2021-2022學(xué)年湖南省常德市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖南省常德市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合”二62,-1,01}，N={x|x>-1},則（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}c.{xlTC}D.0

B

【分析】由交集的定義即可判斷答案.

［詳解］因?yàn)椤?{-2,-1,0/},N={x|x>-1},所以〃nN={01}

故選：B.

2.已知°/eR+且。+6=1,則成的最大值等于

LL也

A.1B.4C.2D.2

B

【詳解】〈a,b&R+，.-A=a+h>2'^,：.ah<^,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立.選

B.

3.已知復(fù)數(shù)2=-「（3-i）,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)團(tuán)等于（）

A.3B.2應(yīng)C.10D.布

D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與模長(zhǎng)公式求解即可

【詳解］z=-i<3-i）=-l-3i,故目=J（T）2+（-3）=布

故選：D

如圖所示，在長(zhǎng)方形中，設(shè)=

4.=B又AE=2EC,BE=Aa+jjb則

112

A.3B.-3C.1D.3

A

【分析】利用平面向量的三角形和平行四邊形法則，把向量顯用表示，即可求

尺〃的值，從而得'+〃的值.

____2

■.■AE=2EC,:.AE=-AC

【詳解】解：3

:.~BE=^A+~AE=-:AB+-'AC=^AB+-（AB+JD）=+-75

3333

1-21-12i

BE=--a+-b：,A=--,JL/=-：.A+U=-

即33,33,3.

故選：A.

5.《易經(jīng)》是中國(guó)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、

艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示-根陽線，■■表示-根

陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽線之和為4的概率（）

A.8B.14C.28D.56

B

【分析】首先得到°根陽線的有一卦，1根陽線的有三卦，2根陽線的有三卦，3根陽

線的有一卦，再求出基本事件總數(shù)，與滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公

式計(jì)算可得.

【詳解】解：由圖可知有。根陽線的有一卦，1根陽線的有三卦，2根陽線的有三卦，

3根陽線的有一卦，

記1根陽線的分別為。、b、c,2根陽線的分別為A、B、C,3根陽線的為3,

8x7c。

-----=2o

從八卦中任取兩卦，一共有2種，

其中滿足陽線之和為4的有（卬3）,0,3）,（c,3）,（48）,（4C）,（&C）共6種，

故兩卦中陽線之和為4的概率2814.

故選：B

6.軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，已知一等邊圓錐的母線長(zhǎng)為百，則該圓

錐的內(nèi)切球體積為（）

"n

A.4"B.3c.萬D.6

D

【分析】畫出軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為"，則°D=°E=r,

ZOCD=-CD=—“

6,2,從而可求出°￡）,進(jìn)而可求出內(nèi)切球體積

【詳解】軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則。。=。后=廠，

ZOCD=-CD=—

由題意可得6,2,

tanNOCD=—

在Rtaoco中,CD

1

OD=CDtanZOCD=r=-

所以即2,

n

所以內(nèi)切球體積為3~6

故選：D

7.某校為更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類、創(chuàng)新素質(zhì)類、興趣愛好類三

種類型的校本課程，每位同學(xué)從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對(duì)該校6000名學(xué)生的選課情

況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖①，并用分層抽樣的方法從中抽取2%的學(xué)生對(duì)所選課程進(jìn)行了

滿意率調(diào)查，如圖②.

則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.抽取的樣本容量為120

B.該校學(xué)生中對(duì)興趣愛好類課程滿意的人數(shù)約為1050

C.若抽取的學(xué)生中對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類課程滿意的人數(shù)為36,則。=70

D.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為1500

C

【分析】根據(jù)分層抽樣的比例可確定樣本容量，從而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)餅狀圖可知選

擇興趣愛好類課程的學(xué)生人數(shù)占比為35%,又根據(jù)柱狀圖可得對(duì)興趣愛好類課程滿意

率為50%,由總?cè)藬?shù)6000即可計(jì)算對(duì)興趣愛好類課程滿意的人數(shù)；根據(jù)餅狀圖可知?jiǎng)?chuàng)

新素質(zhì)類學(xué)生占比為40%,分層抽樣比例為2%,即可計(jì)算抽取的創(chuàng)新素質(zhì)類課程學(xué)

生人數(shù)，接著計(jì)算學(xué)生對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類課程的滿意率；根據(jù)餅狀圖分析得到選擇學(xué)科拓

展類課程的人數(shù)占比為25%,根據(jù)總?cè)藬?shù)即可計(jì)算選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù).

