高考數(shù)學(xué)培優(yōu) 專題10 計(jì)數(shù)原理

高數(shù)培專10計(jì)原一、單題(2分2020高三上大同期中）在

的展開式中，

的系數(shù)為（）A.20B.10C.-10D.-20(2分（高上濰坊期中）高一某班有名學(xué)報(bào)名參加學(xué)校組織三個(gè)不同社區(qū)服務(wù)小組，每個(gè)小組至多可接收該班2名同學(xué)，每名同學(xué)只能報(bào)一個(gè)小組，報(bào)名方案有（）A.15種

B.90種

種

種(2分2020高三上會(huì)昌月考）若為（）

的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，展開式的常數(shù)項(xiàng)A.－B.－162D.540(2分2020高三上唐山月考）特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對(duì)中西部地農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政.某教育行政部門為本地兩所農(nóng)村小學(xué)招聘了名崗教師中體育教師名學(xué)師4名.每所學(xué)校1名體育教師2名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分配，則不同的分配方有（）A.2414C.D.8(2分（高三上松月考）在項(xiàng)為（）

的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)A.B.105(2分（2020高上合月考）周六晚上小紅和爸爸、媽媽、弟弟一起去看電影，訂購4張電影票恰好在同一排且連在一起，為安全起見，每個(gè)孩子至少有一側(cè)有家長陪坐，則不同的坐法種為（）A.8B.12D.20(2分2020高三上蚌埠月考）

的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.-40C.-80D.80(2分2019·江模擬）從集{，，，，，和1，，，，5，，，，中任取個(gè)素排成一母和數(shù)字均不能復(fù)中字母C和字4至出兩個(gè)的不同排法數(shù)）A.8595C.2040二、多題(3分2020高三上山東期中）已知

的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，則（）B.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)A.10.(3分（2020高上邢月

開式中含

項(xiàng)的系數(shù)為54

，則（）

A.B.11.(3分（高三上溧水期中）設(shè)常數(shù)結(jié)論中，正確的是（）A.若，各項(xiàng)系隨著項(xiàng)數(shù)增加而減小B.若各項(xiàng)系數(shù)隨著項(xiàng)數(shù)增加而增大，則

，，于二項(xiàng)式

的展開式，下列若若

，，

，則第項(xiàng)的系數(shù)最大，則所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為23912.(3分（高二下連云港期末）為弘揚(yáng)我國古代“六文，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用期開設(shè)禮樂”“”御”書”數(shù)六體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六.則）A.某生從中選門共有30種法B.課程射“”排不相鄰兩周共有240種法課程“”書”數(shù)排在相鄰三周，共有144種法課“樂不在第一周，課“”不排在最后一周，共有種排法三、填題13.(1分（高三上黃浦期中）若

的展開式中

的系數(shù)為，

________.14.(1分（高三上西安期中）年月為支援武漢市抗擊新型冠狀病毒的疫情計(jì)劃從北京大興國際機(jī)場空運(yùn)部分救援物資，該杋場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題，現(xiàn)有4輛載有救援物資的車輛可以停放在8個(gè)并排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案________種（用數(shù)字作答）15.(2分（紹模擬）知

，則________，

________.

16.(1分（2020·桂模擬）校

名學(xué)生參加軍事冬令營活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共

種，分別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司.游戲分組有兩種方式，可以

人一組或者

人一組如

人一組，則必須角色相同；如果人組，則人角色相同或者

人為級(jí)別連續(xù)的

個(gè)不同角色已這

名學(xué)生扮演的角色有

名士兵和

名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學(xué)生，將這

名學(xué)生分成

組進(jìn)行游戲，則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為_______.四、解題17.(10分（2020高三上松月考）盒子內(nèi)有3個(gè)同的黑球5個(gè)不同的白球（）中取出個(gè)黑球4個(gè)球排成一列且個(gè)球兩兩不相鄰的排法有多少種？（）中任取個(gè)球且白球的個(gè)數(shù)不比黑球個(gè)數(shù)少的法有多少種？18.(10分（2020高三上松月考）已知（），

