《生活中的趣味數(shù)學(xué)》教學(xué)資料

初中數(shù)學(xué)校本課程生活中的趣味數(shù)學(xué)生活中的趣味數(shù)學(xué)（（教學(xué)資料）海寧市南苑中學(xué)毛瑩金海潔目錄第一部分課程說明……………………1一、課程性質(zhì)…………1二、課程理念…………2第二部分課程目標(biāo)……………………4一、課程總體目標(biāo)……………………5二、課程具體目標(biāo)……………………6第三部分課程實(shí)施建議………………8一、學(xué)分與學(xué)時(shí)………………………8二、教學(xué)設(shè)備…………8三、教學(xué)方式…………8第四部分課程內(nèi)容……………………9第一講“巧算24點(diǎn)”………………10第二講斐波那契數(shù)…………………12第三講探索代數(shù)式…………………14第四講認(rèn)識二進(jìn)制…………………16第五講棋盤上的麥粒………………18第六講火車中的相遇和追及………20第七講追及悖論……………………22第八講鐘表中的數(shù)學(xué)………………24第九講握手問題……………………26第十講將軍飲馬……………………28第十一講哥尼斯堡七橋………………30第十二講李白沽酒……………………32第十三講免嫉妒分割…………………34第十四講三張卡片的騙局……………36第十五講環(huán)形跑道……………………38第十六講擺一擺，想一想……………40第十七講新運(yùn)算不“新”……………42第十八講湯咸了嗎？…………………44第十九講十字相乘法…………………46第二十講過橋問題……………………48第五部分課程評價(jià)……………………50一、評價(jià)形式…………50二、評價(jià)內(nèi)容…………50課程內(nèi)容第一講“巧算24點(diǎn)”◆教學(xué)目標(biāo)：1、結(jié)合小學(xué)的四則混合運(yùn)算,訓(xùn)練學(xué)生的心算和口算能力；2、通過合作交流,總結(jié)本類題的眾多解題方法,提高解題能力◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：算“24點(diǎn)”作為一種智力游戲,計(jì)算中頗具技巧性,對不同水平的學(xué)生均能有所收獲。規(guī)則是這樣的：一副牌中抽去大小王剩下52張,（如果初練也可只用1～10這40張牌）任意抽取4張牌（稱牌組）,用加、減、乘、除（可加括號）把牌面上的數(shù)算成24。每張牌必須用一次且只能用一次,如抽出的牌是3、8、8、9,請列出算式。10,4,2,2呢？你總結(jié)出什么規(guī)律？問題解決：3×8÷（9—8）或（9—8）×8×3或（9—8÷8）×3等。（10—4）÷（2＋2）或（10＋2）÷2×4等。①利用3×8＝24、4×6＝24求解。把牌面上的四個(gè)數(shù)想辦法湊成3和8、4和6,再相乘求解。②利用0、11的運(yùn)算特性求解。小結(jié)歸納：我們用a、b、c、d表示牌面上的四個(gè)數(shù),優(yōu)先考慮最常見的3×8,4×6,2×12這三種算法,一般情況下,已有期中一個(gè)因數(shù),那么用其他三個(gè)數(shù)字計(jì)算出另一個(gè)因數(shù)。①(a—b）×（c＋d）如（10—4）×（2＋2）＝24等。②（a＋b）÷c×d如（10＋2）÷2×4＝24等③（a－b÷c）×d如（3—2÷2）×12＝24等④（a＋b－c）×d如（9＋5—2）×2＝24等⑤a×b＋c—d如11×3＋l—10＝24等⑥（a－b）×c＋d如（4—l）×6＋6＝24等⑦（a×b）÷（c＋d）如（6×8）÷（1＋1）＝24等合作探究：請用下列數(shù)字算24點(diǎn)：①2,7,9,10；②2,7,10,10；③2,8,8,8第二講斐波那契數(shù)◆教學(xué)目標(biāo)：1、通過觀察,探索數(shù)字的規(guī)律,體會數(shù)的趣味性；2、掌握對應(yīng)方法,解決數(shù)之間的規(guī)律問題,提高分析及解決問題的能力。◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：斐波那契數(shù)列又稱數(shù)列,因·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“”,指的是這樣一組數(shù)：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)會經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數(shù)、黃金矩形、黃金分割、等角螺線等,有時(shí)也可能是我們對斐波那契數(shù)過于熱衷,把原來只是巧合的東西強(qiáng)行劃分為斐波那契數(shù)。比如鋼琴上白鍵的8,黑鍵上的5都是斐波那契數(shù),應(yīng)該把它看做巧合還是規(guī)律呢？請思考：根據(jù)規(guī)律請寫出第10個(gè)數(shù),這一組數(shù)中,奇數(shù)和偶數(shù)有什么規(guī)律？并判斷這組數(shù)的前100個(gè)數(shù)中,有多少個(gè)奇數(shù)？問題解決：通過觀察發(fā)現(xiàn)這組數(shù)中第三個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)的和,從第三個(gè)數(shù)開始往后,每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和；第7個(gè)數(shù)為5＋813,第8個(gè)數(shù)為8＋13＝21,第9個(gè)數(shù)為13＋21＝34,第10個(gè)數(shù)為21＋34＝55。這組數(shù)中以每三個(gè)數(shù)位一組,每組中第三個(gè)數(shù)為偶數(shù),其余兩個(gè)數(shù)位奇數(shù),100÷3＝33……1,則奇數(shù)有:33×2＋1＝66＋1＝67。小結(jié)歸納：通過觀察,發(fā)現(xiàn)周期性變化,找出數(shù)之間的規(guī)律,從而避免較大數(shù)字的繁瑣計(jì)算,技巧性的解決問題。合作探究：1.伸出自己的左手從小拇指開始數(shù)1,依次向右數(shù)到大拇指為數(shù)字5,再從食指依次向左數(shù)到小拇指。（按照如下規(guī)則,左手手心向下,從小拇指開始數(shù),數(shù)到大拇指為5,接下來回到食指為6,中指為7,無名指為8,小拇指為9,再接下來數(shù)無名指為10,依次進(jìn)行）請問,數(shù)到2022時(shí),你數(shù)在哪個(gè)手指上？2.有一段樓梯有10級臺階,規(guī)定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階,有幾種不同的走法?