1a

b

不妨設(shè)過點Fi與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為尸一（x-c）,

a

hrbe

與y=-2x聯(lián)立，可得交點M（上，--）,

a22a

V點M在以線段FiFi為直徑的圓外，

C262c2

.'.|OM|>|OFi|,即有——+—->c1,

44a2

,2

—>3,即b】>3ai,

a~

Ac1-a1>3ai,即c>la.

則e=->L

a

...雙曲線離心率的取值范圍是（1,+00）.

故選：A.

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的

坐標(biāo)的范圍等.

5.A

【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為80000元，且就醫(yī)費用占10%得到就醫(yī)費用80000x10%=8000,再根據(jù)2019年的

就醫(yī)費用比2018年的就醫(yī)費用增加了4750元，得到2019年的就醫(yī)費用，然后由2019年的就醫(yī)費用占總收人15%,

得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收入25%求解.

【詳解】

因為2018年的家庭總收入為80000元，且就醫(yī)費用占10%

所以就醫(yī)費用80000x10%=8000

因為2019年的就醫(yī)費用比2018年的就醫(yī)費用增加了4750元，

所以2019年的就醫(yī)費用12750元，

而2019年的就醫(yī)費用占總收人15%

所以2019年的家庭總收人為12750+15%=85000

而儲畜費用占總收入25%

所以儲畜費用：85000x25%=21250

故選：A

【點睛】

本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p,即可得到拋物線方程.

【詳解】

由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大;，根據(jù)拋物線的定義可得々=；,

：.p=\,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2x.

故選B.

【點睛】

本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

試題分析：由已知直線酬114%一少一。=()的斜率為±1,直線法+sin8-y+sinC=0的斜率為一――,又由正

asmB

弦定理得史上=中,故里-右)=-1,兩直線垂直

考點：直線與直線的位置關(guān)系

8.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%=5,根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式$6=3愛X6=幺愛X6可得結(jié)果.

【詳解】

,?,等差數(shù)列｛%｝中，4+火=10，,2%=10,即％=5,

.?!+a/+gx5+7_.

..Sc=-----bLx6=------x6=-----x6=36,

6fi222

故選C.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】略

10.D

【解析】

根據(jù)sin4O<l<log34,ln0.4<0<tan226°,cos(-20°)=sin70°>sin65°,利用排除法,即可求解.

【詳解】

由sin40<1<log34,In0.4<()<tan226°,cos(-20°)=cos20°=sin70°>sin65°,

可排除A、B、C選項，

又由tan410*=tan50>1>sin80°>—=log5石>log52,

所以tan410°>sin80°>log52.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐ABC,并且平面SAC1平面ABC,ACYBC,過S作連

接BO,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示：

s

由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐S—ABC,且平面SACJ,平面ABC,ACVBC,

過S作SD_LAC,連接50,貝IJ49=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以勿=yjDC2+BC2=V20，SB=>JSD2+BD2=2瓜，SA=^SD2+AD2=2也，

SC=\ISD2+AC2=275，

該幾何體中的最長棱長為2#.

故選：C

【點睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

12.A

【解析】

設(shè)■BljnkBCj,用無瓦恁表示出麗，求出幾,〃的值即可得出答案.

【詳解】

設(shè)麗=面=左前—k通

UULUIUKX1

由2AM=AD

KJZ

*-

2-2-

1

-

.■.丸+〃=—2■

故選：A

【點睛】

本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

5

13.一

2

【解析】

根據(jù)流程圖，運行程序即得.

【詳解】

第一次運行S=15,k=l;

第二次運行S=15,k=2；

第三次運行S=?,%=3；

2

第四次運行S=*<3；所以輸出的S的值是

22

故答案為：—

2

【點睛】

本題考查算法流程圖，是基礎(chǔ)題.

14.也

2

【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后利用求模公式可得結(jié)果.

【詳解】

111.

z=---=-----1=>

1+i22

故答案為：上.

2

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運算把復(fù)數(shù)化為a+瓦的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

15.-2或2

【解析】

由條件得到函數(shù)的對稱性，從而得到結(jié)果

【詳解】

.??x=9是函數(shù)f(x)=2sin((ox+(p)的一條對稱軸.

【點睛】

本題考查了正弦型三角函數(shù)的對稱性，注意對稱軸必過最高點或最低點，屬于基礎(chǔ)題.

16.3

【解析】

1I,

根據(jù)圓堡璇(圓柱體)的體積為丫=不、(底面圓的周長的平方x高)，可得丁x(2%”-〃=萬，進(jìn)而可求出乃的值

1212'

【詳解】

解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為「,圓柱的高為h，由題意知

,x(2乃h=兀戶h，解得n=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思，結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，。＞0時，/(x)在(0,a)上遞減，在(a,一)上遞增.(2)(一℃,-1].

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),分類討論，由/'(x)>o確定增區(qū)間，由/'(x)<0確定減區(qū)間；

(2)由/⑴=0,利用(1)首先得或。=1,求出/(x)—g(x)的最小值即可得結(jié)論.

【詳解】

(1)函數(shù)定義域是(0,+℃),

當(dāng)“40時，/'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；

”>()時，令/'(x)=0得x=。，0<x<a時，/'(x)<0,/(x)遞減，x〉a時，/(尤)>0,f(x)遞增，

綜上所述，時，.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，“>0時，/(犬)在(0,。)上遞減，在(a,y)上遞增.

