灰色模型講義

灰色模型講義第一頁，共八十七頁，2022年，8月28日一、灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生與應用

1982年我國學者鄧聚龍先生創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，目前許多國家及國際組織的知名學者從事灰色系統(tǒng)的理論和應用研究工作?；疑到y(tǒng)理論應用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、能源、交通、地質、石油、氣象、水利等眾多領域，成功地解決了大量的實際問題。第一章：灰色系統(tǒng)的概念與基本原理第二頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、灰色系統(tǒng)與幾種不確定問題方法的比較。

模糊數(shù)學著重研究“認知不確定”問題，其研究對象具有“內涵明確，外延不明確”的特點。主要憑借經(jīng)驗，借助于隸屬函數(shù)進行處理。

概率統(tǒng)計研究的是“隨機不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結果之“隨機不確定”現(xiàn)象中每一種結果發(fā)生的可能性的大小，其出發(fā)點是，大樣本，且對象服從某種典型分布?；疑到y(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”第三頁，共八十七頁，2022年，8月28日的“小樣本，貧信息”不確定性系統(tǒng)，它通過對已知“部分”信息的生成去開發(fā)了解、認識現(xiàn)實世界。著重研究“外延明確，內涵不明確”的對象。項目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學研究對象貧信息不確定隨機不確定認知不確定基礎集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側重內涵內涵外延目標現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計規(guī)律認知表達特色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗第四頁，共八十七頁，2022年，8月28日2050年中國人口控制在15億到16億之間第五頁，共八十七頁，2022年，8月28日樹高在20米至30米第六頁，共八十七頁，2022年，8月28日第七頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三章序列算子與灰色序列生成?灰色系統(tǒng)理論是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的,這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑,稱之為灰色序列生成?一切灰色序列都可以通過某種生成弱化其隨機性,顯現(xiàn)規(guī)律性.?算子

是處理數(shù)據(jù)的一種方法。

第八頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義3.1.3（序列算子的定義）設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過算子D的作用后所得序列記為稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進行多次，相應的若皆為序列算子，則稱為二階算子，為三階算子，為二階算子作用序列，為三階算子作用序列。3.1序列算子第九頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義3.2.5設序列若則稱為緊鄰均值生成數(shù)，由緊鄰均值生成數(shù)構成的序列稱為緊鄰均值生成序列。在GM建模，常用緊鄰信息的均值生成，它是以原始序列為基礎構造新序列的方法。注意：設為n元序列，Z為X的緊鄰均值生成序列，則Z為元序列：無法由X生成z(1).3.2均值生成第十頁，共八十七頁，2022年，8月28日3.5累加生成算子和累減生成算子定義3.5.1設為原始序列D為序列算子，其中則稱D為的一次累加生成算子，記為1-AGO（AccumulatingGenerationOperator),稱r階算子為的r次累加生成算子，記為r-AGO,習慣上，我們記第十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日其中定義3.5.2設為原始序列，D為序列算子，其中，則稱D為的一次累減生成算子，r階算子稱為的r次累減生成算子。定理3.5.1累減算子是累加算子的逆算子。第十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日第十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日一般的抽象系統(tǒng)都包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢。我們希望從眾多的因素中判斷出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。這些屬于系統(tǒng)分析的內容，數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析、方差分析、主成分分析等都可以用來進行系統(tǒng)分析。這些方法的不足之處是：1、要求有大量的數(shù)據(jù)。2、要求樣本服從某一種典型概率分布，各因素數(shù)據(jù)與系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)之間呈線性關系且個因素之間彼此無關。3、計算量大，4、可能出現(xiàn)量化結果與定性分析結果不符的情況。第十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日灰色關聯(lián)分析方法的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應序列之間的關聯(lián)度就越大，反之就越小。對一個抽象系統(tǒng)或現(xiàn)象進行分析，首先要選準反映系統(tǒng)行為特征的數(shù)據(jù)序列。我們稱之為找系統(tǒng)行為的映射量，用映射量來間接地表征系統(tǒng)行為。比如：國民平均受教育的年限教育的發(fā)達程度刑事案件的發(fā)案率社會治安面貌和社會秩序第十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日4.1灰色關聯(lián)因素和關聯(lián)算子集定義4.1.1設為系統(tǒng)因素，其在序號k上的觀測數(shù)據(jù)為則稱為因素的行為序列；若k為時間序號，為因素在k時刻的觀測數(shù)據(jù)，則稱為因素的行為時間序列；若k為指標序號，為因素關于第k個指標的觀測數(shù)據(jù)，則稱為因素的行為指標序列。若k為觀測對象序號，為因素關于第k個對象的觀測數(shù)據(jù)，則稱為因素的行為橫向序列第十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日無論是時間序列數(shù)據(jù)、指標序列數(shù)據(jù)還是橫向序列數(shù)據(jù)，都可以用來做關聯(lián)分析。定義4.1.2設為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為初值化算子，為原像，為在初值化算子下的像，簡稱初值像。第十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.1.4設為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為均值化算子，為在均值化算子下的像，簡稱均值像。