第三講探索代數(shù)式的規(guī)律◆教學(xué)目標(biāo)：1、學(xué)會通過觀察,猜想,實(shí)驗(yàn)的方法探索代數(shù)式的規(guī)律；2、掌握規(guī)律探索的方法,提高分析以及解決問題的能力◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：觀察下面各個(gè)算式21－12＝9,75－57＝18,96－69＝27,84－48＝36,45－54＝－9,24－72＝－45,19－91＝72,……(1)請用文字補(bǔ)全上述規(guī)律:把一個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字交換位置,原來的兩位數(shù)與新的兩位數(shù)的差是多少？(2)你能用所學(xué)知識解釋這個(gè)規(guī)律嗎?問題解決：設(shè)被減數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字為a,十位上的數(shù)字為b,由題意得∴被減數(shù)可以表示為10b＋a,減數(shù)就是10a＋b,∴差為10b＋a－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a＝9(b－a),∴差是被減數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的差的9倍小結(jié)歸納：代數(shù)式的規(guī)律探究問題的特點(diǎn):給出一組具有某種特定關(guān)系的代數(shù)式、算式或等式,要求通過觀察、分析、推理,探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律,進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論,并能用字母表示,它體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法解決此類問題的常用方法:①將所給的每個(gè)式子化為有規(guī)律的代數(shù)式、算式或等式②按規(guī)律將這些式子排序,尋找不變的量和變化的量,并研究變化的量是如何變化的③將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示出來④用所給數(shù)據(jù)驗(yàn)證規(guī)律的正確性合作探究：觀察規(guī)律：1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42,……,則1＋3＋5＋7＋……＋2022的值是什么？第四講認(rèn)識二進(jìn)制◆教學(xué)目標(biāo)：1、由已經(jīng)熟知的十進(jìn)制數(shù)字類比認(rèn)識二進(jìn)制；2、比較十進(jìn)制和二進(jìn)制的計(jì)數(shù)原理并熟悉掌握◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：當(dāng)代電子計(jì)算機(jī)的核心之一就是使用二進(jìn)制數(shù)。早在1673年,27歲的德國數(shù)學(xué)家布萊尼茲在研究計(jì)算機(jī)模型時(shí)就認(rèn)識到了二進(jìn)制數(shù)的重要性,并系統(tǒng)地提出了二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算法則。二進(jìn)制數(shù)不僅在電子計(jì)算機(jī)中得到了廣泛的應(yīng)用,而且在實(shí)際生活中也得到了廣泛的應(yīng)用,尤其是在解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí),更是發(fā)揮了重要的作用。下面我們以十進(jìn)制數(shù)為例,來認(rèn)識一下二進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制數(shù)是以十為基底的進(jìn)位計(jì)數(shù)制,十進(jìn)制數(shù)是使用0,1,2,3,……,9十個(gè)數(shù)碼記數(shù)的方法,位率是“逢十進(jìn)一”,底數(shù)為10的個(gè)整數(shù)冪,恰好是十進(jìn)制的各個(gè)位數(shù)。例如：54307記作5×104＋4×103＋3×102＋0×101＋7×100。類比十進(jìn)制數(shù)的記數(shù)特征,二進(jìn)制中的1101等于十進(jìn)制的什么數(shù)？問題解決：類比十進(jìn)制數(shù)用10的各整數(shù)冪與各位上數(shù)字相乘后再相加的規(guī)律,二進(jìn)制中以2為基數(shù),二進(jìn)制中1101可以表示成1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝8＋4＋0＋1等于十進(jìn)制的數(shù)13。小結(jié)歸納：二進(jìn)制記數(shù)的規(guī)則是“逢二進(jìn)一”要把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),只要把二進(jìn)制數(shù)的第n位上的數(shù)字與相應(yīng)的2n－1相乘再相加的結(jié)果即可。同樣的,也可以用相應(yīng)的方法把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)。合作探究：二進(jìn)制中的10111便是的是十進(jìn)制的什么數(shù)？十進(jìn)制中的79怎么表示成二進(jìn)制數(shù)？第五講棋盤上的麥?！艚虒W(xué)目標(biāo)：了解整式的乘法在生活中的應(yīng)用,學(xué)會用整體的思想解決整式的求值問題◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：傳說國際象棋是舍罕王的宰相西薩班達(dá)依爾發(fā)明的,他把這個(gè)有趣的娛樂品進(jìn)貢給國王。舍罕王對于這一奇妙的發(fā)明異常喜愛,決定讓宰相自己要求得到什么賞賜。西薩并沒有要求任何金銀財(cái)寶,他只是指著面前8×8的棋盤奏道:“陛下,就請您賞給我一些麥子吧,在第一格棋盤上放1粒,第二格上放2粒第三格上放4粒,第四格上放8?！者@樣放下去,只要把棋盤上64格的麥粒都賞給你的仆人,他就心滿意足了”,舍罕王聽了,心中暗暗欣喜:“這個(gè)傻瓜的胃口實(shí)在不算大啊,這能要多少麥子呢?最多幾百斤吧，小意思！”他立即慷慨地應(yīng)允道:”愛卿,你當(dāng)然會如愿以償?shù)?”但當(dāng)記麥工作開始后不久,舍罕王便暗暗叫苦了,因?yàn)楸M管第一袋麥子放滿了將近二十個(gè)格于可是接下去的麥粒數(shù)增長的竟是那樣的快,國王很快意識到,即使把自己王國內(nèi)的全部糧食都拿來,也兌現(xiàn)不了他許給宰相的諾言了。那么,舍罕王究竟該給西薩多少麥粒呢?問題解決：第一步:理解題意,尋求方法要滿足西薩的要求,首先得求出擺滿棋盤共需要多少顆麥粒。國際象棋的棋盤上有六十四格,規(guī)定在第一格里放1顆麥粒,后面每一格的麥粒數(shù)均為前一格的兩倍,則第一格放1顆,第二格放2顆,第三格放22顆,第四格放23顆,……,第六十四格放263顆。共需麥粒1＋21＋22＋23＋…＋263顆。