【詳解】抽取的樣本容量為6000x2%=120,故A正確：

該校學(xué)生中對(duì)興趣愛好類課程滿意的人數(shù)約為6000X35%X50%=1050,故B正確；

............-.............=75%

根據(jù)題意，創(chuàng)新素質(zhì)類課程的滿意率為6000X40%X2%,〃=75,故c錯(cuò)誤；

該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為6000X25%=1500,故D正確.

故選：C.

8.已知％,“2分別是方程e'+x-2=0,lnx+x-2=0的根，則%+%=（）

歷

A.1B.2C.D.V2+1

B

【分析】由題意可得X,*2分別是函數(shù)N=e'，V=lnx的圖象與直線y=-x+2交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，由于y=e'的圖象與y=lnx圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而直線V=r+2也關(guān)于

直線夕=才對(duì)稱，所以兩交點(diǎn)的中點(diǎn)就是直線夕=一》+2與夕="的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo),

再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出西+看的值

【詳解】由題意可得X1是函數(shù)y=e'的圖象與直線y=-x+2交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，X?是函

數(shù)N=lnx圖象與直線y=-x+2交點(diǎn)8的橫坐標(biāo)，

因?yàn)镹=e、的圖象與y=lnx圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而直線V=-'+2也關(guān)于直線

"X對(duì)稱,

所以線段的中點(diǎn)就是直線y=-x+2與y=x的交點(diǎn)，

fy=x1x=l

由［y=-x+2,得［y=l,即線段的中點(diǎn)為（LI）,

一+%,］

所以2-，得%+Xz=2,

故選：B

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A3XGR,X2-2X+2<0

B.'>2是xNl的充分不必要條件

C.己知函數(shù)/（x）=bg式x+l）-l的零點(diǎn)為1

D.若、=/（x+l）的定義域?yàn)椋?,2］,則N=/（x）的定義域?yàn)椋郇D1,1］

BC

【分析】由配方法判斷V-2X+2的符號(hào)進(jìn)而判斷A,根據(jù)充分不必要條件的定義即可

判斷B,求出函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷C,根據(jù)題意求出夕=/（'+1）中x+1的范圍，進(jìn)而

得到V=/（x）的定義域，最后判斷D.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)閄2-2X+2=（X+1）-+1>0,所以人錯(cuò)誤：

對(duì)B,由、>2可以得到xNl,但由得不到x>2,所以B正確；

對(duì)C,令/（x）=bg2（x+l）-l=0nbg2（x+l）=lnx+l=2nx=l,所以c正確；

對(duì)D,因?yàn)閥=〃x+D的定義域?yàn)椋?,2］,即0Cnl4x+142,所以"/㈤的

定義域?yàn)椋?,2］,所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若事件/,8相互獨(dú)立，則滿足P（"）=P（/）尸⑶

B.若事件/,B,C兩兩獨(dú)立,則尸（43C）=P（⑷尸（8）P（C）

C.若事件CC彼此互斥,則PQ）+P（8）+P（C）=1

D.若事件48滿足尸（"）+尸（8）=1,則48是對(duì)立事件

BCD

【分析】A選項(xiàng)，事件Z,8相互獨(dú)立，則滿足尸（/8）=P（Z）P（8）；BCD可舉出反例,

說法錯(cuò)誤.

【詳解】若事件48相互獨(dú)立，則滿足P（/8）=P（"）P（8）,A說法正確;

舉例說明：投擲兩個(gè)骰子，記事件4第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù),

事件8：第二個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù),

事件C：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù),

于是/（'）=%）=尸（OK,「（倒=P（5C）=P（/C）［,

P（'8C）=0,可以看出事件/,B,C兩兩獨(dú)立，但4B,C不互相獨(dú)立，所以

R/8C）#尸（⑷尸（8）P（C）,B說法錯(cuò)誤；

舉例說明：投擲一個(gè)骰子三次，記事件4第一次骰子的點(diǎn)數(shù)為1,

事件8：第二次骰子點(diǎn)數(shù)為2,

事件C：第三次骰子點(diǎn)數(shù)為3,

P（4）=P（8）=P（C）=：

則6

事件/,5,C被此互斥，則尸Q）+P（8）+P（C）*1,c說法錯(cuò)誤：

舉例說明：記事件4投擲一個(gè)骰子，骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件&投擲一枚硬幣，正面朝上，

則尸（止尸（8）=：滿足P⑷+尸⑻=1,

但/,8不是對(duì)立事件，

D說法錯(cuò)誤.

