2022北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三考前熱身數(shù)學(xué)（教師版）

18/182022北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三考前熱身數(shù)學(xué)第一部分一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則A. B. C. D.2.已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）A. B.1 C. D.33.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（）A.3 B. C.-3 D.4.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最大值n等于（）A.4 B.5 C.6 D.75.已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則p的值為A. B.1 C.2 D.46.設(shè)，，則（）A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8.已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.9.已知圓C：x2+y2+2x-4y+1=0，若在圓C中存在弦AB，滿足AB=2，且AB的中點(diǎn)M在直線2x+y+k=0上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.[-2，2] B.[-5，5] C.(-，) D.[-，]10.對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意，與中至少有一個(gè)不小于M，則記作，那么下列命題正確的是（）A.若，則數(shù)列各項(xiàng)均大于或等于MB.若，，則C.若，則D若，則第二部分二、填空題（共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)將答案寫在答題紙的相應(yīng)位置）11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.12.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的一個(gè)取值為_________．13.已知雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，兩條漸近線與以A為圓心1為半徑的圓都相切，則該雙曲線的漸近線方程是______，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．14.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，若成等比數(shù)列，則_______.15.在人工智能領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)比較熱門的話題．由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展而來的深度學(xué)習(xí)正在飛速改變著我們身邊的世界．從AlphaGo到自動(dòng)駕駛汽車，這些大家耳熟能詳?shù)睦樱际且陨窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)作為其理論基礎(chǔ)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，有一類很重要的函數(shù)稱為激活函數(shù)，Sigmoid函數(shù)即是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最有名的激活函數(shù)之一，其解析式為：．下列關(guān)于Sigmoid函數(shù)的表述正確的是：______．①Sigmoid函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；②Sigmoid函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為；③對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，方程有且只有一個(gè)解；④Sigmoid函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足：．三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.在中，.（1）求B；（2）若，___________.求a.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充上面問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分17.中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，預(yù)計(jì)2020年北斗全球系統(tǒng)建設(shè)將全面完成.如圖是在室外開放的環(huán)境下，北斗二代和北斗三代定位模塊，分別定位的50個(gè)點(diǎn)位的橫、縱坐標(biāo)誤差的值，其中“”表示北斗二代定位模塊的誤差的值，“+”表示北斗三代定位模塊的誤差的值.（單位：米）（Ⅰ）從北斗二代定位的50個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)抽取一個(gè)，求此點(diǎn)橫坐標(biāo)誤差的值大于10米的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)選出兩個(gè)，記X為其中縱坐標(biāo)誤差的值小于的點(diǎn)位的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）試比較北斗二代和北斗三代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差的大小.（結(jié)論不要求證明）18.如圖，在三棱錐中，平面ABQ，，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：；（2）求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．19.設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時(shí)，.20.已知橢圓過點(diǎn)，設(shè)它左?右焦點(diǎn)分別為?，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交橢圓于?(異于點(diǎn))兩點(diǎn)，試判斷的大小是否為定值，并說明理由.21.對(duì)于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由，得：，，故，故選B.2.已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（）A. B.1 C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.3.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（）A.3 B. C.-3 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量減求得，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，向量相等即可得出．【詳解】解：根據(jù)向量的減法得,，且，因此，則故選：D．4.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最大值n等于（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中等式求解出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而求解出數(shù)列的前項(xiàng)和，最后根據(jù)的表達(dá)式求解出結(jié)果【詳解】設(shè)公差為則，因此，所以當(dāng)時(shí)，取最大值故選：B5.已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則p的值為A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【詳解】拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-，因?yàn)閽佄锞€y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與圓（x-3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故選C．6.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們可以判斷出a，b，c與0，1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到答案．【詳解】，，即，且，即，，即，故.故選：C7.設(shè)函數(shù)，，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)；反之函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分必要條件.考點(diǎn)：1.充分必要條件的判斷；2.函數(shù)的奇偶性.8.已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長(zhǎng)與高，再計(jì)算圓錐的體積．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．9.已知圓C：x2+y2+2x-4y+1=0，若在圓C中存在弦AB，滿足AB=2，且AB的中點(diǎn)M在直線2x+y+k=0上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.[-2，2] B.[-5，5] C.(-，) D.[-，]【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)M的軌跡，再利用點(diǎn)M的軌跡與直線2x+y+k=0有公共點(diǎn)即可列式計(jì)算作答.【詳解】圓C：x2+y2+2x-4y+1=0的圓心，半徑，因M為線段AB的中點(diǎn)，則，此時(shí)，，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓，而點(diǎn)M在直線2x+y+k=0上，因此，直線2x+y+k=0與點(diǎn)M的軌跡有公共點(diǎn)，從而得，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：D10.對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意，與中至少有一個(gè)不小于M，則記作，那么下列命題正確的是（）A.若，則數(shù)列各項(xiàng)均大于或等于MB.若，，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】通過數(shù)列為1，2，1，2，1，2…，當(dāng)時(shí)，判斷A；當(dāng)時(shí)，判斷C；當(dāng)數(shù)列為1，2，1，2，1，2…，為2，1，2，1，2…，時(shí)，判斷B；直接根據(jù)定義可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A：在數(shù)列1，2，1，2，1，2…中，，數(shù)列各項(xiàng)均大于或等于不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：數(shù)列為1，2，1，2，1，2…，為2，1，2，1，2…，，而各項(xiàng)均為3，則不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在數(shù)列1，2，1，2，1，2…中，，此時(shí)不正確，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則中，與中至少有一個(gè)不小于，故正確，故選：D．