第二步:求解1＋21＋22＋23＋…＋263設(shè)S＝1＋21＋22＋23＋…＋263①,通過設(shè)元把整個(gè)式子作為一個(gè)整體則2S＝21＋22＋23＋…＋264②,②－①得2S－S＝(2＋2＋2＋24＋…＋2)－(1＋2＋22＋23＋…＋26)S＝264－1,S＝1＋21＋22＋23＋…＋263＝264－1＝184467440737095516151000顆麥粒的質(zhì)量大約是40克,國王需要獎(jiǎng)勵(lì)給西薩的麥粒數(shù)量龐大,在當(dāng)時(shí),國王肯定無法兌現(xiàn)承諾的。小結(jié)歸納：基于上節(jié)有關(guān)二進(jìn)制的以2為底的冪的學(xué)習(xí),本節(jié)拓展開來,聯(lián)系整式的相關(guān)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)。整體思想整體思想是指在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí),可以通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,進(jìn)行整體處理后,達(dá)到順利解決問題的目的的解題方法,其主要表現(xiàn)形式有整體代換、整體把握、整體設(shè)元、整體補(bǔ)形、整體聯(lián)想、整體合并等。合作探究：1.已知m2＋m－1＝0,求m3＋2m2＋2022的值2.已知a－b＝b－c＝,a2＋b2＋c2＝1,求ab＋bc＋ac的值第六講火車中的相遇和追及◆教學(xué)目標(biāo)：掌握行程問題的基本數(shù)量關(guān)系、基本方法，并會分析復(fù)雜的問題情境，并體會數(shù)行結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：高鐵有快速,準(zhǔn)時(shí),舒適,溫馨,方便,安全,美觀,環(huán)保實(shí)惠,高速鐵路的優(yōu)點(diǎn)是載客量非常高。我國高鐵有很大的競爭優(yōu)勢，它對世界先進(jìn)技術(shù)引進(jìn)、內(nèi)吸收和整合的模范容，同時(shí)造價(jià)只有國外造價(jià)的三分之一到二分之一，并集成了商品貿(mào)易、服務(wù)貿(mào)易和資本輸出三大方式，這在西方也是最值得稱道的商業(yè)模式。如果說，甲乙兩輛火車的長分別是144m和180m,甲車比乙車每秒多行4m,兩輛火車相向行駛,從相遇到全部錯(cuò)開需9秒,兩列火車的速度各是多少?經(jīng)過一條長400米的隧道需要20s的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光,燈光照在火車上的時(shí)間是10s，這列火車有多長?問題解決：設(shè)甲火車的速度是x千米/時(shí)，乙火車的速度是(x-4)千米/時(shí),9x+9(x-4)=144+180解得x=20∴x-4=16,則甲火車的速度是20千米/時(shí)，乙火車的速度是16千米/時(shí)。小結(jié)歸納：針對此類問題，學(xué)會數(shù)學(xué)模型化，用線段圖模擬運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，數(shù)形結(jié)合幫助更好的理解和梳理題目中的信息，對于解題有更清晰的思路。運(yùn)用已學(xué)的方程解決有關(guān)行程問題，使得復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)學(xué)代數(shù)方程問題。合作探究：，B兩地間的路程為540千米，一列慢車從A地出發(fā)，每小時(shí)行駛80千米，一列快車從B地出發(fā)，每小時(shí)行駛120千米．若兩車同時(shí)開出，相向而行，幾小時(shí)相遇？若快車由A地先開1小時(shí)后，慢車在B地同向開出，快車再經(jīng)過幾小時(shí)可追上慢車?、B兩地相距1000米，甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間往返散步.如果兩人第一次相遇時(shí)距A、B兩地的中心100米，那么，兩人第二次相遇地點(diǎn)距第一次相遇地點(diǎn)多少米？第七講追及悖論◆教學(xué)目標(biāo)：掌握行程問題的基本數(shù)量關(guān)系、基本方法，并會分析復(fù)雜的問題情境，并體會數(shù)行結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想，體會數(shù)學(xué)的趣味◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教學(xué)內(nèi)容問題導(dǎo)入：公元前5世紀(jì)，芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，設(shè)所用的時(shí)間為t，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/10，烏龜仍然前于他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/100，烏龜仍然前于他1米……芝諾認(rèn)為，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。這與我們現(xiàn)實(shí)情況相悖，請你嘗試解釋這是為什么？問題解決：悖論隱含的假設(shè)就是阿基里斯沒有追上龜，為什么呢？阿基里斯的每一段，都是烏龜跑完了，才讓阿基里斯才跑的。只是想當(dāng)然的用了一開始的距離差，而這個(gè)距離差為逐段變小。而這個(gè)趨近過程又想用時(shí)間衡量，恰好時(shí)間和距離，都可以無限劃分。靜止也存在這樣的接近過程，舉個(gè)例子：假設(shè)烏龜是靜止的，讓阿基里斯以這樣的方式跑。900米，90米，9米，米……，這樣他也追不上烏龜啊，也同樣變不成零，因?yàn)槟愕募僭O(shè)就是距離的無限小，這只是在尋找最短的距離。小結(jié)歸納：這個(gè)悖論關(guān)系到極限，極限這個(gè)概念，正是為了解決阿基里斯悖論而定義出來的一個(gè)概念。無限的細(xì)分并不代表不會從時(shí)間1流入時(shí)間2，否則你的時(shí)鐘將永遠(yuǎn)停留在59分……秒。阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，在某一時(shí)間點(diǎn)之前無法追上。但永遠(yuǎn)追不上這一結(jié)果并不成立，因?yàn)檫@一悖論只引導(dǎo)去考慮追上之前的距離，而不是追上的這一距離。所以審題務(wù)必要仔細(xì)，對題目的前提條件要精準(zhǔn)把握。合作探究：1.甲、乙兩人練習(xí)短距離賽跑，甲每秒跑米.乙每秒跑7米.如果甲讓乙先跑6米.那么甲追上乙需多少秒？2.如圖，兩位同學(xué)甲、乙兩位同學(xué)站在全長為400m的環(huán)形跑道上，兩人之間的距離是40m，現(xiàn)在兩人同時(shí)起跑，已知甲同學(xué)的速度為8m/s，乙同學(xué)的速度為7m/s，若兩人均沿逆時(shí)針方向跑，經(jīng)過多少時(shí)間甲同學(xué)第一次追上乙同學(xué)?