第十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.1.4設為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為區(qū)間化算子，為區(qū)間值像。命題4.1.1初值化算子、均值化算子和區(qū)間值化算子皆可以使系統(tǒng)行為序列無量綱化，且在數(shù)量上規(guī)一。一般地，不宜混合、重疊使用。第十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.1.5設為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為逆化算子，為在逆化算子下的像，簡稱逆化像。第二十頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.1.6設為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為倒數(shù)化算子，為倒數(shù)化像。命題4.1.3若系統(tǒng)因素與系統(tǒng)主行為呈負相關關系，則的逆化算子作用像和倒數(shù)化作用像與具有正相關關系。第二十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日4.3灰色關聯(lián)公理與灰色關聯(lián)度命題4.3.1設系統(tǒng)特征行為序列為增長序列，為相關因素行為序列，則有1、當為增長序列時，與為正相關關系；2、當為衰減序列時，與為負相關關系。由于負相關序列可以通過4.1節(jié)中定義的逆化算子或倒數(shù)化算子作用轉化為正相關序列，所以我們主要研究非負的相關關系。第二十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.3.3設為系統(tǒng)特征序列，且為相關因素序列，第二十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日給定實數(shù)，若實數(shù)滿足1、規(guī)范性2、整體性對于有3、偶對稱性=第二十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日4、接近性越小，越大。則稱為對的灰色關聯(lián)度，以上4條稱為灰色關聯(lián)四公理。表明系統(tǒng)中的任何兩個行為序列都不可能時嚴格無關聯(lián)的。整體性則體現(xiàn)了環(huán)境對灰色關聯(lián)比較的影響，環(huán)境不同，灰色關聯(lián)度亦隨之變化。偶對對稱性表明，當灰色關聯(lián)因子集中只有兩個序列時，兩兩比較滿足對稱性。接近性是對關聯(lián)度量化的約束。第二十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理4.3.2設系統(tǒng)行為序列對于令第二十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日則稱滿足灰色關聯(lián)四公理，其中為分辨系數(shù)。灰色關聯(lián)度的計算步驟：1、求各序列的初值像（或均值像），令2、求差序列，記3、求兩極最大差與最小差，記第二十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日4、求關聯(lián)系數(shù)5、計算關聯(lián)度第二十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日應用研究☆一級男子百米運動員身體素質與運動成績的灰色關聯(lián)度分析選擇100米作為研究項目,依據(jù)灰色關聯(lián)度分析原理,揭示一級水平男子百米運動員的各項身體素質、各類型素質與運動成績之間的關聯(lián)度;針對訓練實踐中對身體素質認識上的模糊,提出相應的訓練策略,旨在對提高運動成績有所裨益。相關因素：行進間30米，230米，460米，5150米，立定跳遠，立定三級跳，二級蛙跳，后拋鉛球，仰臥起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立體前屈，折回跑，象限跳，側跨步。第二十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日應用研究☆我國鐵路貨物運輸發(fā)展的灰色關聯(lián)分析本文用灰色關聯(lián)分析方法對1989～2002年我國鐵路運輸貨運量的發(fā)展進行系統(tǒng)分析,探討影響我國鐵路運輸貨運量發(fā)展的主要因素以及各因素相對于鐵路運輸貨運量發(fā)展的關聯(lián)程度,以便為有關部門的決策者提供數(shù)據(jù)資料.影響我國鐵路運輸貨運量發(fā)展的主要因素有:GDP、人口數(shù)量、居民消費水平、固定資產(chǎn)總投資及國家財政總收入等.把鐵路運輸貨運量作為母序列X0,其影響因素作為子序列第三十頁，共八十七頁，2022年，8月28日4.4廣義灰色關聯(lián)度一、絕對灰色關聯(lián)度命題4.4.1設行為序列記折線為令第三十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.4.1設行為序列為序列算子，且其中則稱D為始點零化算子，為的始點零化像，記為命題4.4.2設行為序列的始點零化像分別為第三十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日令則1、若恒在上方，2、若恒在下方，3、若與相交，符號不定。定義4.4.2稱序列各個觀測數(shù)據(jù)間時距之和為的長度。注意：長度相等的兩個序列中的觀測數(shù)據(jù)數(shù)量不一定相等。第三十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.4.3設序列與的長度相等，則稱為與的灰色絕對關聯(lián)度?；疑^對關聯(lián)度滿足灰色關聯(lián)公理中的規(guī)范性、偶對對稱性與接近性，但不滿足整體性。引理4.4.2設序列與的長度相同，且皆為1-時距，而分別為和的始點零化像，則第三十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理4.4.3設序列和的長度相同，當他們時距不同或至少有一個為非等時距序列時，若通過均值生成填補相應空穴使之化成時距相等的等時距序列，則此時灰色絕對關聯(lián)度不變。