例析化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的活用

例析化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的活用【摘要】化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果我們能靈活運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行求解，往往可以避開一些抽象復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，還可以優(yōu)化解題思路，收到事半功倍的效果?！娟P(guān)鍵詞】化歸與轉(zhuǎn)化思想中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)活用【中圖分類號(hào)】G632【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1674-4810（2013）25-0120-04化歸與轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖像、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的思想。等價(jià)轉(zhuǎn)化有一些模式可以遵循，總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單（高維向低維的轉(zhuǎn)化、多元向一元的轉(zhuǎn)化、高次向低次的轉(zhuǎn)化等）、化未知為已知。化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程，是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在歷年的高考中都有體現(xiàn)。下面是筆者嘗試將化歸與轉(zhuǎn)化思想和方法滲透融合在解題教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)方法與內(nèi)容的整合。一一般問(wèn)題與特殊問(wèn)題的化歸特殊問(wèn)題往往比一般問(wèn)題顯得簡(jiǎn)單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問(wèn)題的解決過(guò)程中，常常包含著一般問(wèn)題的解決方法。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題由于其特殊數(shù)量或位置關(guān)系，孤立地考查問(wèn)題本身，造成我們“只見樹木不見森林”，難以解決。因此解題時(shí)，我們常常將一般問(wèn)題與特殊問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。評(píng)注：本題化抽象為具體，設(shè)出等差數(shù)列的通項(xiàng)，再針對(duì)客觀選擇題題型的特點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)選取特殊值，這種解法體現(xiàn)出思維的靈活性和敏捷性。例2：（2012年山東）如圖1所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為線段AA1、B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為。解析：雖然E、F分別為線段AA1、B1C上的任意點(diǎn)，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管三棱錐的“形狀”不定，而其體積應(yīng)為定值，所以可以針對(duì)E、F的某一特定位置進(jìn)行求解，而不失一般性。取E、F分別位于A、C的特殊位評(píng)注：當(dāng)問(wèn)題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，利用一般到特殊的轉(zhuǎn)化就能收到事半功倍的效果。二正向思維與逆向思維的化歸在數(shù)學(xué)解題中，通常的思維方式是從已知到結(jié)論，然而有些數(shù)學(xué)題按照這種思維方式解則比較困難，而且常常運(yùn)算量較大，有時(shí)甚至無(wú)法解決。在這種情況下，要多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反往往可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)單。分析：對(duì)于一些含否定性的詞語(yǔ)（如不可能，不是）的結(jié)論，往往從正面突破難度大，此時(shí)不妨從反面入手，利用反證法進(jìn)行推理論證就可化難為易。A，若C為線段AB的中點(diǎn)，則λ=，不符合，同理可知選項(xiàng)B不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，若點(diǎn)C、D同時(shí)在線與已知矛盾；故選D。點(diǎn)評(píng)：本題直接入手有“山重水復(fù)”的困惑，用反向思維求解將獲得“柳暗花明”的喜悅。三命題與等價(jià)命題的化歸由命題A（或問(wèn)題A）可推出命題B（或問(wèn)題B），反之，命題B（或問(wèn)題B）亦可推出命題A（或問(wèn)題A）。即A與B互為充要條件時(shí)，稱為A與B等價(jià)。利用這種等價(jià)性將原命題（或原問(wèn)題）轉(zhuǎn)化成易于處理的新命題（或新問(wèn)題）的方法可以把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。評(píng)注：（1）命題“﹁p是﹁q的必要不充分條件”等價(jià)于“p是q的充分不必要條件”，一步步轉(zhuǎn)化為集合A與集合B的關(guān)系，從而確定出關(guān)于m的不等式組，使問(wèn)題得到解決。（2）通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，化生為熟，將兩圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心距關(guān)系，然后化歸為點(diǎn)到直線的距離，最終求出最值，從而降低了解題難度。四數(shù)形結(jié)合的化歸數(shù)學(xué)家拉格朗日說(shuō)：“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶，它們就相互吸取新鮮活力，就以快速的步伐走向完善?！睌?shù)形結(jié)合思想，就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查的思想。其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易、化抽象為直觀。