再經(jīng)過多長時(shí)間甲同學(xué)第二次追上乙同學(xué)？第八講鐘表中的數(shù)學(xué)◆教學(xué)目標(biāo)：1、讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心2、創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會學(xué)習(xí)3、通過實(shí)踐探究，得出鐘表中三個(gè)表針的夾角規(guī)律，并解決一些實(shí)際問題，促進(jìn)學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動(dòng)活潑地、主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生自主探索能力◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教學(xué)內(nèi)容問題導(dǎo)入：小聰是個(gè)熱愛生活和學(xué)習(xí)的孩子，有一次和媽媽一起出發(fā)去奶奶家里做客，走的時(shí)候看到鐘表上時(shí)針和分針的夾角是90°，到了奶奶家之后發(fā)現(xiàn)奶奶臨時(shí)有事要出門，小聰和媽媽沒有辦法，只能原路返回，回來之后，小聰媽媽發(fā)現(xiàn)鐘表里的時(shí)針和分針仍舊還是成90°，請你幫助小聰判斷小聰媽媽的大約半小時(shí)來回正確嗎？問題解決：首先，可以把時(shí)針、分針的夾角問題看成角度的運(yùn)算，而角度的運(yùn)算是60進(jìn)制；其次，鐘面上的圓周被分成了12大格、60小格，每個(gè)大格為30°，每個(gè)小格為6°，時(shí)針一小時(shí)走一個(gè)大格30°，每分鐘走°，分針一分鐘走一個(gè)小格6°。(如下圖)假設(shè)離開家的時(shí)間是x分鐘，可知∠AOB=°，∠EOC=360°－6x°，∠AOE＋∠AOB＋∠BOC＝360°－∠EOC，于是可得方程6x－＝90＋90，∴＝180，x＝32eq\f(8,11)所以離開家的準(zhǔn)確時(shí)間是32分eq\f(8,11)分鐘，“大約半個(gè)小時(shí)”是估計(jì)值，而32eq\f(8,11)分是準(zhǔn)確時(shí)間。小結(jié)歸納：時(shí)鐘問題就是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問題，一般有兩種問題：（1）圍繞著兩針（時(shí)針和分針）重合、垂直、成直線或者兩針成多少角度來提出問題；（2）因?yàn)闀r(shí)針和分針的速度不同，并且都是沿著順時(shí)針的方向轉(zhuǎn)動(dòng)，所以有關(guān)時(shí)間誤差的問題，往往將其轉(zhuǎn)化為追擊問題來解答，常用的關(guān)系式1、求兩針重合要用的時(shí)間：原來兩針間隔的格數(shù)÷（1－1/12）或者使用度數(shù)差別進(jìn)行計(jì)算；原來兩針之間夾角的度數(shù)可以理解為路程差除以兩針之間的速度差：原來兩針之間的角度÷（6－）。合作探究：點(diǎn)鐘到8點(diǎn)鐘之間，分針和時(shí)針什么時(shí)候成直線？點(diǎn)35分的時(shí)候分針與時(shí)針之間的夾角是多少度？第九講握手問題◆教學(xué)目標(biāo)：1、掌握握手問題的規(guī)律，并總結(jié)握手模型2、掌握知識應(yīng)應(yīng)用到應(yīng)用到有關(guān)幾何和方程等問題◆教學(xué)建議：1課時(shí)◆教學(xué)內(nèi)容問題導(dǎo)入：見面時(shí)以握手示禮，是我們常用的禮節(jié)，其特點(diǎn)是:二人共同完成一項(xiàng)任務(wù)(手)，由此我們很容易聯(lián)想到數(shù)學(xué)問題中有很多類似的情況如:兩點(diǎn)可連結(jié)成一條線段、兩點(diǎn)確定一條直線、由同一頂點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成一個(gè)角、兩車站之間的票價(jià)、打電話等等.現(xiàn)有12位要好的朋友約好在某地見面，見面時(shí)每兩人都握一次手，共握手多少次?問題解決：一人握手的次數(shù)應(yīng)是:12-1=11(次)，照此來算握手總次數(shù)為11×12=132次.由于每人每次握手都被重復(fù)計(jì)算1次，因此握手總次數(shù)應(yīng)是:132÷2=66次，也就是:eq\f(12（12-1）,2)=66(次)小結(jié)歸納：如果有n個(gè)人相互握手，每個(gè)人與另外(n—1)個(gè)人握手一次共握手n(n—1)次，這樣由于每人每次握手都被重復(fù)計(jì)算1次，所以n個(gè)人相互握手一次的總次數(shù)為eq\f(n（n-1）,2)次，這就形成了握手模型。拓展一有10人圍成一圈做握手游戲，每個(gè)人都不和相鄰的兩個(gè)人握手，問整個(gè)游戲共握手多少次?答：每個(gè)人都不和相鄰的兩個(gè)人搔手，只能和其人7握手，因此握手總次數(shù)10(10-3)÷2=35(次)拓展二有一個(gè)12邊形，共有多少條對角線?答：對角線總條數(shù)：12(12-3）÷2=54(條)過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線將這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。答：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，得（n－3）＋1＝5,解得n＝7。合作探究：1.某市籃球比賽共有20個(gè)代表隊(duì)參賽，采用雙循環(huán)賽，即每隊(duì)之間比賽兩場，問這20個(gè)代表隊(duì)一共比賽多少場？2.一條直線上共有8個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有多少條線段？線段名稱共有多少種？第十講將軍飲馬教學(xué)目標(biāo)：1、通過分析實(shí)際問題背景,抽象出幾何模型2、利用兩點(diǎn)之間線段最短的公理解決有關(guān)最短路徑問題教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：讓我們先來了解“將軍飲馬”這個(gè)故事。古希臘亞里山大里亞城有位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫。有一天,有位將軍不遠(yuǎn)干里專程前來向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問題:如圖,將軍A從出發(fā)到問邊飲馬,然后再到B地軍營視察開會,顯然有許多走法問怎樣走路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索,便作了完善的回答。