人教版高中數(shù)學(xué)必修四教材用書三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用word版含答案2

10/1009/10/1．6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用[導(dǎo)入新知]1．三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)值，進而使實際問題得到解決．步驟可記為：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值→解決實際問題．這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)解析式．2．三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題．[化解疑難]三角函數(shù)模型應(yīng)用流程(1)審題：確定選用什么樣的函數(shù)模型解題．(2)建模：根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立三角函數(shù)模型．(3)解模：運用三角函數(shù)的相關(guān)公式進行化簡．(4)還原：解模后還要根據(jù)實際問題的背景，進行檢驗，并作答．函數(shù)解析式與圖象對應(yīng)問題[例1]函數(shù)y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致圖象是()[答案]C[類題通法]解決函數(shù)圖象與解析式對應(yīng)問題的策略(1)解決此類問題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質(zhì)來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、圖象的對稱性、單調(diào)性、值域，此外零點也可以作為判斷的依據(jù)．(2)利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ.其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特殊點求得；φ由點在圖象上求得，確定φ時，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.[活學(xué)活用]函數(shù)f(x)＝cosx·|tanx|在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上的大致圖象為()答案：C三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用[例2]單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)作出函數(shù)的圖象．(2)當(dāng)單擺開始擺動(t＝0)時，離開平衡位置的距離是多少？(3)當(dāng)單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？(4)單擺來回擺動一次需多長時間？[解](1)利用“五點法”可作出其圖象．(2)因為當(dāng)t＝0時，s＝6sineq\f(π,6)＝3，所以此時離開平衡位置3cm.(3)離開平衡位置6cm.(4)因為T＝eq\f(2π,2π)＝1，所以單擺來回擺動一次所需的時間為1s.[類題通法]三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其中對彈簧振子和單擺的運動等有關(guān)問題考查最多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法．[活學(xué)活用]交流電的電壓E(單位：V)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))來表示，求：(1)開始時電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間．答案：(1)110eq\r(3)V(2)0.02s(3)電壓的最大值為220eq\r(3)V；t＝eq\f(1,300)s三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用[例3]心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：(1)求函數(shù)p(t)的周期；(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖；(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)．[解](1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝eq\f(2π,|ω|)，可得T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為eq\f(1,80)min.(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f＝eq\f(1,T)＝80(次)．(3)列表：t0eq\f(1,320)eq\f(1,160)eq\f(3,320)eq\f(1,80)p(t)11514011590115描點、連線并向左右擴展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示：(4)由圖可知此人的收縮壓為140mmHg，舒張壓為90mmHg.[類題通法]解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟[活學(xué)活用]如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動一圈需要12分，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？答案：(1)y＝40.5－40coseq\f(π,6)t(t≥0)(2)20分eq\a\vs4\al(,,3.由實際數(shù)據(jù)擬合函數(shù))[典例](12分)已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：時)的函數(shù)，記作：y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動．[解題流程][規(guī)范解答](1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).(2分)由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.(3分)又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，(4分)∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅為eq\f(1,2).(5分)∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.(6分)(2)由題意知，當(dāng)y>1時才對沖浪者開放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，∴coseq\f(π,6)t>0，(7分)∴2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3.(9分)∵0≤t≤24，∴令k分別為0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，(11分)∴在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間有6個小時可供沖浪者進行活動，即上午9：00至下午15：00.(12分)[名師批注]相鄰兩個最大值或相鄰兩個最小值之間為一個周期．要求A，b應(yīng)建立關(guān)于A，b的方程組，本題可通過圖象過點(0,1.5)和(3,1.0)建立關(guān)于A，b的方程組求解．由浪高大于1米建立關(guān)于t的不等式是解決此題的關(guān)鍵.此處易忽視t的取值范圍而導(dǎo)致解題失誤.,應(yīng)根據(jù)實際確定k的取值，此處易忽視k∈N導(dǎo)致錯誤，也常漏解k的取值情況而造成解題錯誤.[活學(xué)活用]某港口的水深y(單位：m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t03691215182124y10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出曲線，如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看作函數(shù)y＝Asinωt＋b的圖象．(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)解析式．(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5m時是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m，那么該船何時能進入港口？在港口能待多久？答案：(1)y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)(2)在凌晨1點進港，5點出港或在13點進港，17點出港；停留4小時[隨堂即時演練]1．將單擺的擺球拉至平衡位置左側(cè)無初速度釋放，并同時開始計時，取平衡位置為坐標(biāo)原點，且向右為正，則下列振動圖象中正確的是()答案：D2．如圖所示為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是()A．該質(zhì)點的振動周期為0.7sB．該質(zhì)點的振幅為－5cmC．該質(zhì)點在0.1s和0.5s時的振動速度最大D．該質(zhì)點在0.3s和0.7s時的加速度為零答案：D3．某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為10cm，秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn)．記鐘面上數(shù)字12處為B點，當(dāng)時間t＝0時，點A與鐘面上點B重合，將A，B兩點的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d＝________，其中t∈[0,60]．答案：20sineq\f(πt,60)4.如圖，電流強度I(單位：安)隨時間t(單位：秒)變化的函數(shù)I＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,6)))(A>0，ω≠0)的圖象，則當(dāng)t＝eq\f(1,50)秒時，電流強度是________安．答案：55．已知某地一天從4點到16點的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求該地區(qū)這一段時間內(nèi)的最大溫差；(2)若有一種細菌在15℃到25℃之間可以生存，那么在這段時間內(nèi)，該細菌能生存多長時間？答案：(1)20℃(2)eq\f(8,3)h[課時達標(biāo)檢測]一、選擇題1．(陜西高考)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()A．5 B．6C．8 D．10答案：C2.如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么單擺來回擺動一次所需的時間為()A．2πs B．πsC．0.5πs D．1s答案：D3．如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系y＝Asin(A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5答案：A4．動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12s旋轉(zhuǎn)一周．已知時間t＝0時，點A的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則當(dāng)0≤t≤12時，動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：s)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]答案：D5.如圖，設(shè)點A是單位圓上的一定點，動點P從點A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，點P所旋轉(zhuǎn)過的Aeq\x\to(P)的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()答案：C二、填空題6．直線y＝a與曲線y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在(0,2π)內(nèi)有兩個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))7．一根長acm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時，離開平衡位置的位移s(cm)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,a))t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)，則小球擺動的周期為________s.答案：eq\f(2π·\r(a),\r(g))8．據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件的出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的模型波動(x為月份)，已知3月份達到最高價9千元，9月份價格最低為5千元．根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為________．答案：f(x)＝2sineq\f(π,6)x＋7三、解答題9．如圖所示，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2eq\r(3))；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P兩點間的距離．解：依題意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，即T＝12.又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x，x∈[0,4]．∴當(dāng)x＝4時，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3.∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(?8－4?2＋?0－3?2)＝eq\r(42＋32)＝5(km)．即M，P兩點間的距離為5km.10．在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時間相距12h，低潮時水的深度為8.4m，高潮時為16m，一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時，水的深度d(m)與時間t(h)近似滿足關(guān)系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若從10月10日0：00開始計算時間，選用一個三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系．(2)10月10日17：00該港口水深約為多少？(精確到0.1m)(3)10月10日這一天該港口共有多長時間水深低于10.3m?解：(1)依題意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，