故選：BCD

11.已知函數(shù)/（x）=/sin?x+e）（其中/>0,0>0,小乃）的部分圖象如圖所

示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)外）的圖象的周期為7=萬

兀

B.函數(shù)外）的圖象關(guān)于點(diǎn)（五，0）對(duì)稱

工￡

C.函數(shù)外）在區(qū)間［-3,%］上的最大值為2

、/萬—-114幾

V=/（X）（---?xK-

D.直線y=l與1212）圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為6

AC

【分析】先利用函數(shù)圖象T"&m，從而求得函數(shù)解析式，然后利用零點(diǎn)，對(duì)稱性及

正弦三角形最值求解得結(jié)果.

T_2454—乃

【詳解】依題意，4-T法—4,得7="，故A正確；

_2萬_°_2萬

（°~~~,4=2,則”x）=2sin（2x+°）,當(dāng)"一行時(shí)，了㈤取最小值,

2x—+<0=—<p=-/（x）=2sij2x+M

則32,得6,即V6人

工yfAL2sinf2x—+-）=2sin-^0

7

當(dāng)“12^,112；I126）3；故B錯(cuò)誤；

_汽2%HG,—/、

當(dāng)xe[—3,6],則6L2'2」，則-2”(X)?2,故c正確:

—<X<--2x+—G[0,2^-1y=f(x)(--<x<

1212,則6」，設(shè)直線y=l與1212)圖像所有

冗冗71

2x.H------F2%H----=71玉+X-）=~~

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為再外，則6-?6，解得-3,故D錯(cuò)誤;

故選：AC.

12.如圖，在直三棱柱NBC-MAG中，=l,8C=&,N/8C=90°,尸為線段

8c上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.點(diǎn)Z到平面A"。的距離為2

B.平面4PC與底面/8C的交線平行于透尸

C.三棱柱"8C-4AG的外接球的表面積為16萬

冗

D.二面角的大小為不

ABD

【分析】對(duì)A,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定可得"4'平面48C,進(jìn)而求得點(diǎn)/到平

面M8C的距離；對(duì)B,根據(jù)線面平行的性質(zhì)判定即可；對(duì)C,根據(jù)外接球的性質(zhì)求得

外接球的直徑進(jìn)而求得表面積即可；對(duì)D,根據(jù)線面垂直的判定可得二面角

4-8C-4即再求解即可；

【詳解】對(duì)A,因?yàn)橹比庵?8C-44G,故8c4,又N/8C=90,故

BCLAB,又4BcAA[=A,“尻力4u平面,故8CL平面/^4同,又

平面力844,故又力8==1,故正方形故48_1_44，

又BCC4B,8c，48u平面4吟故”8口平面48c所以點(diǎn)4到平面48c的距離

。血

—AB.=----

為22,故A正確；

對(duì)B,易得4P〃平面/8C,"fu平面"fC,根據(jù)線面平行的性質(zhì)有，平面"fC與

底面48C的交線平行于吊尸，故B正確;

對(duì)C,根據(jù)題意可得"0=?工=百，因?yàn)镹/8C=90‘，所以三棱柱

/S~4/r2I=4萬

Z8C_48cl的外接球的直徑為4c=Jl+3=2,其表面積

,故C錯(cuò)

誤;

對(duì)D,因?yàn)?CJ.平面‘88/,故二面角4-8C-"的平面角即41//,因?yàn)?/p>

tanN48X=l,故//由/=45',故口正確；

故選：ABD

三、填空題

13.已知函數(shù)兀0為奇函數(shù)，當(dāng)xN。時(shí)，/'(x)=x(x+4),則/(-1)=

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì),求對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)值轉(zhuǎn)化成已知區(qū)間函數(shù)值求解即可.