的展開式中，第項(xiàng)和第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，（）展開式

的一次項(xiàng)的系數(shù)19.(10分（南模擬）已知

.（）

的值；（）

的值.20.(15分（2020高二上建月考）在高三一班元晚會(huì)上，有個(gè)唱目4個(gè)蹈節(jié)目（）個(gè)蹈節(jié)目接在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？（）要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？（）已定好目單，后來情況有變，需加上詩歌朗誦和快板個(gè)目，但不能改變?cè)瓉砉?jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？21.(10分（2020高二下武月考）已知二項(xiàng)式．（）它的二式系數(shù)之和為512．求展開式中系數(shù)大的項(xiàng)；（），求二項(xiàng)式的值被除余數(shù)．22.(15分2020高二·漢月考）江夏一中高二年級(jí)計(jì)劃假期開展歷史類班級(jí)研學(xué)活動(dòng)，共個(gè)名額，分配到歷史類5個(gè)班個(gè)班至少個(gè)名額，所有名額全部分).（）有多少分配方案？（）名生確定后，分成A、、、四小，每小組至少一人，共有多少種方法？（6名學(xué)生來到武漢火車站火站共設(shè)有3“安檢”入口每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)客求6人站的不同方案種數(shù)

一、單選題【案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】在通項(xiàng)公式為

答案解析分的展開式中，，令

，求得

，的系數(shù)為，故答案為：．【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由

的指數(shù)分別為與可得

的系數(shù)．【案】【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析】【解答】解：根據(jù)題意5名同學(xué)需以，，形式參加三個(gè)服務(wù)小組，即先把名同學(xué)分成3組組人數(shù)為2人種，故答案為：

種將三組分配到個(gè)服務(wù)小組【分析】利用實(shí)際問題的已知條件結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)解決計(jì)數(shù)問題的方法，從而求出報(bào)名方的種數(shù)?！景浮俊究键c(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】根據(jù)題意，由于

展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為2

，解得n=6，展開式的常數(shù)項(xiàng)為，答案為【分析】利用二項(xiàng)式定理的系數(shù)的性質(zhì)求出n的，從而結(jié)合二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)?！景浮俊究键c(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析】【解答】先把名數(shù)學(xué)教師平分為組有

種方法，再把名育教師分別放入這兩組，有

種方法，

最后把這兩組教師分配到兩所農(nóng)村小學(xué)，共有

種方法故答案為：【分析】先把4名學(xué)教師平分為2組，再把名育教師分別放入這兩組，最后把這兩組教師分配到兩所農(nóng)村小學(xué)，即可計(jì)算出結(jié)果【案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得，則

，則，展開式中常數(shù)項(xiàng)為135,

的展開式為故答案為：【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出n的，再結(jié)合二項(xiàng)式定理求出開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)?！景浮俊究键c(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析】【解答4個(gè)坐四個(gè)座位，共有

種坐法，當(dāng)孩子坐在一起并且坐在最邊上時(shí)，有一個(gè)孩子沒有大人陪伴，共有

種，所以每個(gè)孩子旁邊必須有大人陪著共有24-8=16種法故答案為：【分析】先計(jì)算出4個(gè)人的全排列，再減去不符合情況的種數(shù)即.【案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【解析】【解答】解（﹣）令5﹣＝1，5﹣＝，

的的展開式的通項(xiàng)公式：,解得r＝，＝

（舍去）．（）2x

）

5

的展開式中常數(shù)項(xiàng)：（﹣）×2

2

＝﹣．故答案為：．【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出【案】【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理【解析】【解答】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在兩個(gè)集合中選出4個(gè)元素，要求字母C和字4，至出現(xiàn)兩個(gè)，若字母和數(shù)字4，都出現(xiàn)，需要在字母AB，，E，中選出個(gè)母，有種選法，若字母和數(shù)字4出，要在字母BF中出個(gè)母，在1、23、、、9中出1個(gè)數(shù)字，有＝種法，

