2023年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解

２023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試題解析一、選擇題:18小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目規(guī)定的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示,則曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()(A)(B)(Ｃ）(Ｄ)【答案】(C)【解析】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于０，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào).因此，由的圖形可得,曲線存在兩個(gè)拐點(diǎn).故選(C).(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解,則(）(A）(B)(C)(D)【答案】(Ａ)【分析】此題考察二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題——已知解來擬定微分方程的系數(shù),此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程,然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來求解,也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知,、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2，1為特性方程的根，從而，,從而原方程變?yōu)?再將特解代入得.故選（A)（３)若級(jí)數(shù)條件收斂，則與依次為冪級(jí)數(shù)的()(A）收斂點(diǎn),收斂點(diǎn)(Ｂ）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)（C)發(fā)散點(diǎn),收斂點(diǎn)（D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】(B)【分析】此題考察冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì).【解析】由于條件收斂,即為冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn),所以的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為．而冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間,故的收斂區(qū)間還是．因而與依次為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)．故選(B).(4)設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域,函數(shù)在上連續(xù)，則(）（Ａ)（B)(C)(Ｄ）【答案】(B）【分析】此題考察將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累次積分【解析】先畫出D的圖形，所以，故選（Ｂ）(５)設(shè)矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充足必要條件為()(A)(B)(C）(D）【答案】(D)【解析】，由，故或,同時(shí)或.故選（Ｄ)(6）設(shè)二次型在正交變換為下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中,若,則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為()(A)(B)(C)(D)【答案】（Ａ)【解析】由,故．且.由已知可得:故有所以.選(Ａ)(7)若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則()(A）（B)(C)(D)【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性質(zhì),我們有且，從而，選(Ｃ)．(８)設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且,則（)(Ａ)(B)(C）(D)【答案】(D)【解析】，選(Ｄ）.二、填空題：914小題,每小題4分，共２4分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上．(9)【答案】【分析】此題考察型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法則,也可以用等價(jià)無窮小替換.【解析】方法一:方法二:(10)【答案】【分析】此題考察定積分的計(jì)算,需要用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡(jiǎn).【解析】(１1)若函數(shù)由方程擬定,則【答案】【分析】此題考察隱函數(shù)求導(dǎo).【解析】令，則又當(dāng)時(shí),即.所以,因而(12)設(shè)是由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面平面所圍成的空間區(qū)域,則【答案】【分析】此題考察三重積分的計(jì)算，可直接計(jì)算，也可以運(yùn)用輪換對(duì)稱性化簡(jiǎn)后再計(jì)算.【解析】由輪換對(duì)稱性，得,其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以(13)階行列式【答案】【解析】按第一行展開得(１4)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則【答案】【解析】由題設(shè)知,,并且互相獨(dú)立，從而.三、解答題:1５~23小題,共94分．請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié).(15)（本題滿分１０分)設(shè)函數(shù)，,若與在是等價(jià)無窮小,求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：由于分子的極限為0,則，分子的極限為0,，(16)（本題滿分１0分)設(shè)函數(shù)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零,若對(duì)任意的，由線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且,求的表達(dá)式.【答案】.【解析】設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為：令，得到,故由題意,，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程,即，可分離變量得到通解為：，已知，得到,因此;即．(1７)(本題滿分１0分）已知函數(shù)，曲線C:,求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).【答案】3【解析】由于沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大,且最大值為梯度的模．,故，模為，此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問題.為了計(jì)算簡(jiǎn)樸,可以轉(zhuǎn)化為對(duì)在約束條件下的最大值.構(gòu)造函數(shù):，得到．所以最大值為.(18)（本題滿分10分)(I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義證明(II)設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，,寫出的求導(dǎo)公式.【解析】（I）（II)由題意得(19)(本題滿分10分)已知曲線L的方程為起點(diǎn)為,終點(diǎn)為,計(jì)算曲線積分．【答案】【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程,(2０）(本題滿1１分）

設(shè)向量組內(nèi)的一個(gè)基，,,．（I）證明向量組為的一個(gè)基;（II）當(dāng)k為什么值時(shí),存在非０向量在基與基下的坐標(biāo)相同,并求所有的．【答案】【解析】(I)證明:故為的一個(gè)基．（IＩ)由題意知,即即即,得ｋ＝0（21)(本題滿分11分)設(shè)矩陣相似于矩陣.求的值;（II)求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣..【解析】(I)(ＩI)的特性值時(shí)的基礎(chǔ)解系為時(shí)的基礎(chǔ)解系為Ａ的特性值令,(２2)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對(duì)進(jìn)行獨(dú)立反復(fù)的觀測(cè)，直到2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)的停止．記為觀測(cè)次數(shù)．(Ｉ)求的概率分布；(II)求【解析】(I）記為觀測(cè)值大于3的概率,則，從而，為的概率分布;（ＩI)法一:分解法:將隨機(jī)變量分解成兩個(gè)過程,其中表達(dá)從到次實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值大于初次發(fā)生，表達(dá)從次到第實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值大于初次發(fā)生．則，（注:Ge表達(dá)幾何分布)所以.法二:直接計(jì)算記,則，，,所以，從而.（23）(本題滿分1１分)設(shè)總體X的概率密度為:其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本.(I)求的