當(dāng)時(shí)，)

【詳解】解：/(X)為奇函數(shù),X20/(x)=x(x+4,

=-1x5=-5

故答案為.-5

14.設(shè)次=(2，-2),08=(3,0),℃=(〃?,3),若/,B,C三點(diǎn)構(gòu)成以角B為90。的直

角三角形，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為一.

-3

【分析】先求出848c的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.

【詳解】由題意，向=&-。%=(-1,-2),BC=OC-OB=(m-3,3))于是

BA-BC=(-1,——3,3)-3—m-6=0=>m=—3

故3

15.在△48c中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6=石，。=2,且

2?sin^=/?-cosC+c-cosS,則A/BC的面積為

V5

2

sin/4=-

【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)可得2,再根據(jù)面積公式求解即可

由正弦定理2sin，'=sin'?cosC+sinC-cos'=sin('+C)=sin”因?yàn)?/p>

【詳解】

sin/」S,

&ABC-/>csin^=—

sin4Ho，故2,故’22

故2

16.定義在R上的奇函數(shù)/(X)和偶函數(shù)g(D滿足/G)+g(x)=e',當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),

g(2x)Z4/■(*)恒成立，則實(shí)數(shù)卜的取值范圍

F,

【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出〃x)，g(x)的表達(dá)式，然后代入

g(2x)"/G)中，分離出參數(shù)人,得一e'-e"e'-e-',令r=e*-ef,則

“?+22,小2

k<-------=/+-(/>0)t+-

，E,然后利用基本不等式可求出，的最小值，從而可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)?(X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，

所以/(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

由/(x)+g(x)=e、，得/(-x)+g(-x)=eT,

所以-/(x)+g(x)=e",

-x八

e—eeX+,e7

所以”')=k'ga)=T

所以不等式g(2x”以、G)可化為

因?yàn)閤e(0，+8),所以e，_e-，>0,

,e?"+e~2x(ex-e-Y)2+2

kz——

所以e、-e-*e'-e-,

k<^-^=t+-(t>0)

令￡=6、一尸，貝I」，t

t+->2,t--=2y[2f=2

因?yàn)?Y',當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào),

2_

所以"7的最小值為2及，

所以k42及，即實(shí)數(shù)后的取值范圍為68,2雙］

故(7

四、解答題

11

3x3《xgx班+lg——1g25

17.(1)計(jì)算F的值.

sina+cosa=-,ae(0,7t)

(2)已知5,求tan。的值.

4

tana=——

(1)1；(2)3.

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)'幕運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)求值；(2)根據(jù)同角

平方和為1的關(guān)系即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】⑴原式=3x3,313、(lg4+lg25)=3，找一皿00=3-2=1

,1

(2)法1：由題得,一或①又si/a+cos2a=1②.

.，(1,Y.

sirra+——sina=1

由①②解得,(5)

.25sin%-5sina-12=0=>(5sina+3)(5sina-4)=0

3.4

sina=——sina=—

解得5或5.

4.13

,八、a=—sina+cosa=—cosa=——

又ac(0,%故加5,且5,所以5,

4

tana=——

sina+cosa=-

法2：由5①

124

1+2sinacosa=—n2sinacosa=---<0

平方得2525.

乂ac(0,兀)，所以sina>0,cosa<0

49

(sina-cosa)-2=1-2sinacosa=一

而25,

,7

sina-cos=—

故有5②.

434

sma=—,cosa=——tana=——

由①②解得55,即3

18.常德市漢壽縣新建的野生動(dòng)物園，聲名遠(yuǎn)播,“五一”假期入園游客近16萬人次,

目前已建成的一期項(xiàng)目分為猛獸區(qū)、食草區(qū)、靈長(zhǎng)類、大象館、鱷魚館、鳥語林等52

個(gè)館舍，入園物種有150多種約3500頭（羽）.現(xiàn)在漢壽縣的野生動(dòng)物園已成為省內(nèi)

外游客旅游的目的地.為了了解游客的參觀體驗(yàn)的滿意度，從游客中隨機(jī)抽取若干游

客進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），并統(tǒng)計(jì)他們參觀館舍個(gè)數(shù)情況，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下

頻率分布直方圖和頻數(shù)表.已知評(píng)分在［70,90］的游客有11人.