這個(gè)問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題。請你來探究一下數(shù)學(xué)家海倫是怎樣解決的。問題解決：根據(jù)公理:連接兩點(diǎn)的所有線中,線段最短①若A、B在河流的異側(cè),如下圖兩定點(diǎn)A,B在直線l的兩側(cè),能否在直線l上找一點(diǎn)P,使得AP＋BP最短？根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,連結(jié)AB,與直線l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P的位置。②若A、B在河流的同側(cè),如上圖兩定點(diǎn)A,B在直線l的同一側(cè),在直線上找一點(diǎn)P,使得AP＋BP最短。根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短,那么顯然要把折線變成直線再解。做點(diǎn)A的對稱點(diǎn),連接B與A的對稱點(diǎn),與知線l相交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求小結(jié)歸納：在求解最短路徑的問題時(shí),我們要學(xué)會在復(fù)雜的問題情境之中抽象出基本模型“將軍飲馬”模型,問題的載體可以是直線、等邊三角形,也可以是正方形、圓,還可以是今后會學(xué)到的其他函數(shù)圖象等,轉(zhuǎn)化、抽象是解決此類問題最重要的思想方法。合作探究：如圖所示,A,B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上建座橋MN,橋造在何處才能使從A地到B地的路徑AM＋NB最短?(假設(shè)河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直）第十一講哥尼斯堡七橋教學(xué)目標(biāo)：1、認(rèn)識數(shù)學(xué)歷史的上的經(jīng)典例題，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的興趣2、體會數(shù)學(xué)模型的精準(zhǔn)表達(dá)對數(shù)學(xué)問題解決得重要性3、學(xué)會用一筆畫法相關(guān)知識解決簡單問題教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：1736年29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，在解答問題的同時(shí)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——圖論與幾何拓?fù)?，也由此展開了數(shù)學(xué)史上的新歷程。七橋問題提出后，很多人對此很感興趣，紛紛進(jìn)行試驗(yàn)，但在相當(dāng)長的時(shí)間里，始終未能解決。1736年，年僅29歲的數(shù)學(xué)家歐拉來到普魯士的古城哥尼斯堡（哲學(xué)家康德的故鄉(xiāng)，今俄羅斯加里寧格勒）。普瑞格爾河正好從市中心流過，河中心有兩座小島，島和兩岸之間建筑有七座古橋。問題解決：首先能想到的證明方法是把走七座橋的走法都列出來，一個(gè)一個(gè)的試驗(yàn)，但七座橋的所有走法共用7！=5040種，逐一試驗(yàn)將是很大的工作量。歐拉作為數(shù)學(xué)家，當(dāng)然沒那樣想。歐拉把兩座島和河兩岸抽象成頂點(diǎn)，每一座橋抽象成連接頂點(diǎn)的一條邊，那么哥尼斯堡的七座橋就抽象成下面的圖：假設(shè)每座橋都恰好走過一次，那么對于A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)中的每一個(gè)頂點(diǎn)，需要從某條邊進(jìn)入，同時(shí)從另一條邊離開。進(jìn)入和離開頂點(diǎn)的次數(shù)是相同的，即每個(gè)頂點(diǎn)有多少條進(jìn)入的邊，就有多少條出去的邊，也就是說，每個(gè)頂點(diǎn)相連的邊是成對出現(xiàn)的，即每個(gè)頂點(diǎn)的相連邊的數(shù)量必須是偶數(shù)。而上圖中A、C、D四個(gè)頂點(diǎn)的相連邊都是3，頂點(diǎn)B的相連邊為5，都為奇數(shù)。因此，這個(gè)圖無法從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，遍歷每條邊各一次。小結(jié)歸納：一個(gè)曾難住那么多人的問題，竟然是這樣一個(gè)簡單的出人意料的推理，還開創(chuàng)了一個(gè)新的學(xué)科。歐拉非常巧妙的把一個(gè)實(shí)際問題抽象成一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，這種研究方法就是我們應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)模型方法。這并不需要運(yùn)用多么深?yuàn)W的理論，但能想到這一點(diǎn)，卻是解決問題的關(guān)鍵。合作探究：一張紙上有如下所示圖，你能否用剪刀一次連續(xù)剪下途中的額三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？第十二講李白沽酒教學(xué)目標(biāo)：理解古代數(shù)學(xué)題會運(yùn)用方程解相關(guān)數(shù)學(xué)題能夠靈活運(yùn)用方程求解問題教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容:問題導(dǎo)入：在元代以前，古代的酒都是發(fā)酵酒，度數(shù)最多不高過二十，大多是十度以下的米酒，發(fā)酵后就過濾而得；元代以后才有蒸餾酒，通過蒸餾提高酒的度數(shù)，唐代斗是2000毫升。差不多3平啤酒的低度酒。我國古代數(shù)學(xué)書上有一道有趣的題，是以打油詩的形式出題，內(nèi)容講是李白買酒的事無事街上走，提壺去買酒遇店加一倍，見花喝一斗三遇店和花，喝光壺中酒試問壺中原有多少酒?李白是我國唐代的一位偉大詩人，平時(shí)喜歡喝酒.這道題目是借李白愛喝酒這件事編出來的，當(dāng)然實(shí)際上不一定有這件事。釋義：李白壺中原來就有一些酒，每次遇到酒店就使壺中的酒増加一倍；每次看到花，他就飲酒作詩，喝去一斗.這樣經(jīng)過三次，最后把壺中的酒全部喝光了！問李白酒壺中原來有多少酒?問題解決：設(shè)李白酒壺中原有酒為x斗，根據(jù)題意列得方程(2x－1)×2－1]x2－1＝0化簡此方程得8x=7x＝7/8

答:李白壺中原有7/8斗酒。小結(jié)歸納：中國古代算術(shù)叢書中留下了許多名題，這些題目不僅富有情趣，而且解答時(shí)常采用變化、假設(shè)、逆推、化歸等方法，表現(xiàn)出解題這巧妙的思路和獨(dú)特的機(jī)智。一些有趣的詩詞古算題，語言生動(dòng)活潑，構(gòu)思巧妙合作探究：帝城三五元宵，鱉山兩樣燈球

都來一秤三斤油.七兩又來添

三兩分為四盞，四兩分作三甌

停盞子二停甌，請問先生知否?