第二部分二、填空題（共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)將答案寫在答題紙的相應(yīng)位置）11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】60【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，找到常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，易知故答案為：60.12.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的一個(gè)取值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平移后的可得函數(shù)，根據(jù)題意可得可得，取一值即可得解.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得,所以，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：13.已知雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，兩條漸近線與以A為圓心1為半徑的圓都相切，則該雙曲線的漸近線方程是______，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】①.②.【解析】【分析】先判斷雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，即可求出，再設(shè)出雙曲線的方程，即可寫出雙曲線漸近線的方程，最后由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出的值即可.【詳解】有雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)為，可知焦點(diǎn)在軸上，則，故雙曲線可設(shè)為，則漸近線，又，解得，所以漸近線則雙曲線的方程為.故答案為：;.14.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，若成等比數(shù)列，則_______.【答案】【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖像，列方程求出零點(diǎn)，進(jìn)而可得的值.【詳解】令，得則函數(shù)的零點(diǎn)即為的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，如圖：由圖可知，解得故答案為：.15.在人工智能領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)比較熱門的話題．由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展而來的深度學(xué)習(xí)正在飛速改變著我們身邊的世界．從AlphaGo到自動(dòng)駕駛汽車，這些大家耳熟能詳?shù)睦?，都是以神?jīng)網(wǎng)絡(luò)作為其理論基礎(chǔ)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，有一類很重要的函數(shù)稱為激活函數(shù)，Sigmoid函數(shù)即是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最有名的激活函數(shù)之一，其解析式為：．下列關(guān)于Sigmoid函數(shù)的表述正確的是：______．①Sigmoid函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；②Sigmoid函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為；③對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，方程有且只有一個(gè)解；④Sigmoid函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足：．【答案】①②④【解析】【分析】由的單調(diào)性可得的單調(diào)性可判斷①；利用，可判斷②；由的單調(diào)性可判斷③；求出和可判斷④.【詳解】因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故①正確；因?yàn)?，所以Sigmoid函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為，故②正確；因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，，僅當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)解，故③錯(cuò)誤；，，所以，故④正確．故答案為：①②④.三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.在中，.（1）求B；（2）若，___________.求a.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題目條件，由正弦定理得，化簡(jiǎn)即可求出.（2）若選①，由余弦定理得：，即可解得a的值.若選②，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求得的值，由正弦定理即可解得a的值.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以，即，即，即，又，所?【小問2詳解】若選①，則在中，由余弦定理得：，可得：，解得：，或（舍），可得.若選②，，則，由正弦定理：，可得：，解得：.17.中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，預(yù)計(jì)2020年北斗全球系統(tǒng)建設(shè)將全面完成.如圖是在室外開放的環(huán)境下，北斗二代和北斗三代定位模塊，分別定位的50個(gè)點(diǎn)位的橫、縱坐標(biāo)誤差的值，其中“”表示北斗二代定位模塊的誤差的值，“+”表示北斗三代定位模塊的誤差的值.（單位：米）（Ⅰ）從北斗二代定位的50個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)抽取一個(gè)，求此點(diǎn)橫坐標(biāo)誤差的值大于10米的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)位中隨機(jī)選出兩個(gè)，記X為其中縱坐標(biāo)誤差的值小于的點(diǎn)位的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）試比較北斗二代和北斗三代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列見解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差大于北斗三代.【解析】【分析】（Ⅰ）通過圖象觀察，在北斗二代定位的50個(gè)點(diǎn)中，橫坐標(biāo)誤差的絕對(duì)值大于10米有3個(gè)點(diǎn)，由古典概率的計(jì)算公式可得所求值；（Ⅱ）通過圖象可得，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)位中縱坐標(biāo)誤差值小于的有兩個(gè)點(diǎn)：C，D，則X的所有可能取值為0，1，2，分別求得它們的概率，作出分布列，計(jì)算期望即可；（Ⅲ）通過觀察它們的極差，即可判斷它們的方差的大小．【詳解】（Ⅰ）由圖可得，在北斗二代定位的50個(gè)點(diǎn)中，橫坐標(biāo)誤差的絕對(duì)值大于10米有3個(gè)點(diǎn)，所以從中隨機(jī)選出一點(diǎn)，此點(diǎn)橫坐標(biāo)誤差的絕對(duì)值大于10米的概率為；（Ⅱ）由圖可得，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)位中縱坐標(biāo)誤差值小于的有兩個(gè)點(diǎn)：C，D，所以X的所有可能取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為所以X的期望為；（Ⅲ）北斗二代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差大于北斗三代.【點(diǎn)睛】本題考查古典概率的求法，以及隨機(jī)變量的分布列和期望的求法，方差的大小的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.18.如圖，在三棱錐中，平面ABQ，，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：；（2）求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由中位線定理得EFDC，然后由線面平行判定定理和性質(zhì)定理得出線線平行，從而證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用空間向量法求二面角的余弦值．（3）根據(jù)向量法求點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．又因?yàn)镋F平面PCD，DC?平面PCD，所以EF平面PCD．又因?yàn)镋F?平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，所以EFGH，又因?yàn)镋FAB，所以ABGH.【小問2詳解】因?yàn)?，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直．以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，則，所以，.設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則可取設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，由，，得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，所以平面PAB與平面PCD所成角的余弦值為．小問3詳解】由點(diǎn)到平面距離公式可得，即點(diǎn)A到平面PCD的距離為.19.設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時(shí)，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析【解析】【分析】(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，故，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，，故恒成立，故單調(diào)遞減.，故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.20.已知橢圓過點(diǎn)，設(shè)它的左?右焦點(diǎn)分別為?，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交橢圓于?(異于點(diǎn))兩點(diǎn)，試判斷的大小是否為定值，并說明理由.【答案】（1）橢圓的方程為，離心率；（2）是定值，理由見解析.【解析】【分析】（1）依題意列之間關(guān)系，解方程即得結(jié)果；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程得?兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，解得，所以橢圓的