(2)易知/(1)=0,由函數(shù)單調(diào)性，若/(x)有唯一零點，則“40或a=l.

a-\1

當(dāng)。40時，g(x)=----,/(x)-g(x)=lnx+——a,

XX

從而只需a=0時，/(x)-g(x)N加恒成立，即"2Wlnx+,，

x

令〃(x)=lnx+,，/zV)=--1=^./z(x)在(0,1)上遞減，在(1,y)上遞增，

Xxx~X

???做="⑴=1,從而加￡1.

X1

。=1時，gM=—r9/(x)=lnx+--l,

ex

1xX—11—X11

令z(x)=f(x)-g(x)=lnx+——1―1，由/'(X)=「——7T=(x-1)(F+F)，知/(X)在(。，D遞減，在(L”)

xexexe

上遞增，^)min=r(l)=-l,

綜上所述，機(jī)的取值范圍是.

【點睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題

通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導(dǎo)數(shù)求解.

18.(1)?！?2"-2⑵S,,=：+(〃—1)2"T

【解析】

（1）先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出％,生的值，從而可求出數(shù)列｛為｝的通項公式；（2）利用錯位相減求和法可

求出數(shù)列也｝的前〃項和S..

【詳解】

17

解：（1）由｛《,｝是遞增等比數(shù)列，?,+a5=—,a2a4=ata5=4,

17q=8

4+4q

聯(lián)立《T,解得2或<1，

4a5=4見=82

因為數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，所以只有?“-5符合題意,

%=8

則［4=3'=16,結(jié)合4>0可得q=2,

4

2

???數(shù)列｛%｝的通項公式：an=2"-；

(2)由2=%(〃eN"),

二2=小2"2；.?.&=(；

那么S“=1*2T+2*2°+3x2i+—+〃-2"-2,①

貝!12s“=1x2°+2x2+3x2?+…+(〃-1)2""+n?，②

將②-①得:

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前〃項和.

19.（1）見解析（2）也

7

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立；（2）通過已知條件求

出各邊長度,建系如圖所示，求出平面PDB的法向量，根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：取的中點N,連接AN,MN,則MN〃CZ）,"N=LCD,

2

又AB//CD,AB==CD,所以MN//AB,MN=AB,則四邊形為平行四邊形，所以AN//BM,

2

又8W_L平面PCD,

二4V_L平面PCD,

；.AN±PD,AN±CD.

由￡D=E4即PD=Q4及N為RD的中點，可得A/%。為等邊三角形,

二NPZM=60°,

又NEDC=150°,，NCZM=90°,二8J_AD,

二CD1平面PAD,CDu平面ABCD,

:.平面PAD，平面ABCD.

(2)解：

AB//CD,NPCD為直線PC與AB所成的角，

PD1

由（1）可得NP￡）C=90°，???tan/PCO=——=—,：.CD=2PD,

CD2

設(shè)PD=1,則CD=2,PA=AD=AB=1,

取AD的中點。，連接P。，過。作AB的平行線，

可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

I44)

一.(1、1，-*麗=-0書，

所以。月=(1,1,0)，P月=Q

取x=3,則萬=(3,-3,一6)為平面P8O的一個法向量，

..cos5,麗〉=上方=-半

?同則國朋7，

2

則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為名豆.

7

點睛：判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該

直線和此平面垂直.③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.平

面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理：一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直.

—TT

20.(1)—+/=1,y=x+2,直線/的傾斜角為一

64

G3而

W-----

5

【解析】

x=pcosO

(1)由公式siVa+cos2a=1消去參數(shù)得普通方程，由公式.八可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角；

y=psing

(2)求出直線/與)'軸交點Q,用參數(shù)表示M點坐標(biāo)，求出|因，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

【詳解】

⑴由卜=辰°皿，消去a得C的普通方程是：—+/=]

y=sina,6

由psin(。一()=夜，得QsinO一夕cos6=2,

X=PCOS0

將”.八代入上式，化簡得y=x+2

y=psmff

直線/的傾斜角為m

4

(2)在曲線C上任取一點cosa,sina),

直線/與)'軸的交點。的坐標(biāo)為(0,2)

貝！JIA/。]=J(V^cosa-O)+(2-sina『=V-5sin2cif-4sin6Z+10

當(dāng)且僅當(dāng)sina=-1時，|MQ|取最大值生詈.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.求兩點間距離的最值時,

用參數(shù)方程設(shè)點的坐標(biāo)可把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；

(2)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線相交則?>(),結(jié)合由NAPB=90。得到的斜率關(guān)系,

即可求得斜率々的范圍.

【詳解】

(1)因為動圓E與圓M：(x-1)2+V=L外切，并與直線尢=一:相切，

'42

所以點E到點M的距離比點E到直線工=一的距離大

22

91I

因為圓〃：(％-1)-+：/=1的半徑為5，

所以點E到點M的距離等于點E到直線x=-l的距離，

所以圓心E的軌跡為拋物線，且焦點坐標(biāo)為。,0).

所以曲線C的方程y2=4x.

(2)設(shè)A(%,y),B(x2,y2)

y2=4x,

由“.得由2—4y+8)=°,

y=k[x+2)

k豐0O&

由-J^--<k<—3.k^0.

16-32Z：->022

4

X+M=7，y%=82

k

kJof_)'。一弘_44

PAX0-X1%?城為+x,同理%=

----------VnIVc

44

由/APB=90°,得=-1

即%?+%(/+%)+%%=T6,

所以為2+%+24=0，

7k

由八二⑶-96>0,<A:<—且心(),

\k)66

又-旦＜k〈旦旦k軌,

22

所以后的取值范圍為

【點睛】

本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.

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