解雞兔同籠問題的方法

教學(xué)內(nèi)容：人民教育出版社六年級上冊P116-117《雞兔同籠問題》練習(xí)課教學(xué)目標(biāo)：1、復(fù)習(xí)解決“雞兔同籠”問題的多種方法，分析比較各種方法，進(jìn)一步理解和掌握“雞兔同籠”問題的思路和方法。2、通過不同的練習(xí)，幫助學(xué)生建立一個(gè)解決這類問題的模型，從而讓學(xué)生更熟練解決生活中的“雞兔同籠”問題；3、會(huì)根據(jù)實(shí)際問題，靈活選擇方法進(jìn)行解答。感受數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系，感知數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神。教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步理解和掌握“雞兔同籠”問題的思路和方法。教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)靈活運(yùn)用不同的方法解決問題。教學(xué)具準(zhǔn)備：多媒體課件等。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)整理師：同學(xué)們，我們上一節(jié)課通過討論、探索，找到解決“雞兔同籠”問題的多種方法，回憶一下有哪些方法嗎？（學(xué)生可能回答：列表枚舉法、假設(shè)法和列方程解決。）（點(diǎn)擊出示三種方法）師：在這些方法中你比較喜歡哪一種方法，說說你的理由？（學(xué)生可能回答：1、我比較喜歡方程的方法，簡單。）師：的確，列表法，適合數(shù)據(jù)較小的問題；但它有利于我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的變化規(guī)律。假設(shè)法，一般都適合，理解起來比較抽象；列方程法一般都適合，數(shù)量關(guān)系比較容易理解；師：今天這節(jié)課我們就來練習(xí)用假設(shè)法和方程的方法解決雞兔同籠的問題。出示課題雞兔同籠問題練習(xí)課（板書課題）[設(shè)計(jì)意圖說明說明：首先回憶解決雞兔同籠問題的三種基本方法，再通過敘述喜歡那一種方法的理由幫助學(xué)生整體感知復(fù)習(xí)每種方法的特點(diǎn)。]二、基本練習(xí)1、練習(xí)二十六第1題：自行車和三輪車共10輛，總共有26個(gè)輪子。自行車和三輪車各有多少輛？（點(diǎn)擊出示題目）師：請同學(xué)們輕聲讀題，想一想這道題屬于雞兔同籠問題，為什么？同桌同學(xué)討論交流一下。（學(xué)生可能回答：這道題屬于雞兔同籠問題，自行車和三輪車相當(dāng)于雞兔同籠問題中的雞和兔，共10輛，相當(dāng)于有10雞和兔有個(gè)頭?？偣灿?6個(gè)輪子，相當(dāng)于雞和兔共有26只腳。）（點(diǎn)擊，在“自行車和三輪車”下劃線，點(diǎn)擊，在“共10輛”下劃線，點(diǎn)擊，在“總共有26個(gè)輪子”下劃線。）師：同學(xué)們說的很好，這個(gè)問題的確屬于雞兔同籠問題，自行車相當(dāng)于雞，三輪車相當(dāng)于兔。（點(diǎn)擊，在“自行車”上出示“雞”，再次點(diǎn)擊，在“三輪車”上出示“兔”。）師：通過剛才的分析，現(xiàn)在你們能獨(dú)立解決這個(gè)問題了嗎？就請同學(xué)們用自己喜歡的方法來解答。學(xué)生獨(dú)立完成（學(xué)生可能回答：我是用假設(shè)法來解決這個(gè)問題的。我把這10輛車假設(shè)為自行車。10×2=20（個(gè)）26-20=6（個(gè)）3-2=1（個(gè)）6÷1=6（輛）--三輪車10-6=4（輛）---自行車）（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）師：你能說說每個(gè)算式的含義嗎？（學(xué)生可能回答：10×2=20（個(gè)）假設(shè)10輛車全是自行車，一共有20個(gè)輪子；條件告訴我們26個(gè)輪子，要增加6個(gè)輪子，26－20=6（個(gè)）；把一輛自行車替換成一輛三輪車，就增加一個(gè)輪子。3―2=1（個(gè)）要增加6個(gè)輪子就要用6輛三輪車替換假設(shè)的6輛自行車。6÷1=6（輛）。）所以是6輛三輪車、4輛自行車）師：你是怎么確定求出來的是三輪車呢？（學(xué)生可能回答：假設(shè)每輛車都是自行車那么應(yīng)該有10×2=20個(gè)輪子，而條件中卻說有26個(gè)輪子，要增加6個(gè)輪子，把自行車替換成三輪車，每換一輛增加一個(gè)輪子，所以6÷1=6（輛）算出來的是三輪車）師：還有沒有同學(xué)也是用假設(shè)法來解決這個(gè)問題的，卻和他的做法不一樣呢？（學(xué)生可能回答：我把這10輛車假設(shè)為三輪車。