第三十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理4.4.4灰色絕對關聯(lián)度具有下列性質：1、2、只與和的幾何形狀有關，而與其空間相對位置無關。3、任何兩個序列都不是絕對無關的，即恒不為0。4、與幾何上的相似程度越大，越大。5、與的長度變化，亦變。6、當或的任一個觀測數(shù)據(jù)變化，將隨之變化。7、8、第三十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日應用研究☆登陸地域選擇登陸作戰(zhàn)中登陸地域的選擇是決定能否“登得上”的主要因素之一。登陸地域選擇的好壞直接影響到登陸成敗、戰(zhàn)場兵力與武器損耗的多少,以及作戰(zhàn)價值的大小等等。因此,必須在認真分析海岸區(qū)域的地理條件和敵海岸兵力分布情況的基礎上,科學地選擇登陸地域。用灰色關聯(lián)理論的方法來分析登陸地域選擇問題,主要是提出一種新的用以解決登陸地域選擇的問題的解法,即灰色關聯(lián)理論的方法。第三十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、灰色相對關聯(lián)度定義4.4.5設序列長度相同，且初值不等于0，分別為的初值像，則稱的灰色絕對關聯(lián)度為與的灰色相對關聯(lián)度。記為灰色相對關聯(lián)度是序列與相對于初始點的變化速率的聯(lián)系的數(shù)量表征。與的變化速率越接近，越大，反之越小。命題4.4.4設為長度相同且初值不等于0的序列，若，其中c>0為常數(shù)，則。第三十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日應用研究☆海洋產(chǎn)業(yè)與海洋主要產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值關聯(lián)度分析，確定主導產(chǎn)業(yè)Ｘ0為海洋主要產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值;Ｘ1為海洋水產(chǎn)業(yè);Ｘ2為海洋油氣業(yè);Ｘ3為海濱砂礦業(yè);Ｘ4為海洋鹽業(yè);Ｘ5為沿海造船業(yè);Ｘ6為海洋交通運輸業(yè);Ｘ7為沿海海外旅游業(yè)。第三十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日三、灰色綜合關聯(lián)度定義4.4.6設序列的長度相同，且初值不等于0，與分別為與的灰色絕對關聯(lián)度和灰色相對關聯(lián)度，則稱為與的灰色綜合關聯(lián)度。它既體現(xiàn)了折線的相似程度，又反映了相對與始點的變化速率全面反映了序列之間聯(lián)系，一般取=0.5。第四十頁，共八十七頁，2022年，8月28日☆灰色聚類決策在上市公司投資中的應用灰色聚類分析是利用灰色系統(tǒng)中的決策理論,將不同的決策對象,根據(jù)評判指標,按照一定的評判目標進行聚類分析,從而對對象優(yōu)劣進行排序,為投資者提供決策的參考依據(jù)。文章介紹了灰類聚類決策模型的原理,并在此基礎上詳細闡述了其在上市公司投資中的應用。第四十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日4.7優(yōu)勢分析定義4.7.1設為系統(tǒng)特征行為數(shù)據(jù)序列，為相關因素序列，且與長度相同為與的灰色關聯(lián)度，則稱為灰色關聯(lián)矩陣。第四十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日灰色關聯(lián)矩陣中第行的元素是系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列與相關因素序列的灰色關聯(lián)度；第列的元素是系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列與的灰色關聯(lián)度。類似的我們可以定義灰色絕對關聯(lián)矩陣、灰色相對關聯(lián)矩陣以及灰色綜合關聯(lián)矩陣。利用灰色關聯(lián)矩陣可以對系統(tǒng)特征或相關因素做優(yōu)勢分析。第四十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.7.2設為系統(tǒng)特征行為序列，為相關因素行為序列，為其灰色關聯(lián)矩陣，若存在滿足則稱系統(tǒng)特征優(yōu)于，記為若恒有則稱為最優(yōu)特征第四十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.7.3設為系統(tǒng)特征行為序列，為相關因素行為序列，且為其灰色關聯(lián)矩陣，若存在滿足則稱系統(tǒng)特征優(yōu)于，記為若恒有則稱為最優(yōu)因素。第四十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義4.7.4設為灰色關聯(lián)矩陣，若1、存在，滿足則稱系統(tǒng)特征準優(yōu)于系統(tǒng)特征記為第四十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日2、存在，滿足則稱因素準優(yōu)于記為第四十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日☆導彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的灰色評估依據(jù)導彈武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術技術指標要求,建立了導彈武器系統(tǒng)的指標體系;運用灰色系統(tǒng)的原理和方法結合層次分析法對該系統(tǒng)的能力進行評價,評價采取定量分析為主,與定性分析相結合。實例證明,灰色評估與層次分析法相結合能有效降低人為因素的影響,評價結果具有客觀性,一定程度上能給決策者提供可靠的依據(jù)第四十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日