參觀館舍數(shù)頻數(shù)

10

1

303

354

406

452

50t

521

(1)求頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表中未知量a,f的值：

(2)從頻率分布直方圖中求評(píng)分的下四分位數(shù)，從頻數(shù)分布表中求參觀館舍數(shù)的80%分

位數(shù)；

(3)規(guī)定評(píng)分不低于90分為“非常滿意”，評(píng)分低于60分為“不滿意”.現(xiàn)從評(píng)分為“非常

滿意'’和"不滿意''的游客中任意選取2人評(píng)為幸運(yùn)游客，求評(píng)分為“非常滿意''和"不滿意”

的游客恰各一人的概率.

⑴。=0.02/=3

95

(2)下四分位數(shù)70；80%分位數(shù)是2

8

⑶15

【分析】(1)由頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表計(jì)算可得;

(2)利用下四分位數(shù)和80%分位數(shù)概念計(jì)算可得;

(3)列舉基本事件所有樣本點(diǎn)數(shù)及所求事件樣本點(diǎn)數(shù)，利用古典概型求解即可.

1-(0.01+0.015+0.025+0.03)x10

=0.02,

【詳解】(1)解：由題意,10

抽取人數(shù)為(°.°25+"03)xl0所以,=20-1-3-4-6-2-1=3；

(2)解:頻率分布直方圖得，前兩組的頻率和恰好為

所以評(píng)分的下四分位數(shù)為70；

20x80%=16,從小到大第16、17個(gè)數(shù)分別是45,50

45+5095

則參觀館舍數(shù)的80%分位數(shù)是：2-T.

⑶解不滿意”的游客有20x0.1=2人，設(shè)編號(hào)分別為48,“非常滿意”的游客有

20*0.2=4人,設(shè)編號(hào)分別為a,b,c,d

則基本事件的總數(shù)有：

AB、Aa,Ab,Ac>Ad,Ba,Bh,Be、Bd,ab,ac,ad,be、bd,cd共15種,

事件“’非常滿意''和"不滿意”的游客恰各一人有：

Aa>Ab、Ac,Ad、Ba、Bb,Be、8d共8種.

故15.

19.已知在直三棱柱"8C-481G的底面/Be中.ZABC=90,E、尸分別為NC和

的中點(diǎn)."'=8C=44|=2,。為棱&用上的動(dòng)點(diǎn).

(1)請(qǐng)作出過4、4、E三點(diǎn)截直三棱柱44G的截面(只要求畫出圖形，不要

求寫出做法)

(2)證明：BFLDE

(3)當(dāng)。為4片的中點(diǎn)時(shí)，求直線OE與平面"844所成的線面角的正切值.

(1)作圖見解析；

(2)證明見解析；

2

⑶5.

【分析】(1)利用面面平行的性質(zhì)作出截面與平面48c的交線即可作答.

(2)利用線面垂直的判定證明8尸，平面4片“，再利用線面垂直的性質(zhì)即可推理作

答.

(3)取的中點(diǎn)“，證明面'88/,再在RtZ\L?暇/中計(jì)算作答.

【詳解】(1)在直三棱柱,sc-48c中，過4、鳥、后的截面交平面44G于“圈，

又截面與平面4BC有公共點(diǎn)E,

平面N8C//平面4片G,因此，過4、用、后的截面與平/8C交于過點(diǎn)￡的一條直

線，該直線平行于44，

而，8///圈，則有過4、耳、E的截面與平面/8C的交線平行于過E作

EG//AB交BC于G,

連接4瓦80,所以四邊形4EG4即為過“、四、后三點(diǎn)截直三棱柱"8C-44G的

截面，如圖，

(2)由(1)知，EGHAB,而E為4C的中點(diǎn)，則G為8c的中點(diǎn)，

在正方形BCC\B\中，尸為eg中點(diǎn)，RtA88]G=RtACBE,則ZBBtG=NCBF,

因此NC8尸+N8G用=N8與G+N8Gq=90。，有BhB、G,而NEGC=N48C=90：,

則有EG_L8C,又Bq,平面Age,EGu平面/8C,有EG1電,而84nBe=8,

BB1,BCu平面BCC、B\

于是得EG，平面8CC4,又sFu平面SC'GA,則有8尸_LEG,

因EGc8￡=G,后6,3夕(=平面4&74,從而得BF1平面4EGB1,又DEU平面

A、EGB\,

所以8F_LQE.