(選自《增刪算法統(tǒng)綜?三衰分》

釋義:皇城正月十五(遞乘三五，即十五)元宵節(jié).鱉山掛兩樣燈球，一種為盞，另一種為甌。共享一秤(十五斤)零三斤油七兩油，三兩油可用于四盞燈球，四兩油分作三甌燈球，三停盞子二停甌，可理解為比率盞子為三，甌為二；又可理解為【盞(斬)子，無后的意思，三停盞子，即是3;二停甌，即兩個(gè)0；所以，燈球共300只】。問有多少盞燈球，多少甌燈球?第十三講免嫉妒分割教學(xué)目標(biāo)：1、理解精準(zhǔn)的分割數(shù)學(xué)化知識，拓寬視野2、嘗試用在生活中的三人分配問題上教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：三個(gè)人要分一塊蛋糕，他們怎樣分才能使得每個(gè)人都覺得沒有人比自己得到的更多。構(gòu)造一套免嫉妒的分割方案非常困難1960年，JohnSelfridge和JohnConway各自獨(dú)立地分析了人數(shù)為3的情況，構(gòu)造出了第一個(gè)滿足免嫉妒條件的三人分割方案，這種分割方案就被稱為“SelfridgeConway算法”。請你尋找通過課下尋找材料，嘗試?yán)斫獗舅惴ā栴}解決：首先把分成三等份當(dāng)然是接照自己的看法來分的，后面到的切分、選取也都是這樣)。如果B認(rèn)為這三塊蛋糕中較大的兩塊是一樣大的，那么按照C、B、A的順序依次選取蛋糕，問題就解決了。麻煩就麻煩在B認(rèn)為較大的兩塊蛋糕不一樣大的情況。此時(shí)，B就把最大的那塊蛋糕的其中一小部分切下來，讓剩余的部分和第二大的蛋糕一樣大。被切除的部分暫時(shí)扔在一旁，在第二輪分割時(shí)再來處理。接下來，按照C、B、A的順序依次選蛋糕，但有一個(gè)限制:如果C沒有選那塊被修剪過的蛋糕，B就必須選它。這樣，三人就各分得了一塊蛋糕。由于A是切蛋糕的人，對于他來說拿到哪一

塊都是一樣的，因此A不會嫉妒別人。由于B選取的是兩個(gè)較大塊中的個(gè)，因此B也不會嫉妒別人，由于C是第一個(gè)選蛋糕的，顯然他也不會嫉妒別人.因此，就目前來說，三個(gè)人之間是不會有嫉妒發(fā)生的。

但是，還有一小塊被切除的部分沒分完，因此分割流程進(jìn)入第二輪。

在B和C之同，一定有一個(gè)人選擇了那塊被修剪過的蛋糕。不妨把這個(gè)人重新記作X，另一個(gè)人就記作Y。讓Y把最后那一小塊分成三等份，按照X、A、Y的順序依次挑選蛋糕，結(jié)東第二輪流程.這一輪結(jié)東后，每個(gè)人都又得到了一小塊蛋糕。由于X是第一個(gè)選蛋糕的人，X顯然不會嫉妒別人；由于Y是分蛋糕的人，Y也不會嫉妒別人，由于A比先Y選，A不會嫉妒Y。最后，A也是不會嫉妒X的，因?yàn)榧词筙擁有了第二輪中的全部蛋糕，X手里的蛋糕加起來也只是第一輪開始時(shí)A等分出來的其中一塊蛋糕，這是不可能超過A的。這就說明了，三個(gè)人之間仍然不會有嫉妒發(fā)生，Selfridge-Conway算法的確滿足免嫉妒條件。

小結(jié)歸納：蛋糕分割問題：比公平更加重要的是“不嫉妒”怎么樣分蛋糕才能做到公平？這是一個(gè)簡單的問題，但是越想?yún)s越覺得有點(diǎn)復(fù)雜。A、B兩人分蛋糕，很簡單。我們可以采用“你分我選”的方法，即由A來分蛋糕，B先來選擇。因?yàn)榉值案獾腁后選，所以A絕對會盡量平均分配?？雌饋砗芄剑屑?xì)一想，似乎有點(diǎn)問題。舉例說明，若一款水果蛋糕，有獼猴桃、黃桃還有菠蘿，對A來說可能更在意某種水果，比如黃桃，因此A分蛋糕的時(shí)候?qū)⑷克骄峙涞耐瑫r(shí)，也對黃桃進(jìn)行了平分，而沒有在意其他兩種水果的分配，而恰巧B很喜歡獼猴桃，于是他會選擇其中較多獼猴桃的那一塊蛋糕，此時(shí)B獲得的蛋糕價(jià)值在B看來是超過50%的，而分蛋糕的人A最多只能得到50%的價(jià)值。當(dāng)然也有人說，A可以考慮把蛋糕中的所有水果都平分呀，當(dāng)然這是可以的。但是這只是一個(gè)例子，其實(shí)質(zhì)是兩個(gè)人的價(jià)值觀取向不同，A也不了解B的價(jià)值取向，A只會根據(jù)自己的價(jià)值判斷來選擇分蛋糕的方式，若這種價(jià)值判斷與B的不同，B就能得到超過50%的價(jià)值。解決這種問題的方法很簡單，可以選擇交流，比如A和B交流后，A拿走所有黃桃，B拿走所有獼猴桃。但是交流也未必是個(gè)好方法，有時(shí)候“說不清楚”，比如常見的“分財(cái)產(chǎn)交流”，最終都搞得一團(tuán)糟。所以，我們還是默認(rèn)“你分我選”是個(gè)好方法，只要B選到了很滿意的那塊蛋糕后，不要太沾沾自喜，默默收下就行，讓分蛋糕的A覺得大家都一樣，很公平。第十四講三張卡片的騙局◆教學(xué)目標(biāo)：1、認(rèn)識有可能發(fā)生的事件和必然會發(fā)生的事件2、掌握簡單的概率的計(jì)算教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：設(shè)賭局的莊家只要用三張卡片和一頂帽子就可以很輕松地騙人上鉤了，他利用的就是人們對概率認(rèn)識的錯(cuò)誤直覺。莊家手里的三張卡片是不同的，即正反都是黑點(diǎn)、正圓圈反黑點(diǎn)、正反都是圓圈，正反正反正反第1張卡片第2張卡片第3張卡片莊家把卡片放在帽子里搖晃一番，讓你隨意地抽出一張來，放在桌子上，這時(shí)候，卡片的一面就露了出來，是黑點(diǎn)或者是圓圈.讓我們假定露出的是個(gè)圓圈。莊家要與你賭這張卡片的背面是什么，是黑點(diǎn)?還是圓圈?問題解決：很明顯這張卡片不可能是黑點(diǎn)一一黑點(diǎn)卡，因此，它要么是圓圈——圓圈卡，要么是黑點(diǎn)——圓圈卡，二者必居其一這樣一來，這張卡的背面不是黑點(diǎn)，就是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，你和他贏的機(jī)會均等，都是eq\f(1,2)。

那么，莊家是怎么讓你上當(dāng)?shù)哪?讓我們來看看問題出在哪里。莊家千方百計(jì)要你相信的是，同樣可能發(fā)生的情只有兩種。然而事實(shí)是，同

