2018年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值（講）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE專題3。2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值

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【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1．［教材改編］函數(shù)f(x）＝ex－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是______________．【解析】f′（x)＝ex－2,令f′（x）>0，解得x>ln2，則函數(shù)f(x）＝ex－2x的單調(diào)遞增區(qū)間為（ln2，＋∞)．2．［教材改編］函數(shù)f（x)＝x3－12x的極小值是________，極大值是________．【解析】由題意得f′（x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.當(dāng)x∈（－∞，－2）時(shí)，f′(x）〉0，3．［教材改編］一條長(zhǎng)為2a的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積之和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)分別是________，________．【解析】設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)分別為x，2a－x.則兩個(gè)正方形的面積之和為S＝eq\f（x2,16)＋eq\f（（2a－x）2,16）＝eq\f(x2，8)－eq\f（ax,4)＋eq\f(a2,4），則S′（x）＝eq\f（x，4)－eq\f（a，4)，令S′（x)＝0得x＝a.當(dāng)x<a時(shí)，S′(x)〈0;當(dāng)x>a時(shí)，S′(x）>0。所以S在x＝a處取得極小值也是最小值，所以兩段鐵絲的長(zhǎng)都是a。題組二常錯(cuò)題4．函數(shù)y＝eq\f(1，2）x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為______________．【解析】y＝eq\f（1，2）x2－lnx，y′＝x－eq\f（1,x)＝eq\f（x2－1,x）＝eq\f（（x－1)(x＋1），x）(x〉0）．令y′＜0，得0<x＜1，∴單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1）．5．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是____________．【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn),則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0時(shí)，－ex〈－1,∴a＝－ex<－1.6．已知f（x）＝xex，g（x）＝－(x＋1）2＋a,若?x1，x2∈R，使f(x2)≤g(x1)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．題組三?？碱}7．若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(2，＋∞）上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________________________________________________________________________．【解析】f′（x）＝k－eq\f(1,x），由已知得f′（x)≥0在(2，＋∞）上恒成立,故k≥eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，x）））eq\s\do7(max).因?yàn)閤〉2，所以0〈eq\f（1,x）<eq\f(1,2），故k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，＋∞））。8．函數(shù)f（x)＝x－lnx在(2，＋∞)上的單調(diào)性是__________________．【解析】f′(x）＝1－eq\f（1,x)＝eq\f(x－1，x），令f′(x)〉0，得x>1,所以函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，所以函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)．【知識(shí)清單】考點(diǎn)1運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性在(a，b）內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f（x）,f′（x）在（a，b）任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′（x）≥0?f（x）在（a，b)上為增函數(shù)．f′（x）≤0?f(x）在(a，b）上為減函數(shù)．考點(diǎn)2運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．考點(diǎn)3運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（1）在閉區(qū)間[a,b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2）若函數(shù)f（x）在［a，b］上單調(diào)遞增，則f(a）為函數(shù)的最小值,f(b）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f（x）在［a,b］上單調(diào)遞減，則f（a)為函數(shù)的最大值，f（b）為函數(shù)的最小值．【考點(diǎn)深度剖析】【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性【1—1】已知函數(shù)f（x）＝eq\f（lnx＋k，ex）(k為常數(shù)，e＝2。71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x）在點(diǎn)(1，f(1)）處的切線與x軸平行．(1)求k的值;（2)求f（x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1）k＝1.（2)單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（1,＋∞）．x∈（1，＋∞)時(shí)，f′(x）<0.因此f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為（1,＋∞)．【1—2】已知f(x)＝x3－ax在［1，＋∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是__________。【答案】3【思想方法】求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法(1)確定函數(shù)f(x）的定義域；（2）求f′(x），令f′（x)＝0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根；(3)把函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)（即f（x）的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定f′（x）在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f′（x）的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性．【溫馨提醒】在函數(shù)f（x)的定義域內(nèi)研究函數(shù)單調(diào)性．考點(diǎn)2運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值已知函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f（a,ex）（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f（1)）處的切線平行于x軸，求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的極值．【答案】(1）a＝e.（2)當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x)無極值；當(dāng)a〉0時(shí)，f(x）在x＝lna處取得極小值lna，無極大值．【解析】(1）由f（x）＝x－1＋eq\f(a，ex），得f′（x）＝1－eq\f（a,ex）。又曲線y＝f（x)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸,得f′（1）＝0，即1－eq\f（a,e）＝0，解得a＝e.（2)f′(x）＝1－eq\f(a,ex)，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）〉0，f（x）為（－∞，＋∞）上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值．②當(dāng)a〉0時(shí),令f′（x)＝0，得ex＝a，即x＝lna。x∈（－∞，lna),f′（x)〈0;x∈（lna，＋∞）,f′（x）〉0，所以f（x）在（－∞，lna）上單調(diào)遞減，在(lna,＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝lna處取得極小值，且極小值為f(lna)＝lna，無極大值．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a〉0時(shí)，f(x）在x＝lna處取得極小值lna,無極大值．【2-2】已知函數(shù)f（x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則f（2）＝__________.【答案】18【思想方法】求函數(shù)極值的步驟:（1)確定函數(shù)的定義域;(2)求方程f′（x)＝0的根；（3）用方程f′(x）＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間,并形成表格；（4)由f′（x)＝0根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷f′(x)在這個(gè)根處取極值的情況．【溫馨提醒】判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值．考點(diǎn)3運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)＝(x－k）ex。(1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2）求f(x)在區(qū)間［0,1]上的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，k－1）；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1,＋∞）．(2）(1－k)e?！窘馕觥?1)f′（x）＝(x－k＋1）ex。令f′（x)＝0，得x＝k－1。f(x）與f′（x）的情況如下：x（－∞，k－1）k－1（k－1,＋∞）f′(x）－0＋f(x)－ek－1所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是（k－1，＋∞)．（2)當(dāng)k－1≤0,即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x）在[0,1］上單調(diào)遞增,所以f（x)在區(qū)間［0，1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0〈k－1<1,即1〈k<2時(shí)，由（1）知f（x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在（k－1，1]上單調(diào)遞增，所以f（x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f（k－1)＝－ek－1;當(dāng)k－1≥1時(shí),即k≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在［0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）在區(qū)間［0，1］上的最小值為f(1)＝(1－k）e。設(shè)函數(shù)f(x）＝lnx－ax，g（x）＝ex－ax，其中a為實(shí)數(shù)．若f（x）在(1，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù),且g(x）在(1，＋∞）上有最小值，求a的取值范圍．【答案】（e,＋∞)．【思想方法】求函數(shù)f（x）在［a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在（a,b）內(nèi)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f（a),f(b）；(3）將函數(shù)f（x）的各極值與f（a),f（b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．【溫馨提醒】極值是函數(shù)局部性質(zhì),最值是函數(shù)整體性質(zhì)【易錯(cuò)試題常警惕】1、已知函數(shù)