電磁場與電磁波第一章矢量分析

電磁場與電磁波第一章矢量分析1第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2

常用正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場的梯度1.4矢量場的通量與散度1.5矢量場的環(huán)流和旋度1.6

無旋場與無散場1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理2第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

3第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日矢量用坐標(biāo)分量表示zxy4第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律5第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角6第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則7第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積8第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日證明：9第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日證明：10第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。1.2

三種常用的正交坐標(biāo)系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。11第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日1、直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx12第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量13第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日3、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量14第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f15第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.3標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：16第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日標(biāo)量場的等值面

標(biāo)量場的等值線(面)等值面:

標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。17第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.方向?qū)?shù)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減??；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——的方向余弦。證明

式中：

18第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日證明：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，19第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日例題

例求數(shù)量場在點(diǎn)M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為

而20第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為

在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)

21第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日梯度的表達(dá)式：圓柱面坐標(biāo)系

球面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系

3、標(biāo)量場的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向22第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）23第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；(2)求該函數(shù)沿單位矢量el=

excos60＋eycos45

＋ezcos60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為24第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為25第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。26第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日例題：證明證明：27第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日28第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.4矢量場的通量與散度

1、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場的方向。矢量線oM

29第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日2、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大?。恳胪康母拍?。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對(duì)閉合曲面的通量是：面積元矢量30第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義31第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日3、矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。32第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：33第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則34第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為35第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日例題：已知求矢量在R≠0處的散度解：根據(jù)散度的計(jì)算公式36第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日4、散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。證明37第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日證明：

對(duì)于閉合面S包圍的有限大體積V，可將其按圖方式進(jìn)行分割（dV1、dV2、dV3……），計(jì)算每個(gè)體積元的小閉合面Si（i＝1，2……）上穿出的通量，然后疊加。38第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.5矢量場的環(huán)流和旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。39第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念矢量場對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即40第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量場在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度41第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式42第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日于是

同理可得故得概念：矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度43第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系44第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零45第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日3、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即證明46第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日證明：將曲面S劃分成許多小面元，如圖。對(duì)每一個(gè)小面元沿包圍它的閉合路徑取F的環(huán)流，路徑方向與C一致，并將這些積分相加。對(duì)每一個(gè)小回路，有47第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日例題：已知求矢量在R≠0處的旋度。解：根據(jù)旋度的計(jì)算公式48第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日4、散度和旋度的區(qū)別

49第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日1、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。1.6無旋場與無散場50第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日2、矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場證明51第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日52第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個(gè)矢量場的旋度例如，恒定磁場證明53第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日54第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分55第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1、拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系56第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：證明57第五十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日58第五十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場

及，若在區(qū)