樣可能發(fā)生的情況有三種！當(dāng)莊家賭“正反面一樣”時(shí)，他贏的機(jī)會是eq\f(2,3)，你贏的機(jī)會只有eq\f(1,3)！小結(jié)歸納：在這里你一定要把正反面區(qū)分開來看，將正面朝上視為一種情況。三張卡片隨意抽一張放在桌子上，同樣可能發(fā)生的情況有六種：黑點(diǎn)一一黑點(diǎn)卡的正面黑點(diǎn)一一黑點(diǎn)卡的反面圓圈一一黑點(diǎn)卡的正面圓圈一一黑點(diǎn)卡的反面圓圓一一圓圈卡的正面圓圈一一圓圈卡的反面，因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圓圈，它所代表的情況可能是:圓圈一一黑點(diǎn)卡的正面，圓圈一一圓圈卡的正面，圓圈一一圓圈卡的反面在這三種情況中，“正反面一樣”的情況占了兩種，因此，在玩了多次以后，莊家就會三回里贏兩回，你的錢很快就會流入他的腰包里啦！合作探究：西方人深信水晶中隱藏有神靈，人們凝視水晶球可以算命或預(yù)言.水晶球算命女士算中的概率為70％，卦資50元。我國少數(shù)人相信撲克牌算命。撲克牌算命先生命中的概率為20％，卦資20元。吳文君刻苦學(xué)習(xí)，中考成績可去A高中，也可去B高中。想找一個(gè)算命先生算下去那所高中更能學(xué)習(xí)好和考上大學(xué)吳文君沒有多少零花錢，從節(jié)約又能達(dá)到目的來講，吳文君應(yīng)找哪個(gè)算命先生呢?撰稿人（毛瑩）第十五講環(huán)形跑道◆教學(xué)目標(biāo)：1、能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。2、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時(shí)間×速度和；路程差=追及時(shí)間×速度差◆教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：環(huán)形跑道的周長是800米，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員同時(shí)順時(shí)針自起點(diǎn)出發(fā)，甲的速度是每分鐘400米，乙的速度是每分鐘375米，多少分鐘后兩人第一次相遇？甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各跑了多少米？甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各跑了多少圈？問題解決：?在環(huán)形跑道上，這是一道封閉路線上的追及問題，第一次相遇時(shí)，快的應(yīng)比慢的多跑一圈，環(huán)形跑道的周長就是追及路程，已知了兩人的速度，追及時(shí)間即是兩人相遇的時(shí)間。400－375＝25（米）???????800÷25＝32（分鐘）?甲：400×32＝12800(米)???乙:375×32＝12000(米)?甲:12800÷800＝16(圈)乙:16－1＝15(圈)小結(jié)歸納：環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。

環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)直徑兩端同向：路程差nSnS+相對(反向)：路程和nS合作探究：1、成才小學(xué)有一條200米長的環(huán)形跑道，包包昊昊同時(shí)從起跑線起跑包包每秒鐘跑6米，昊昊每秒鐘跑4米，問包包第一次追上昊昊時(shí)兩人各跑了多少米？第一次追上昊昊時(shí)兩人各跑了多少圈？2、一個(gè)圓的周長為米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行．這兩只螞蟻每秒分別爬行厘米和厘米．它們每爬行1秒，3秒，5秒…（連續(xù)的奇數(shù)），就調(diào)頭爬行。那么，它們相遇時(shí)已爬行的時(shí)間是多少秒？第十六講擺一擺，想一想教學(xué)目標(biāo)：1、通過在數(shù)位表上擺1、2、3個(gè)珠子的活動(dòng)，進(jìn)一步理解數(shù)位和位置的概念，會用珠子在數(shù)位表中擺數(shù)、讀數(shù)，會記錄用珠子擺出的不同數(shù)2、通過在數(shù)位表上擺4、5個(gè)珠子的活動(dòng)，感悟珠子個(gè)數(shù)與所擺出的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)規(guī)律3、使學(xué)生在自主探索中體會有序思考的重要性，在合作交流中養(yǎng)成傾聽、有條理地表達(dá)想法的習(xí)慣和意識，感受到數(shù)學(xué)“好玩”，喜歡數(shù)學(xué)并愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：故事導(dǎo)入：熊大和光頭強(qiáng)——擺數(shù)比賽。電腦出現(xiàn)（熊大熊二和光頭強(qiáng)）你們喜歡什么動(dòng)畫片？喜歡熊出沒嗎？今天老師帶來一個(gè)關(guān)于它們的故事，想不想聽？有一天，熊大熊二和光頭強(qiáng)相約在數(shù)字王國，進(jìn)行了一次有趣的比賽——擺數(shù)比賽。它們分別在數(shù)位表上擺一個(gè)珠子，誰擺的數(shù)大誰就贏？問題解決：因?yàn)樾艽笮芏[在十位，這個(gè)數(shù)是10.光頭強(qiáng)擺在個(gè)位，擺出的數(shù)是1.10大于1.所以熊們獲得比賽勝利。你們也想這樣擺數(shù)嗎？今天我們也像它們那樣在數(shù)位表上比賽擺數(shù)。讓我們一起來擺一擺想一想剛才我們用1個(gè)珠子在不同的數(shù)位上擺出了1和10，請同學(xué)們猜一猜，如果用兩個(gè)珠子在數(shù)位表里擺數(shù)？能擺出哪些數(shù)呢？小結(jié)歸納：珠子與擺出數(shù)的個(gè)數(shù)的關(guān)系：珠子數(shù)加1等于擺出數(shù)的個(gè)數(shù)十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字與珠子數(shù)的關(guān)系：十位數(shù)字加個(gè)位數(shù)字等于珠子個(gè)數(shù)合作探究：1、6個(gè)珠子、7個(gè)珠子、8個(gè)珠子、9個(gè)珠子能擺出哪些數(shù)？幾個(gè)呢？