第四十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日

灰色聚類是根據(jù)灰色關聯(lián)矩陣或灰數(shù)的白化權函數(shù)將一些觀測指標或觀測對象聚集成若干個可以定義類別的方法。按聚類對象劃分，可以分為灰色關聯(lián)聚類和灰色白化權函數(shù)聚類?；疑P聯(lián)聚類主要用于同類因素的歸并，以使復雜系統(tǒng)簡化。由此，我們可以檢查許多因素中是否有若干個因素關系十分密切，使我們既能夠用這些因素的綜合平均指標或其中的某一個因素來代表這幾個因素，又可以使信息不受到嚴重損失?；疑谆瘷嗪瘮?shù)聚類主要用于檢查觀測對象是否屬于事先設定的不同類別，以區(qū)別對待。第五十頁，共八十七頁，2022年，8月28日

5.1灰色關聯(lián)聚類設有個觀測對象，每個觀測對象個特征數(shù)據(jù)，得到序列如下對所有的計算出與的絕對關聯(lián)度得上三角矩陣第五十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日

其中定義5.1.1上述矩陣A稱為特征變量關聯(lián)矩陣.取定臨界值一般要求當時則視與為同類特征.定義5.1.2特征變量在臨界值下的分類稱為特征變量的灰色關聯(lián)聚類.可以根據(jù)實際問題的需要確定,越接近于1,分類越細;越小,分類越粗.