54若字母和數(shù)字7出，要在字母BF中出個(gè)母，在1、23、、、9中出1個(gè)數(shù)字，有＝種法，54若數(shù)字、出，需要在字母，，，E，中出2個(gè)母，有C＝種法，則有＝種法，②，選出的4個(gè)素全排列，有A424種況則一共有85×24＝種不同排法；故答案為：．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先在兩個(gè)集合中選出個(gè)素，要求字母和字4，至出現(xiàn)兩個(gè)，再將選出的4個(gè)元素全排列，即得.二、多選題【案】A,B,D【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】令A(yù)符題意；

，得

的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以，的展開式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

，所以，

，符合題意；的展開式的通項(xiàng)公式為

，令

，則

，所以展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)不合題意；令

，則

，所以展開式中含

項(xiàng)的系數(shù)為，符題意；故答案為：【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解列方程求解即可10.【答案】A,C,D【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】由題意，當(dāng)當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，

，當(dāng)

時(shí)，

，所以

，

，，當(dāng)時(shí)，所以故答案為：

.

，

【分析利用賦值法解決于A通過給

賦值

即可作出判斷對(duì)于B和通給

賦值和

，得到兩個(gè)等式作差得到結(jié)果，進(jìn)而作出判斷；對(duì)于D：，通過給

賦值

得到結(jié)果即可作出判斷11.【答案】B,C,D【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】二項(xiàng)式

的展開式的通項(xiàng)為，對(duì)于A當(dāng)對(duì)于B，題意；

時(shí)，則任意項(xiàng)的系數(shù)均為（除常數(shù)項(xiàng)）A不合題意；，則最后兩項(xiàng)為，有，已知矛盾，故，符合對(duì)于C，，

，則各項(xiàng)系數(shù)為

，

，

，，

，

，

，，

，

，

，故第7項(xiàng)的系數(shù)最大，符題.對(duì)于，若，，則所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為故答案為：BCD.【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，取斷C；接求出奇數(shù)項(xiàng)和即可判斷D.12.【答案】C,D【考點(diǎn)】排列與組合的綜合【解析】【解答6門選3門有課程射御”排在不相鄰兩周，共有課程禮書”“”排在相鄰三周，共有

，符題.即可判斷A；利用反證可判斷B；次求出各項(xiàng)系數(shù)即可判種，不符合題意；種排法，不符合題意；種排法C符題意；課程樂不在第一周，課程御不在最后一周，共有

種排法，符合題意．故答案為：【分析】根據(jù)排列組合的相鄰關(guān)系和不相鄰關(guān)系，以及有限制排列的關(guān)系，逐個(gè)分析選項(xiàng)即三、填空題13.【答案】-1【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析【解答】求得二項(xiàng)式

的展開式的通項(xiàng)為

，當(dāng)

，解得，時(shí)

，所以，解得故答案為：【分析】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為關(guān)于的方程，即可求.

.

，結(jié)合題意，求得，而到14.【答案】120【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析】【解答】從8個(gè)位里選擇4個(gè)相鄰的車位，共有種式，將4輛有援物資的車輛相鄰?fù)７?，?/p>

種方式，則不同的泊車方案有

種故答案為：【分析】可知從個(gè)車位里選擇4個(gè)相鄰的車位，共有5種式，將輛載有救援物資的車輛相鄰?fù)７?，有種方式，則可計(jì)算出不同的泊車方.15.【答案】0；【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】因?yàn)榱羁傻茫核裕海?；；；……；?/p>

.

，故故答案為：，【分析】根據(jù)其特點(diǎn)可知

為

.的系數(shù)，把第二問所求去掉絕對(duì)值符號(hào)發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為負(fù)，令

即可求解．

16.【答案】【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【解析】【解答】依題意，

名學(xué)生分成

組，則一定是

個(gè)

人組和個(gè)

人組.①若加入的學(xué)生是士兵，則可以將這

個(gè)人分組如下；

名士兵；士兵、排長、連長各名；營長、團(tuán)長、旅長各名師長、軍長司令各名；名令所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對(duì)稱可知也可以是司令；②若加入的學(xué)生是排長，則可以將這