(3)因",4BCBB[=B,48,'片u平面,則8C_L平面

ABB、A

取28的中點(diǎn)"，連EH,DH,如圖，因上為4c的中點(diǎn)，即有EH//BC,則即_1平

面,陰4,

于是得為直線OE與平面488/所成的角，在正方形中，。為4A的中

點(diǎn)，即有="4=2

EH=-BC=\tan/EDH=-----=—

而2,在Rt△。暇/中,DH2

所以直線DE與平面"88/所成的線面角的正切值為5.

20.在四邊形48CQ中，AB=2,N/=60,/ABC=/BCD=90,Z.CBD=a

（1）當(dāng)a=15。時(shí)，求線段4）的長(zhǎng)度;

（2）求△BCD面積的最大值.

⑴0+1

3

⑵2

【分析】（1）在△480中，直接利用正弦定理可求得“。的長(zhǎng)度；

（2）利用正弦定理可求得8。，進(jìn)而求得8C、CD,利用三角形的面積公式、弦化切

以及基本不等式可求得△BCO面積的最大值.

［詳解］(1)解：當(dāng)&=15。時(shí)，在中，AB=2,480=75。，乙位)8=45。,

ABAD

由正弦定理sin45°sin75。，

2sin7502gin45°cos30。+cos45"sin30。)廠

得sin45Qsin450.

NZ08=180°-60°-G(r-a)=a+3(r

(2)解：在中，ZABD=90°-a,

巫=7AB、=BD=1、

由正弦定理如6°。sin(3(T+a)sin(3i).

V3cosa

BC=BDcosa=

sin(a+30)

在RtABCZ)中,

Vasina

CD=BDsina=

sin(30。+a)

3sinacosa

Ss十。。=2：i：帶曹)2-3.12出.

sin26z+cosa+smacosa

此時(shí)442

6tana_6<6_V3

M+Lana3tana+熹+2道一2乒工+2后2*4

tanaM也

當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)等號(hào)成立，故△88面積的最大值為2.

21.已知二次函數(shù)/(")=公2+日+0(%bc為實(shí)數(shù))

⑴若/(x)<°的解集為([,2),求不等式ci+bx+avO的解集；

a+c

(2)若對(duì)任意xeR,%>0時(shí)，/(x)NO恒成立，求b的最小值；

(3)若對(duì)任意xeR,2x+24/(x)42x2-2x+4恒成立，求帥的最大值.

(2)1

2

⑶萬

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系即可求解.

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得">0力>0,從-4*40,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.

(3)取》=1得。+6+。=4,根據(jù)判別式小于0可得c="+2,進(jìn)而可得％力的關(guān)系，

根據(jù)基本不等式即可求解

【詳解】(1)依題意知，“>°，且方程爾+bx+c=0的兩根為1,2

上=33=2

由根與系數(shù)間的關(guān)系得a，則b=-3a,c=2a.

故不等式。*+6x+a=2a2-3OX+Q=a(2x2-3x+1)=42X-1)(工-1)<0

1cx<1x\^<x<\

解得：2,即原不等式的解集為

(2)因?yàn)?ER力>°時(shí)，小)？°恒成立，

2

故得〃>0,6>0/2_4℃q0,4ac>b1gpc>0,

〃+c、2\[ac、h]

------2--------2——1

所以b-b-b(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立)

(3)令工=1,則4<4+b+cK4,所以a+b+c=4.

對(duì)任意xeR，2x+2W#+6x+c,恒成立，

所以"2+(6-2)x+c-220恒成立.

所以a>0且△=0-2)2-4“c-2)=(a+c-2)2-4a(c-2)=(a-c+2)24O

所以c=a+2,此時(shí)2a+6=2,

,1。,^\(2a+b^1

ab=-x2ab<—\--------=—1-5

因此2212J2,a=-,b=1c——

當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)2,(或

ab=42.2Q)=2a(l-a)=-2(a--'-Lia

U22)