高一數(shù)學(xué)奇偶性與單調(diào)性

奇偶性與單調(diào)性(一)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象?難點磁場(★★★★)設(shè)a>0,f(x)=—二是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0,+)ae上是增函數(shù).?案例探究1［例1］已知函數(shù)f(x)在(—1,1)上有定義，f(-)=—1,當(dāng)且僅當(dāng)0<X<1時f(x)<0,且對任意Xyx、y€(—1,1)都有f(x)+f(y)=f()，試證明：1xy(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(—1,1)上單調(diào)遞減.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理能力★★★★題目知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.?屬技巧與方法：對于⑴，獲得f(0)的值進而取x=—y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定X2X1的1X1X2范圍是焦點.XyxX證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=—X,得f(x)+f(—x)=f(2)=f(0)=0.1xy1x?f(x)=—f(—x)..f(x)為奇函數(shù).⑵先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.X2X1令0<X1<X2<1,則f(X2)—f(X1)=f(X2)—f(—X1)=f(2)1X1X2TO<X1<X2<1,.?.X2—X1>0,1—X1X2>0X2X1F>0,又(X2—X1)—(1—X2X1)=(X2—1)(X1+1)<0.X2—X1<1—X2X1,?0<X2X11X2X1<1,由題意知f(1X2X1X1X2)<0,f(X)為奇函數(shù)且f(0)=0.即f(X2)<f(Xf(X)為奇函數(shù)且f(0)=0.???f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，又.f(x)在(—1,1)上為減函數(shù).［例2］設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2

-2a+i).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)冋2產(chǎn)3a1的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題錯解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法解：設(shè)0<Xi<X2,則—X2<—X1<0f(x)在區(qū)間(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(—X2)<f(—xi),vf(x)為偶函數(shù)，???f(—X2)=f(X2),f(—X1)=f(X1),二f(X2)<f(X1).?f(X)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.TOC\o"1-5"\h\z21272122又2a2a12(a—)2—0,3a22a13(a—)2—0.4833由f(2a2+a+1)<f(3a2—2a+1)得：2a2+a+1>3a2—2a+1.解之，得0<a<3.35又a2—3a+1=(a—-)2—_24?函數(shù)y=(丄)a3a1的單調(diào)減區(qū)間是］—,+8】22323結(jié)合0<a<3，得函數(shù)y=(-)a3a1的單調(diào)遞減區(qū)間為】-,3).22?錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價性若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù)加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.?殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題〔.(★★★★)下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()A.f(X)=(X—1)■-1XB.f(x)=^|xx2)2|2C.f(x)=A.f(X)=(X—1)■-1XB.f(x)=^|xx2)2|2C.f(x)=2X2x(x0)2X2x(x0)1sinxcosxD.f(X)=1cosxsinxA.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于原點對稱1x2.1x2x1X1的圖象(X1B.關(guān)于y軸對稱D.關(guān)于直線x=1對稱二、填空題(^^^^)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是.)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(xi)=f(x2)=0(0<xi<x2),且在］x2,+s)上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是.三、解答題x2(^^^^)已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1).x1(1)證明：函數(shù)f(x)在(一1,+8)上為增函數(shù).⑵用反證法證明方程f(x)=O沒有負(fù)數(shù)根.X3、、，(^^^^^)求證函數(shù)f(x)=22在區(qū)間(1，+8)上是減函數(shù).(x1)?.(★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的疋義域關(guān)于原點對稱且滿足：(i)f(X1—X2)=(f：))；fg)f(Xj(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：f(x)是奇函數(shù).TOC\o"1-5"\h\zf(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.&.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對m、n€R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)—1,且11f(——)=0,當(dāng)x>——時，f(x)>0.22求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗證>0,>0,參考答案參考答案難點磁場11+ae11+aeX.整理，得(a—-)aea(1)解：依題意，對一切x€R,有f(x)=f(—x)，即a11(e—X)=0.因此，有a—=0,即a=1,又a>0,--a=1eaXiX2⑵證法一：設(shè)0vX1<X2,則f(x1)XiX2⑵證法一：設(shè)0vX1<X2,則f(x1)—f(x2)=e1eX2eX1eX2XiX21X2eX1(eX2X11)Mhre1X2Xi由X1>0,x2>0,x2>x1,.'.eX2X11>0,1—eX1X2v0,二f(X1)—f(X2)V0,即f(X1)Vf(X2)???f(x)在(0,+g)上是增函數(shù)證法二：由f(x)=eX+ex,得fz此時f'(x)>0,所以f(x)在:0,殲滅難點訓(xùn)練(x)=eX—ex=eX?+g)上是增函數(shù).(e2X—1).當(dāng)x€(0,+g)時，eX>0,e2X—1>0.、1?解析：f(—x)=2

