高考沖刺-導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算2

PAGE導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算【考綱要求】1.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2.掌握常函數(shù)y=C，冪函數(shù)y=xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，指數(shù)函數(shù)y=ex，y=ax，對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx，y=logax的導(dǎo)數(shù)公式；3.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；并能解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。4.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算初等函數(shù)的求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算初等函數(shù)的求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念：1．導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì)函數(shù)，在點(diǎn)處給自變量x以增量，函數(shù)y相應(yīng)有增量。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時(shí)也稱在點(diǎn)處可導(dǎo)。即：（或）要點(diǎn)詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；②導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。2．導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。要點(diǎn)詮釋：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3．導(dǎo)數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)及其附近一點(diǎn)Q(x0+△x,y0+△y)，經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)Q(x0+△x,y0+△y)沿曲線無限接近于點(diǎn)P(x0，y0)，即△x→0時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。若切線的傾斜角為，則當(dāng)△x→0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率。要點(diǎn)詮釋：①若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。②，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。(3)曲線的切線方程如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為：?？键c(diǎn)二：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），考點(diǎn)三：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）考點(diǎn)四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則或即復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)詮釋：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)?！镜湫屠}】類型一：導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用例1、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)?！窘馕觥俊摺唷唷Ｅe一反三：【變式】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。【答案】（1），（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，∴所求切線的斜率為?！嗨笄芯€方程為，整理得5x+16y+8=0。例2、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.【解析】設(shè).由f(1)=3，故切點(diǎn)為（1，3），切線方程為y―3=5(x―1)，即y=5x―2.舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算394565典型例題五】【變式】過點(diǎn)，曲線的切線方程為?！敬鸢浮吭O(shè)所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0，y0），則切線斜率為則所求切線方程為，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，代入，或所以切線方程為或類型三：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)例3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4【解析】（1）.（2）.（3）∵，∴.（4）舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）.（2）∴.（3）例4．求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）；（2）y=x2sinx;（３）y=；（４）y=【解析】（1）法一：去掉括號(hào)后求導(dǎo).法二：利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（３）=（4）==舉一反三：【變式1】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）【答案】（1）法一：∴法二：=+（2）∴【變式2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）.【答案】（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題例5．求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1），..（2），∴（3），.∴（4），，∴.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；（2）（3）y=ln（x＋）；（4）【答案】(1)令,,（2）令（3）=＝（4）類型五：曲線的切線方程求解問題【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算394565典型例題三】例6．如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-x+5，則f（3）+f′(3)=.【解析】，【答案】1舉一反三：【變式】（2014碑林區(qū)校級(jí)一模）若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，求實(shí)數(shù)的值.【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則解得：或，則切線的斜率或，若，此時(shí)切線的方程為由，消去，可得，其中，即解得：若，且切線方程為，由，消去可得又由可得解得：故.例7．(2015臨沂一模)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【解析】(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