第五十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日南京航空航天大學經(jīng)濟管理學院精品課程建設組第八章灰色系統(tǒng)建模第五十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日8.1GM(1,1)模型定義8.1.1稱為灰色微分型方程.定義8.1.2若灰色微分型方程滿足下列條件:信息濃度無限大序列具有灰微分內涵背景值到灰導數(shù)成分具有平射關系則稱此灰色微分型方程為灰色微分方程.命題8.1.1方程為灰色微分方程,其中第五十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義8.1.3稱為GM(1,1)模型.符號GM(1,1)的含義如下:GM(1,1)↑↑↑↑GreyModel1階方程1個變量第五十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.1.1設X(0)為非負序列:其中x(0)(k)>=0,k=1,2,…,n;X(1)為X(0)的1-AGO序列:其中;Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列:其中;k=2,3,…,n若為參數(shù)列,且則灰色微分方程的最小二乘估計參數(shù)列滿足第五十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義8.1.4設X(0)為非負序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列,Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列,,則稱為灰色微分方程的白化方程,也叫影子方程.第五十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.1.2設B,Y,如定理8.1.1所述,則白化方程的解也稱時間響應函數(shù)為GM(1,1)灰色微分方程的時間響應序列為取x(1)(0)=x(0)(1),則還原值第五十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義8.1.5稱GM(1,1)模型中的參數(shù)-a為發(fā)展系數(shù),b為灰色作用量.-a反映了及的發(fā)展態(tài)勢.一般情況下,系統(tǒng)作用量應是外生的或前定的,而GM(1,1)是單序列建模,只用到系統(tǒng)的行為序列(或稱輸出序列,背景值),而無外作用序列(或稱輸入序列,驅動量).GM(1,1)中的灰色作用量是從背景值挖掘出來的數(shù)據(jù),它反映數(shù)據(jù)變化的關系,其確切內涵是灰的.灰色作用量是內涵外延化的具體體現(xiàn),它的存在,是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模(黑箱建模)的分水嶺,也是區(qū)分灰色系統(tǒng)觀點與灰箱觀點的重要標志.第五十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.1.3GM(1,1)模型可以轉化為其中第六十頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.1.4設,,且為GM(1,1)模型時間響應序列,其中則第六十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日8.2GM(1,1)模型群定義8.2.1設序列將x(0)(n)取為時間軸的原點,則稱t<n為過去,t=n為現(xiàn)在,t>n為未來.定義8.2.2設序列為其GM(1,1)時間響應式的累減還原值,則當t<=n時,稱為模型模擬值;當t>n時,稱為模型預測值.建模的主要目的是預測,為提高預測精度,首先要保證有充分高的模擬精度,尤其是t=n時的模擬精度.因此建模數(shù)據(jù)一般應取為包括x(0)(n)在內的一個等時距序列.第六十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義8.2.3設原始數(shù)據(jù)序列用建立的GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù)GM(1,1)用建立的GM(1,1)模型稱為部分數(shù)據(jù)GM(1,1)設x(0)(n+1)為最新信息,將x(0)(n+1)置入X(0),稱用建立的模型為新信息GM(1,1)4置入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1).第六十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日8.3GM(1,1)模型的適用范圍模型具有多種不同的形式,主要有:第六十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日第六十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日命題8.3.1當時,GM(1,1)模型無意義.命題8.3.2當GM(1,1)發(fā)展系數(shù)|a|>=2時,GM(1,1)模型無意義.通過分析,可得下述結論:(1)當-a<=0.3時,GM(1,1)可用于中長期預測(2)當0.3<-a<=0.5時,GM(1,1)可用于短期預測,中長期預測慎用(3)當0.5<-a<=0.8時,GM(1,1)作短期預測應十分謹慎(4)當0.8<-a<=1時,應采用殘差修正GM(1,1)(5)當-a>1時,不宜采用GM(1,1)第六十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日8.4GM(2,1)和Verhulst模型GM(1,1)適用于具有較強指數(shù)規(guī)律的序列,只能描述單調的變化過程.對于非單調的擺動發(fā)展序列或有飽和的S形序列,可以考慮建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型.第六十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日一、GM(2,1)模型定義8.4.1設原始序列其1-AGO序列X(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分別為和其中X(1)的緊鄰均值生成序列為則稱為GM(2,1)灰色微分方程.第六十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義8.4.2稱為GM(2,1)灰色微分方程的白化方程.定理8.4.1設如定義8.4.1所述,且則GM(2,1)參數(shù)列的最小二乘估計為第六十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.4.2關于GM(2,1)白化方程的解有以下結論:若是的特解,是對應齊次方程的通解,則是GM(2,1)白化方程的通解.齊次方程的通解有以下三種情況:當特征方程有兩個不相等實根時,當特征方程有重根時,當特征方程有一對共軛復根時第七十頁，共八十七頁，2022年，8月28日白化方程的特解有以下三種情況:當零不是特征方程的根時,當零是特征方程的單根時,當零是特征方程的重根時,第七十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、DGM模型定義8.4.3設原始序列為1-AGO序列為1-IAGO序列為則稱為DGM(2,1)灰色微分方程.定義8.4.4稱為DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程.第七十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.4.3若為參數(shù)列,而如定義8.4.3所述則灰色微分方程的最小二乘估計參數(shù)滿足第七十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.4.4設X(0)為非負序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列,B,Y,如定理8.4.3所述,則白化方程的時間響應函數(shù)為灰色微分方程的時間響應序列為還原值為第七十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日三、Verhulst模型定義8.4.5設X(0)為原始數(shù)據(jù)序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列,Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列,則稱為GM(1,1)冪模型.定義8.4.6稱為GM(1,1)冪模型的白化方程.定理8.4.5GM(1,1)冪模型之白化方程的解為第七十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.4.6設如定義8.4.5所述則GM(1,1)冪模型參數(shù)列的最小二乘估計為第七十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日定義8.4.7當a=2時,稱為灰色Verhulst模型.定義8.4.8稱為灰色Verhulst模型的白化過程..第七十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日定理8.4.7Verhulst白化方程的解為灰色Verhulst模型的時間響應式為第七十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程,即S形過程,常用于人口預測,生物生長,繁殖預測和產(chǎn)品經(jīng)濟壽命預測等.由Verhulst方程的解可以看出,當t→∞時,若a>0,則x(1)(t)→0;若a<0,則x(1)(t)→a/b,即有充分大t的,對任意的k>t,x(1)(k+1)與x(1)(k)充分接近,此時x(0)(k)≈0,系統(tǒng)趨于死亡.第七十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日基于串聯(lián)灰色神經(jīng)網(wǎng)絡的電力負荷預測方法為了提高電力負荷預測的精度,分析現(xiàn)有人工神經(jīng)網(wǎng)絡和灰色預測方法各自的優(yōu)缺點,將二者相結合提出了一種串聯(lián)灰色神經(jīng)