2020-2021學(xué)年河南省新鄉(xiāng)名校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

新鄉(xiāng)名校2020—2021學(xué)年下期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)（理）試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．4．黨的十九大報告中指出：從2020年到2035年，在全面建成小康社會的基礎(chǔ)上，再奮斗15年，基本實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化若到2035年底我國人口數(shù)量增長至億，由2013年到2019年（依次對應(yīng)的年份代號為到）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得國內(nèi)生產(chǎn)總值（）（單位：萬億元）關(guān)于年份代號的回歸方程為，且2020年到2035年關(guān)于也滿足此回歸方程，則由該回歸方程預(yù)測我國在2035年底人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬元）約為（）A． B． C． D．5．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用．北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗．一名天文愛好者從七顆星中隨機選兩顆進行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，則使不等式成立的實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知，，，若，則向量，夾角的正切值為（）A． B． C． D．8．已知某個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)加入和兩個新數(shù)據(jù)，此時個數(shù)據(jù)的方差為（）A． B． C． D．9．設(shè)，，，隨機變量的分布列是若，，則（）A．， B．， C．， D．，10．已知某物種經(jīng)過年后的種群數(shù)量近似滿足岡珀茨模型：，當(dāng)時，的值表示2021年年初的種群數(shù)量若年后，該物種的種群數(shù)量不超過2021年初種群數(shù)量的，則的最小值為（參考值：）A． B． C． D．1l．已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點．若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若二項式的展開式中第項與第項的系數(shù)相同，則其常數(shù)項是______．14．南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大的成就在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列前項和為，若數(shù)列滿足，則______．15．中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為，，且兩曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形．若橢圓與雙曲線的離心率分別為，，且，，則______．16．如圖，正四棱錐的每個頂點都在球的球面上，側(cè)面是等邊三角形．若半球的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，則半球的體積與球的體積的比值為______．三、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）17．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，．①求的值；②求的面積．18．中國探月工程自2004年立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)未來”的目標(biāo)，創(chuàng)造了許多項中國首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了解某中學(xué)高三學(xué)生對此新聞事件的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，調(diào)查樣本中有40名女生．如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖（陰影區(qū)域表示關(guān)注“嫦娥五號”的部分）．關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計附：，其中．（1）完成上面的列聯(lián)表，試問是否有的把握認為“對‘嫦娥五號’關(guān)注程度與性別有關(guān)”；（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學(xué)高三的女生中隨機抽取人，記被抽取的名女生中對“嫦娥五號”新聞關(guān)注的人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．如圖，在三棱柱中，是上一點，是的中點，且平面．（1）證明：；（2）若平面，平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值．20．已知是拋物線：的準(zhǔn)線上的任意一點，過點作的兩條切線，，其中，為切點．（1）證明：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；（2）若直線交橢圓：于，兩點，求的最小值．21．已知函數(shù)（，）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，求證：．【選考題】請考生在第22、23兩題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點，點，求的值．23．【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)（，）（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若函數(shù)的最大值為，求的最小值．新鄉(xiāng)名校2020—2021學(xué)年下期期未聯(lián)考高二數(shù)學(xué)（理）參考答案一、選擇題題號123456789101112答案1．【解析】因為，所以，所以，由于，，所以．故選：．2．【解析】因為，所以．故選：．3．【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由，，可得解得，所以，故．故選：．4．【解析】到2035年底對應(yīng)的年份代號為，由回歸方程得，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約為（萬億元），又，所以到2035年底我國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值約為方元．故選：．5．【解析】因為玉衡和天權(quán)都沒有被選中的概率為，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為．故選：．6．【解析】函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并由解析式可知函數(shù)是增函數(shù)，原不等式可化為，∴，解得，∴的取值范圍是．故選：．7．【解析】由題意知：，又，∴，可得，由，又，∴，則向量，夾角的正切值為．故選：．8．【解析】設(shè)原數(shù)據(jù)為、、、、、，則，，加入和兩個新數(shù)據(jù)后，所得個數(shù)據(jù)的半均數(shù)為，所得個數(shù)據(jù)的方差為．故選：．9．【解析】由分布列可知：，，，即．聯(lián)這方程組：，解得：．故選：．10．【解析】因為當(dāng)時，的值表示2021年年初的種群數(shù)量，所以有，即2021年年初的種群數(shù)量為，當(dāng)年后，該物種的種群數(shù)量不超過2021年初種群數(shù)量的，所以有，即，所以，則，所以，即，得，所以的最小值為．選：．11．【解析】設(shè)點、，則，兩式作差得：，整理可得．設(shè)線段的中點為，即，另一方面，，所以，，所以，，解得，故橢圓的方程為．故選：．12．【解析】由題意知方程，即在區(qū)間上有且僅有一個解．令，則在上有且僅有一個零點，，當(dāng)時，，所以，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，所以結(jié)合考點有在性定理可得解得，即的取值范圍是．故選：．二、填空題13．14．15．16．13．【解析】由已知條件可得，所以，，二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中的常數(shù)項為．故答案為：．14．【解析】因為每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，且第一行數(shù)字和為，第二行數(shù)字和為，第三行數(shù)字和為，所以該等比數(shù)列首項為，公比，所以，所以，所以．故答案為：．15．【解析】設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（，，，，），焦距為，由于是以為底邊的等腰三角形，且，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，，，即，，故，兩邊同除以，可得，又，可得．故答案為：．16．【解析】設(shè)球、球的半徑分別為，，，連接，，如圖，因為四棱錐的每個頂點都在球的球面上，側(cè)面是等邊三角形，在中，，，所以，所以，因為半球的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，所以，解得，則半球的體積與球的體積的比為．故答案為．三、解答題17．【解析】（1）由得，由余弦定理知，．又，所以．（2）①由正弦定理，有，又，所以，所以，所以．②由，即，解得（舍去負根），所以．18．【解析】（1）列聯(lián)表如下：關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計，所以有的把握認為“對‘嫦娥五號’關(guān)注程度與性別有關(guān)”．（2）因為隨機選一個高三的女生，對此事關(guān)注的概率為，由題意知，所以隨機變量的分布列為：故．19．【解析】（1）證明：連接，，因為四邊形是半行四邊形，所以，，三點共線，且是中點．因為平面平面，且平面，平面，所以，所以是中點，即．（2）因為平面，所以，．因為平面平面，所以是二面角的平面角，因為面面，所以，所以，，兩兩垂直，以坐標(biāo)點，以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，，所以．設(shè)，則，,則，，，，，，，所以，，．．設(shè)平面的法向量為，則，即取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．20．【解析】（1）由題意，設(shè)，，，由，得，所以切線的程為：，又，所以的方程可化為：，同理，切線的方程為：．因為直線、直線都過點，把的坐標(biāo)代入兩方程，得和．故點，都在直線：上，而直線過定點，所以直線過定點．（2）設(shè)直線的方程為（總在），，，由方程組消去可得：，因為，所以，，所以，由方程組消去可得：，因為，所以，，所以，所以．所以的最小值為．21，【解析】（1）因為，所以，當(dāng)時，對任意的成立；當(dāng)時，令，得；令，得．綜上，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時，方程，即為．由題意得，兩式相減得：，即，故，所以，所以，令，則，設(shè)，則，因為，所以的，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，即．22．【解析】（1）由曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)