個(gè)人分組如下：

名士兵；連長、營長、團(tuán)長各名；旅長、師長、軍長各名；

名司令；

名排長所新加入的學(xué)生可以是排長，由對(duì)稱性可知也可以是軍長；③若加入的學(xué)生是連長，則可以將這

個(gè)人分組如下：

名士兵；士兵、排長、連長各名；連長、營長、團(tuán)長各名旅長、師長軍長各名；名令所以新加入的學(xué)生可以是連長，由對(duì)稱可知也可以是師長；④若加入的學(xué)生是營長，則可以將這

個(gè)人分組如下：

名士兵；排長、連長、營長各名；營長、團(tuán)長、旅長各名師長、軍長司令各名；名令所以新加入的學(xué)生可以是營長，由對(duì)稱可知也可以是旅長；⑤若加入的學(xué)生是團(tuán)長，則可以將這

個(gè)人分組如下：

名士兵；排長、連長、營長各名；旅長、師長、軍長各名；

名司令；

名團(tuán)長所新加入的學(xué)生可以是團(tuán).綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演種角色故答案為：

.【分析】對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下

個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論四、解答題17.【答案】（）：先從5個(gè)白球中取出4個(gè)進(jìn)行排列，然后3個(gè)黑球插在中間三個(gè)空內(nèi)，則4個(gè)球兩不相鄰的排法有

種；（）：從中取6個(gè)球，白球的個(gè)數(shù)不比黑球個(gè)數(shù)少的取法有3類1個(gè)黑球和個(gè)白球2個(gè)球和4個(gè)白球3個(gè)球和3個(gè)白球，則共有

種取法【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析【析】（1）題意先將白球選出個(gè)行排列，再用黑球插空即可得解；）由題意將滿足要求的情況分為三種個(gè)球和5個(gè)球個(gè)球和4個(gè)白球個(gè)黑球和個(gè)白球結(jié)合分步乘法、組合的知識(shí)即可得解18.【答案】（）：第4項(xiàng)和第9項(xiàng)二項(xiàng)式數(shù)相等可得解得（）：由（）知，展開式的第

項(xiàng)為：令

得

此時(shí)所以，展開式中

的一次項(xiàng)的系數(shù)為【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【分析】1根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)相等列式求解n；）先求出展開式的通項(xiàng)，然后求解所求項(xiàng)的系數(shù)．19.【答案】（）：

得，

；令

得，

.于是

.（）：，首先考慮，則，因此故

..【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【分析】1利用賦值法進(jìn)行求解，令

得，；

得，.從可求結(jié).（）據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)與，然后累加可求

關(guān)系及組合數(shù)性質(zhì)得到的值.20.【答案】（）：一步先將個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個(gè)目，與個(gè)演唱節(jié)目一起排，有種方法；

第二步再松綁個(gè)目排序種

種方法根分步乘法計(jì)數(shù)原理有（）：第一將6個(gè)唱節(jié)目排成列（如圖中“”），一共有

種方法×□×□×□×□×□×□×第二步，再將個(gè)蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間（即圖“×的位置），這樣相當(dāng)于個(gè)×選4個(gè)來排，一共有

種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有

種（）：若所節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有

種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有

種排法【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題【解析】【分析】1相鄰問題利用捆綁法；2）相鄰問題采用插空法；（）用倍分法分析：先求出個(gè)目全排列的排法數(shù)目，分析三個(gè)舞蹈節(jié)目本身的順序，由倍分法計(jì)算得答案；二項(xiàng)式21.【答案】（）：由展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)為

的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，，解得：，

．

，．（）：若，，問題轉(zhuǎn)化為

被7除的余數(shù)，，即余數(shù)為2．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析【析】）題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再根據(jù)通項(xiàng)公式可得展開式中第項(xiàng)的系數(shù)，從而求得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)2）二項(xiàng)式即

，按照二項(xiàng)式定理展開，問題化為數(shù)．

被除余再根據(jù)

按照二項(xiàng)式定理展開可得它除的余22.【答案】（）：題意得：問題轉(zhuǎn)化為不定方程

的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，方又等價(jià)于不方程

的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，

利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

，