即根據(jù)解決問(wèn)題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究，或把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研究。1.代數(shù)問(wèn)題幾何化——以形助數(shù)以形助數(shù)就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律來(lái)研究解決問(wèn)題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)借助幾何圖形直觀審題，還可以避免一些復(fù)雜的數(shù)字討論?！耙孕沃鷶?shù)”中的“形”，或有形或無(wú)形。若有形，則可為圖表與模型；若無(wú)形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形助數(shù)”的途徑有三種：（1）運(yùn)用圖形；（2）構(gòu)造圖形；（3）借助于代數(shù)式的幾何意義。評(píng)注：（1）本題將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，直觀且容易獲得結(jié)果。（2）本題中參數(shù)比較多，如果采用代數(shù)法很難求解。如果利用的幾何意義，視為直線的斜率，就可以利用線性規(guī)劃知識(shí)求解，這就將一個(gè)看似非常復(fù)雜的問(wèn)題化為一個(gè)簡(jiǎn)單的直觀問(wèn)題，就輕而易舉地解決了。2.幾何問(wèn)題代數(shù)化——以數(shù)輔形以數(shù)輔形就是根據(jù)幾何圖形的特征，建立直角坐標(biāo)系（或空間直角坐標(biāo)系），構(gòu)造出與之相應(yīng)的代數(shù)方程或函數(shù)解析式，并利用代數(shù)方程的運(yùn)算來(lái)求解幾何問(wèn)題，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。以數(shù)輔形中的“數(shù)”一般是坐標(biāo)的運(yùn)算，因此以數(shù)輔形的途徑大體有三種：（1）函數(shù)；（2）向量法；（3）解析幾何。五函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化在解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常利用三者的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。若將變量間的等量關(guān)系看成函數(shù)關(guān)系，則可以將等量關(guān)系式轉(zhuǎn)化成函數(shù)，這時(shí)活用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（值域、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情形等）就可解決問(wèn)題；若將等量關(guān)系式看成關(guān)于某個(gè)未知量的方程，則利用解方程或考慮根的情形可求得變量；若可將變量間的不等量關(guān)系式看成關(guān)于某個(gè)未知量的不等式，則解這個(gè)不等式可求得這個(gè)變量的取值范圍。評(píng)注：本題將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值。在多個(gè)字母變量的問(wèn)題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化。或含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題。六動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化解析：如圖6所示，設(shè)正n棱錐為S-A1A2A3…An，由于n多變，所以底面正n邊形、側(cè)面出現(xiàn)不確定狀態(tài)，這樣導(dǎo)致直接分析求解將很困難，甚至是“到而不達(dá)”，若另辟蹊徑，采用動(dòng)靜結(jié)合法，則解法將會(huì)簡(jiǎn)捷、易行，其計(jì)算量得到極大的簡(jiǎn)化。本例題中底面正n邊形固定，而棱錐的高不定，故可將頂點(diǎn)S看作是運(yùn)動(dòng)變化的，設(shè)相鄰兩側(cè)面所成的二面角的平面角為∠A2HAn。當(dāng)點(diǎn)S向下運(yùn)動(dòng)無(wú)限趨近底面正n邊形的中心極限位置時(shí)，∠A2HAn趨于平角π；當(dāng)點(diǎn)S向上運(yùn)動(dòng)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，側(cè)棱將無(wú)限趨于與底面垂直，即正n棱錐趨近于正n棱柱，此時(shí)∠A2HAn無(wú)限趨于底面正n邊形的內(nèi)角評(píng)注：“化靜為動(dòng)，以動(dòng)制靜”，利用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，著眼于問(wèn)題的極限狀態(tài)，摒棄了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使所研究的問(wèn)題更加直觀、明朗。因此，根據(jù)問(wèn)題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，而靈活利用動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化思想就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑。七有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化從有限到無(wú)限、從近似到精確、從量變到質(zhì)變，應(yīng)用極限思想解決某些問(wèn)題，可以避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，優(yōu)化解題過(guò)程。尤其是在選擇題中，有一些任意選取或變化的元素，我們對(duì)這些元素的變化趨勢(shì)進(jìn)行研究，分析它們的極限情況或極端位置，并進(jìn)行估算，往往會(huì)收到準(zhǔn)確、迅速的效果。點(diǎn)評(píng)：用極限法是解選擇題的一種有效方法。它根據(jù)題干及選項(xiàng)的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案。在高考中，對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，總是結(jié)合對(duì)演繹證明、運(yùn)算推理、模式構(gòu)建等理性思維能力的考查