珠子數(shù)擺出的數(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)110、12220、11、23330、21、12、34440、31、22、13、45550、41、32、23、14、56660、51、42、33、24、15、67770、61、52、43、34、25、16、78880、71、62、53、44、35、26、17、89990、81、72、63、54、45、36、27、18、9102、找規(guī)律填一填3、18、27、36、45、54、（）、72、81、904、我們今天擺了（）個(gè)數(shù)，是用9個(gè)珠子擺出來的。5、迷糊圖圖家的門牌號是7個(gè)珠子擺成的，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大1，你能幫圖圖找到家嗎？6、猜年齡：我今年的年齡是4個(gè)珠子擺出來的，老師今年的年齡是多少歲？第十七講新運(yùn)算不“新”教學(xué)目標(biāo)：1、了解定義新運(yùn)算的意義2、正確地理解新定義的算式的含義,然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序,將數(shù)值代人，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算3、加強(qiáng)對數(shù)和字母應(yīng)用的理解，拓寬視野教學(xué)建議：1課時(shí)教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：已知x，y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運(yùn)算“*”，即x*y＝xy＋1，試根據(jù)這種運(yùn)算完成下列各題：（1）求2*4的值；（2）求(2*5)*(－3)的值；（3）任意選擇兩個(gè)有理數(shù)x，y，分別計(jì)算x*y和y*x，并比較兩個(gè)運(yùn)算的結(jié)果，你有何發(fā)現(xiàn)？問題解決：（1）2*4＝2×4＋1＝9．（2）(2*5)*(－3)＝[(2×5)＋1]*(－3)＝11*(－3)＝11×(－3)＋1＝－32．（3）答案不唯一．若取3，－2，則3*(－2)＝3×(－2)＋1＝－5；(－2)*3＝(－2)×3＋1＝－5．若取－3，0，則－3*0＝－3×0＋1＝1；0*(－3)＝0×(－3)＋1＝1．若取－3，－5，則(－3)*(－5)＝(－3)×(－5)＋1＝16；(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)＋1＝16．可以發(fā)現(xiàn)，任意有理數(shù)x，y，總有x*y＝y(tǒng)*x，即這種運(yùn)算也有交換律．小結(jié)歸納：定義新運(yùn)算是指運(yùn)用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種題型解答定義新運(yùn)算題，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式的含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代人，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算。合作探究：（1）定義新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a，b，都有a○＋b＝a(a－b)＋1，等式右邊是通常的加減乘除運(yùn)算，比如：2○＋5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5．求(－2)○＋3的值．（2）規(guī)定：[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（x）表示不小于x的最小整數(shù)，[x）表示最接近x的整數(shù)．例如：[]＝2，（）＝3，[）＝2．按此規(guī)定求[]＋（）＋[）的值．第十八講湯咸了嗎？◆教學(xué)目標(biāo):1、提高歸納推理的能力2、能利用作差法比較代數(shù)式的大小3、掌握分類討論的方法◆教學(xué)建議:1課時(shí)◆教材內(nèi)容問題導(dǎo)入：一個(gè)周五的晚上,爸爸做了一碗湯,媽媽喝了一口，覺得有點(diǎn)淡，爸爸給媽媽的湯里加了10克的鹽，媽媽喝了一口，又覺得太咸了，于是，晶晶給媽媽的咖啡里加了10克的水，那么現(xiàn)在的湯與最開始相比是更淡了還是更咸了呢?問題解決：假設(shè)原來的那碗湯里有原有鹽a克，總質(zhì)量為b克（a>b），則此時(shí)這碗湯的濃度為eq\f(a,b),當(dāng)爸爸加了10克鹽,晶晶又加了10克水后,濃度就變?yōu)閑q\f(a+10,b+10),那么這兩個(gè)濃度值哪個(gè)更大呢?eq\f(a,b)-eq\f(a+10,b+10)=eq\f(a（b+10）,b（b+10)-eq\f(b（a+10）,b（b+10）)=eq\f(10a-10b,b（b+10）)>0,因此變咸了.小結(jié)歸納：從上面的探究中可以發(fā)現(xiàn)，分式的分子與分母發(fā)生變化后，分式的值如何變化取決于原分式中分子與分母的大小關(guān)系，一般可以用作差法求解.合作探究：1.甲、乙兩工程隊(duì)各承擔(dān)一條2千米公路的維修工作，甲隊(duì)一.半時(shí)間每天維修公路工千米,另一半時(shí)間每天維修公路y千米，乙隊(duì)維修前1千米公路時(shí)，每天維修工千米，維修后1千米公路時(shí)，每天維修y千米(x≠y).(1)求甲、乙兩隊(duì)完成任務(wù)需要的時(shí)間(用含x,y的代數(shù)式表示)。(2)甲,乙哪隊(duì)先完成任務(wù)?2.對于正分?jǐn)?shù)eq\f(n,m)(m,n均為正數(shù))，若分子和分母同時(shí)加上k(k為正數(shù))，分?jǐn)?shù)的值會改變嗎?若不會改變，請說明理由;若會變化，請寫出是如何變化的?第十九講十字相乘法◆教學(xué)目標(biāo)：1、理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法