第一節(jié)絕對值不等式

第一節(jié)絕對值不等式第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日知識點考綱下載考情上線絕對值不等式理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.在填空或解答題中考查絕對值不等式解法與含絕對值號的函數(shù)的最值，恒成立問題.第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日知識點考綱下載考情上線不等式證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.考查簡單不等式的證明，多用比較法、綜合法、分析法.第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日一、絕對值三角不等式1.定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤

，當且僅

當

時，等號成立.|a|＋|b|ab≥0第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的條件分別是什么？提示：(1)當a，b不共線時，|a＋b|<|a|＋|b|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日

2.定理2：如果a，b，c是實數(shù)，則|a－c|≤

，當且僅當

時，

等號成立.|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、絕對值不等式的解法1.含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a??|x|>ax>a或x<－ax≠0R第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?

.(2)|ax＋b|≥c?

.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式

的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形

結(jié)合的思想.

方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函

數(shù)與方程的思想.第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．解不等式|x＋log2x|<|x|＋|log2x|.解：原不等式成立只需x·log2x<0，即∴解集為{x|0<x<1}．第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．解不等式2x＋2|x|≥2解：當x≥0時，有2x＋2x≥∴x≥當x<0時，有2x＋2－x≥2，即(2x)2－2·2x＋1≥0.解得2x≤－1，或2x≥＋1(∵x<0，故舍)，∴x≤log2(－1)．∴原不等式解為第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范圍；(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范圍．第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈?.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范圍；(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范圍．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈?.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日4．已知a∈R，解關(guān)于x的不等式|x|>第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：原不等式等價于x>或x<即∵x2－ax＋6a2>0恒成立，∴原不等式等價于x－a>0或(x－a)(x＋2a)(x－3a)<0當a≥0時，原不等式的解集為：{x|x>a，或x<－2a}當a<0時，原不等式的解集為：{x|x>a，或x<3a}．第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．對絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時．2．該定理可以強化為：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常

用于證明含絕對值的不等式．3．對于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求

法利用該不等式更簡潔、方便．第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要條件，或必要不充分條件，或充要條件)．第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日利用絕對值三角不等式，推證與|x-y|<2m的關(guān)系即得答案.第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分條件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，則有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不滿足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要條件．答案：充分不必要條件第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．設(shè)f(x)＝x2－x＋1，實數(shù)a滿足|x－a|<1，求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：∵f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|，∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日絕對值不等式的常見類型及其解法1形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此類不等式的簡單解法是等價命題法，即(1)當a>0時，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)當a＝0時，|f(x)|<a無解．|f(x)|>a?f(x)≠0.(3)當a<0時，|f(x)|<a無解．|f(x)|>a?f(x)有意義．第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2含有兩個絕對值的不等式的解法(1)零點分段法零點分段法解絕對值不等式的步驟：a.求零點；b.劃分區(qū)

間、去絕對值號；c.分別解去掉絕對值的不等式；d.取每

個結(jié)果的并集，特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點值．注意：在利用分類討論解決含多個絕對值的不等式時，應(yīng)做

到分類不重、不漏；在某個區(qū)間上解出不等式后，不要忘了

與前提條件求交集．第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2)利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法，把絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動點x到兩個定點a1、a2的距離之和(差)．第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日

(1)利用公式法轉(zhuǎn)化(2)采用零點分段討論法，也可用絕對值的幾何意義去解．

第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2）法一：分別求|x－1|，|x＋2|的零點，即1，－2.由－2,1把數(shù)軸分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.當x<－2時，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；當－2≤x≤1時，原不等式即1－x＋2＋x<5，因為3<5恒成立，則－2≤x≤1；當x>1時，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.綜上，原不等式的解集為{x|－3<x<2}．第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5的幾何意義為數(shù)軸上到－2,1兩個點的距離之和小于5的點組成的集合，而－2,1兩個端點之間的距離為3，由于分布在－2,1以外的點到－2，1的距離在－2,1外部的距離要計算兩次，而在－2,1內(nèi)部的距離則只計算一次，因此只要找出－2左邊到－2的距離等于＝1的點－3，以及1右邊到1的距離等于＝1的點2，這樣就得到原不等式的解集為{x|－3<x<2}．第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求實數(shù)a的取值范圍．第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：法一：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的圖象如圖所示：由圖可知，當a＜3時，|x+2|+|x-1|≤a的解集為?.第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日法二：|x+2|+|x-1|表示數(shù)軸上的點A(x)到B(-2)和C(1)兩點的距離之和，而|BC|=3，所以A到B、C兩點的距離之和的最小值為3.若|x+2|+|x-1|≤a的解集為?，只需a＜3即可．所以a的取值范圍是a＜3.第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日絕對值不等式的證明主要有兩類：一是比較簡單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化證明，有時需要適當?shù)奶?、拆項．二是綜合性較強的函數(shù)型絕對值不等式問題，多用放縮法，涉及二次型的也可考慮最值或根的分布問題．第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)m等于|a|，|b|和1中最大的一個，當|x|>m時，求證：利用絕對值不等式放縮證明.第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：∵|x|>m≥|a|，故原不等式成立．第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定義域為[－1,1]，且|f(x)|的最大值為M.(1)試證明|1＋b|≤M；(2)試證明第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)依題意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日絕對值不等式是對必修5中“不等式”的補充和深化,其解法與證明是考查的重點，若單獨命題，多以填空題形式出現(xiàn)，也可與其他知識結(jié)合考查解答題.如2009年福建21題，2009年遼寧24題，2009年寧夏、海南24題都考查了絕對值不等式的解法.第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2009·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果對任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．第四十四頁，共四十九頁，202