正弦級數(shù)與余弦

復習:三角級數(shù)稱為三角級數(shù).的函數(shù)項級數(shù)形如其中都是常數(shù)，稱為系數(shù)．稱為正弦級數(shù)；稱為余弦級數(shù)．特別三角級數(shù)三角級數(shù)三角函數(shù)系是正交的:周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)已知函數(shù)f(x)以2為周期且存在傅立葉級數(shù):定理2

(狄利克雷收斂定理)設

f(x)以2為周期并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點

x

為連續(xù)點§12.2正弦級數(shù)與余弦級數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),會有什么情況發(fā)生呢?事實上，若f(x)是奇函數(shù),設其傅里葉級數(shù)為其中由奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)可知同理可得f(x)是奇函數(shù)時的結論.正弦級數(shù)定理.即余弦級數(shù)即對于周期為2的奇函數(shù)f(x),則其傅里葉級數(shù)為對于周期為2的偶函數(shù)f(x),則其傅里葉級數(shù)為例1.

將以2π為周期的函數(shù),在一個周期內(nèi)函數(shù)表示為解:

f(x)是偶函數(shù)，則展成傅里葉級數(shù)利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.由f(0)=0得說明:設于是在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)

f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)

f(x)在[0,]上展成例2.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,再求余弦級數(shù).將則有作偶周期延拓,12.3一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(t)變量代換將F(t)作傅氏展開

f(x)的傅氏展開式設周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在“幾乎處處”的意義下)其中定理.該級數(shù)在連續(xù)點x

處收斂于f(x)，在間斷點x

處收斂于例1.設是周期為４的函數(shù)，且在[-2,2)上為（常數(shù)）．求該函數(shù)的傅立葉級數(shù).這里解：于是當由收斂定理可知，在間斷點的傅里葉級數(shù)收斂于x2-2-446kO12.4傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式:12.4非周期函數(shù)的傅里葉變換:傅立葉變換內(nèi)容小結1.周期為2的奇函數(shù)f(x),可展開為正項級數(shù)2.周期為2的偶函數(shù)f(x),可展開為余弦級數(shù)3.定義在[0,]上的函數(shù)可展成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)（奇延拓、偶延拓）作業(yè)

P2272例.

設的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x