XX2

X(X0)(x0)(x2x)(x2X)(X0)=—f(x)，故f(x)為奇(X0)函數(shù).答案：C2.解析：f(—x)=—f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(—g，—1］上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，?y=f(|x+1|)在(—g，—1］上遞減.答案：(—g，—1］解析：tf(0)=f(x1)=f(x2)=0,?.f(0)=d=0.f(x)=ax(x—x1)(x—X2)=ax3—a(x1+x2)x2+ax1X2x,?b=—a(x1+x2),又f(x)在］X2,+g)單調(diào)遞增，故a>0.又知0vX1vx,得X1+X2>0,?-b=—a(x1+x2)v0.答案：(—g,0)、5.證明：(1)設(shè)一1vX1vX2v+g，貝VX2—X1>0,aX2X1>1且aX1>0,?-aX2aX1aX1(aX2X11)>0,又X1+1>0,X2+1>03(X2X1)(X11)(X21)TOC\o"1-5"\h\zx22x12(x22)(x13(X2X1)(X11)(X21)x21x11(x11)(x21)于是f(x2)—f(x1)=aX2a"+^^>0X21X11?f(x)在(—1,+g)上為遞增函數(shù)(2)證法一：設(shè)存在xovO(xoz—1)(2)證法一：設(shè)存在xovO(xoz—1)滿足f(xo)=O,則aXo2且由ovaXov1得ov—Xo1Xoxo2Xo2-v—2,aXov1,?f(xo)v—Xo11與f(xo)=o矛盾，若xov—1則些Xo12>0,aXo>0,???f(xo)>O與f(xo)=O矛盾，故方程f(x)=O沒1V1,即—vXov2與xovo矛盾，故f(x)=o沒有負(fù)數(shù)根.12證法二：設(shè)存在Xovo(xoM—1)使f(xo)=o,若—1vXovo,則丸有負(fù)數(shù)根.、16.證明：Txmo,?f(x)=—22(X1)3X122X(X1)4xx(11丄)2、16.證明：Txmo,?f(x)=—22(X1)3X122X(X1)4xx(11丄)2x12)設(shè)1vX1vX2V+8，則1~2X21-2X11,11~2X21~2X10.12X2(12)2X1(1X21~2X1)20.11、2X2(12)X2Xi(11丄)22)X1二f(Xl)>f(X2),故函數(shù)f(x)在(1，+8)上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決)7.證明：(1)不妨令X=X1—X2,則f(—X)=f(X2—X1)=f(X2)f(Xj1f(X1)f(X2)f(Xjf(X2)1f(X2)f(X1)=—f(X1—X2)=—f(x).?f(x)是奇函數(shù).(2)要證f(x+4a)=f(x)，可先計算f(x+a),f(x+2a).■/f(x+a)=f[x—(—a)]=f(a)f(x)1f(a)f(x)f(a)f(x)1

f(a)f(x)f(x)f(x)11J(f(a)1).f(x2a)f[(xa)a]f(xa)f(xa)1f(x)11f(x)1f(x)11f(x)11f(x).?f(x+4a)=f?f(x+4a)=f[(x+2a)+2