2022-2023學(xué)年江蘇揚(yáng)州市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國古典樂器一般按“八音”分類．這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法，最先見于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器．現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A． B． C． D．3．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，點(diǎn)在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．4．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則5．已知雙曲線：（，）的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．36．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則()A．3 B．5 C． D．7．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．8．拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，使得是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．9．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．11．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．12．已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦，若，，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金．若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．14．如果拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6，那么______.15．展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為______.16．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，且，則公比的值為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，其中．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．18．（12分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為m元（），運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、、的表達(dá)式；（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.19．（12分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.20．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點(diǎn)，平面，，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．（1）若，（?。┣笞C：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由．21．（12分）設(shè)數(shù)列，的各項(xiàng)都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對任意，都有，，，（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知中，，，是上一點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).2、B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據(jù)，求得②，由①②可得的最大值，檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件．【詳解】解：函數(shù)，，為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調(diào)，，②．由①②可得的最大值為1．當(dāng)時(shí)，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點(diǎn)，同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．3、A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.4、D【解析】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.5、A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．6、C【解析】

先由已知，求出，進(jìn)一步可得，再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，求得對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．11、B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計(jì)算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．12、A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20.2【解析】

分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.14、【解析】

先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，列出，直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意得，解得.∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

變換得到，展開式的通項(xiàng)為，計(jì)算得到答案.【詳解】，的展開式的通項(xiàng)為：.含項(xiàng)的系數(shù)為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】

將已知由前n項(xiàng)和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；（2）先求導(dǎo)，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則令，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調(diào)遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點(diǎn)睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題.18、（1），，.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最?。划?dāng)時(shí)，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最??；當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】

（1）將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省，當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.20、（1）（?。┳C明見解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點(diǎn)，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導(dǎo)出，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（2）設(shè)，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（?。┳C明：連接交于點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以因?yàn)椤嗡运倪呅螢槠叫兴倪呅危杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因?yàn)?，，所以以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則，，，所以，，，平面的法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設(shè)