10×3=30（個(gè)）30-26=4（個(gè)）3-2=1（個(gè)）4÷1=4（輛）--自行車10-4=6（輛）---三輪車））師：你怎么知道4÷1=4（輛）是自行車的？（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）（學(xué)生可能回答：假設(shè)每輛車都是三輪車那么應(yīng)該有10×3=30個(gè)輪子，而條件中卻說有26個(gè)輪子，要減少6個(gè)輪子，把三輪車替換成自行車，每換一輛減少一個(gè)輪子，所以4÷1=6（輛）算出來的是自行車）師：除了假設(shè)法，其他同學(xué)用什么方法來解決問題的？（學(xué)生可能回答：方程.）師：說說你的解答過程（學(xué)生可能回答：解：設(shè)有X輛自行車，那么就有（10－X）輛三輪車。2X＋3（10－X）=2630-X=26X=410－4=6（只）（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）解：設(shè)有X輛三輪車，那么就有（10－X）輛自行車。3X＋2（10－X）=2620+X=26X=610－6=4（只）（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）師：通過剛才的練習(xí)我們知道在生活有一些問題和雞兔同籠問題具有同樣的條件，我們也利用假設(shè)法和方程法解決雞兔同籠問題2、師:這里還有一些問題，你能說說看是不是雞兔同籠問題，如果是那么什么相當(dāng)于雞，什么相當(dāng)于兔呢？哪個(gè)條件相當(dāng)于頭的個(gè)數(shù)，哪個(gè)條件相當(dāng)于腳的只數(shù)。（1）練習(xí)二十六第3題。（點(diǎn)擊，出示題目。）（學(xué)生可能回答：大、小兩種鋼球共30個(gè)相當(dāng)于雞和兔共有的頭，共重266g相當(dāng)于共有的腿的條數(shù)。大鋼珠每個(gè)11g相當(dāng)于每只兔4條腿，小鋼珠7g相當(dāng)于每只雞2條腿。）（點(diǎn)擊，在“大、小兩種鋼珠共30個(gè)”下劃線，點(diǎn)擊，在“共重266g”下劃線，點(diǎn)擊，在“大鋼珠每個(gè)11g”下劃線，點(diǎn)擊，在“小鋼珠每個(gè)7g”下劃線。）（2）練習(xí)二十六第7題。（點(diǎn)擊，出示題目。）（學(xué)生可能回答：籃球和足球共6個(gè)相當(dāng)于雞和兔共有的頭，一共231元相當(dāng)于共有的腿的條數(shù)。籃球每個(gè)42元相當(dāng)于每只兔4條腿，足球每個(gè)35元相當(dāng)于每只雞2條腿。）（點(diǎn)擊，在“籃球和足球共6個(gè)”下劃線，點(diǎn)擊，在“一共231元”下劃線，點(diǎn)擊，在“42元”下劃線，點(diǎn)擊，在“35元”下劃線。）（3）練習(xí)二十六第6題。（點(diǎn)擊，出示題目。）（學(xué)生可能回答：3個(gè)硬幣相當(dāng)于雞和兔共有的頭，共9分錢相當(dāng)于共有的腿的條數(shù)。5分硬幣相當(dāng)于每只兔4條腿，2分硬幣相當(dāng)于每只雞2條腿。）（點(diǎn)擊，在“3個(gè)硬幣”下劃線，點(diǎn)擊，在“9分錢”下劃線，點(diǎn)擊，在“5分”下劃線，點(diǎn)擊，在“2分”下劃線。）（4）練習(xí)二十六第2題。（點(diǎn)擊，出示題目。）（學(xué)生可能回答：進(jìn)了9個(gè)球相當(dāng)于雞和兔共有的頭，共得了21分相當(dāng)于共有的腿的條數(shù)。3分線外投中一球記3分相當(dāng)于每只兔4條腿，3分線內(nèi)投中一球記2分相當(dāng)于每只雞2條腿。）（點(diǎn)擊，在“進(jìn)了9個(gè)”下劃線，點(diǎn)擊，在“共得了21分”下劃線，點(diǎn)擊，在“3分線外投中一球記3分”下劃線，點(diǎn)擊，在“3分線內(nèi)投中一球記2分”下劃線。）師：的確，在這一題中“我投了15個(gè)球?！笔且粋€(gè)無關(guān)信息師：請每一位同學(xué)們用列方程法完成題（3）。用假設(shè)法完成題（4）。（點(diǎn)擊，出示題3。）（學(xué)生可能回答：解：設(shè)有X枚5分硬幣，那么就有（3－X）枚2分硬幣。5X＋2（3－X）=96+3X=9X=13－1=2（枚）答：有1枚5分硬幣，有2枚2分硬幣。（點(diǎn)擊，出示解題過程。）假設(shè)法：（點(diǎn)擊，出示題4。）方法一；把9個(gè)球都假設(shè)為3分線外的球。9×3=27（個(gè)）27-21=6（個(gè)）3-2=1（個(gè)）6÷1=6（個(gè)）--3分線內(nèi)的球9-6=3（個(gè)）---3分線外的球（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）方法二；把9個(gè)球都假設(shè)為3分線內(nèi)的球。9×2=18（個(gè)）21-18=3（個(gè)）3-2=1（個(gè)）3÷1=3（個(gè)）--3分線外的球9-3=6（個(gè)）---3分線內(nèi)的球答：張鵬在這場比賽中投進(jìn)了3個(gè)3分球。（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）[設(shè)計(jì)意圖說明：本環(huán)節(jié)從尋找自行車和三輪車輪子問題與雞兔同籠問題的關(guān)聯(lián)入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，提煉出這類問題的結(jié)構(gòu)特征，把學(xué)習(xí)引向深入。然后通過運(yùn)用假設(shè)法和方程法解決自行車和三輪車輪子的問題中復(fù)習(xí)假設(shè)法和方程法的思考過程。最后通過一組練習(xí)進(jìn)一步鞏固雞兔同籠問題的基本結(jié)構(gòu)特征。]三、變式練習(xí)1、練習(xí)二十六第5題。師：請同學(xué)們輕聲讀一讀題，找一找條件和問題。（學(xué)生可能回答：科技類

5人/組；藝術(shù)類3人/組

共37人，共9個(gè)組，求參加科技類和藝術(shù)類的學(xué)生各有多少人。）師：這道題屬于雞兔同籠的問題嗎？如果用方程法，應(yīng)設(shè)什么為X？你是怎么想的？（學(xué)生可能回答：因?yàn)闂l件中告訴的是組數(shù)相當(dāng)于雞和兔共有的只數(shù)，共37人相當(dāng)于共有的腿的條數(shù)，而每組的人數(shù)則相當(dāng)于每只兔和每只雞的腳的條數(shù)。所以應(yīng)該設(shè)組數(shù)為X）師：明確了這一點(diǎn)，請同學(xué)們獨(dú)立完成。（學(xué)生可能回答：解：設(shè)科技類組有X個(gè)，那么藝術(shù)類組就有（9－X）個(gè)。5X＋3（9－X）=3727+2X=37X=55×5=25（人）（9－5）×3=12（人）答：參加科技類的學(xué)生有25人，參加藝術(shù)類的學(xué)生有12人。）（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）解：設(shè)藝術(shù)類組有X個(gè)，那么科技類組就有（9－X）個(gè)。3X＋5（9－X）=3745－2X=37X=44×3=12（人）（9－4）×5=25（人）答：參加科技類的學(xué)生有25人，參加藝術(shù)類的學(xué)生有12人。（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）2、出示練習(xí)二十六頁第4題師：請同學(xué)們選擇方程或者假設(shè)法中的一種方法解答這道題。學(xué)生可能回答：解：設(shè)2號(hào)選手答對了X題，則答錯(cuò)了（8—X）題。10X—6（8—X）=6416X—48=64X=7（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）假設(shè)8道題都答對了8—（10×8—64）÷（10-6）=8—16÷4=4（題）（點(diǎn)擊，出示解題過程。）師：為什么得到的答案不一致呢？到底是那種方法出錯(cuò)了。我們用列表枚舉的方法尋找一下數(shù)據(jù)變化的規(guī)律。（點(diǎn)擊，出示表格。）答對的題數(shù)876543210答錯(cuò)的題數(shù)012345678總分80644832160你發(fā)現(xiàn)了什么？（學(xué)生可能回答：每答錯(cuò)1道題就會(huì)減少16分，）師：每答錯(cuò)1道題就會(huì)減少16分，10+6=16分，而不是10—6=4分。反之，答對一題則比答錯(cuò)一題多得16分。（點(diǎn)擊，消失。）假設(shè)全對：8—（10×8—64）÷（10+6）=8—16÷16=7（題）（點(diǎn)擊，出示解題過程，再次點(diǎn)擊，消失。）[設(shè)計(jì)意圖說明：根據(jù)新知識(shí)的特點(diǎn)和學(xué)生生活中遇到的一些實(shí)際問題，適當(dāng)進(jìn)行了一下變式練習(xí)，使練習(xí)的題型多樣化，讓學(xué)生的思維能力和靈活解決問題的能力得到了提高，充分體現(xiàn)了這組練習(xí)設(shè)計(jì)的實(shí)效性。]四、歸納小結(jié)、課外延伸1、教師：這節(jié)課我們做了這么多題，你有什么感受和收獲？（學(xué)生可能回答：有些問題雞兔同籠具有相同的特征，在解答是就可以用假設(shè)法或方程法來解決。在審題時(shí)我們要看清楚什么相當(dāng)于只數(shù)，什么相當(dāng)于腿數(shù)。具體的題目要具體分析。）2、課外延伸同學(xué)們，我們古代還有一道有趣的題目出示練習(xí)二十六頁最后一題師：除了用我們學(xué)過的假設(shè)法或者是方程法來解決問題，還有沒有更為巧妙的方法呢？請同學(xué)們4人小組交流討論（學(xué)生可能回答：可根據(jù)題意“大和尚一人吃3個(gè)，小和尚3人