時間序列平滑預(yù)測法

時間序列平滑預(yù)測法第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日練習(xí)題某旅游公司近幾年接待游客人數(shù)資料如下，請預(yù)測2009年可接待的人數(shù)年份人數(shù)20024830200353002004593020056750200674702007828020089090第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日平均發(fā)展速度=根據(jù)公式得G=1.11Y2009=G*Y2008*=10099第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日時間序列預(yù)測法，是將預(yù)測對象的歷史數(shù)據(jù)按照時間的順序排列成為時間序列，然后分析它隨時間的變化趨勢，外推預(yù)測對象的未來值。這樣，就把影響預(yù)測對象變化的一切因素由“時間”綜合起來描述了。時間序列分析預(yù)測可分為確定性時間序列預(yù)測法和隨機性時間序列預(yù)測法。第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日第1節(jié)時間序列概述

時間序列:是指某一統(tǒng)計指標數(shù)值按時間先后順序排列而形成的數(shù)列。例如：國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）按年度順序排列起來的數(shù)列；某種商品銷售量按季度或月度排列起來的數(shù)列等等都是時間序列。時間序列一般用-y1,y2,…，yt,…表示，t為時間。第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，編制和分析時間序列具有重要的作用：它為分析研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展速度、發(fā)展趨勢及變化規(guī)律，提供基本統(tǒng)計數(shù)據(jù)。通過計算分析指標，研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的變化方向、速度及結(jié)果。將不同的時間序列同時進行分析研究，可以揭示現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度及動態(tài)演變關(guān)系。建立數(shù)學(xué)模型，揭示現(xiàn)象的變化規(guī)律并對未來進行預(yù)測。第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、時間序列的因素分析 時間序列分析是一種動態(tài)的數(shù)列分析，其目的在于掌握統(tǒng)計數(shù)據(jù)隨時間變化的規(guī)律。時間序列中每一時期的數(shù)值都是由許多不同的因素同時發(fā)生作用后的綜合結(jié)果。

在進行時間序列分析時，人們通常將各種可能發(fā)生影響的因素按其性質(zhì)不同分成四大類：長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動。

第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日長期趨勢長期趨勢是指由于某種根本性因素的影響，時間序列在較長時間內(nèi)朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，以及停留在某一水平上的傾向。它反映了事物的主要變化趨勢。季節(jié)變動季節(jié)變動是指由于受自然條件和社會條件的影響，時間序列在一年內(nèi)隨著季節(jié)的轉(zhuǎn)變而引起的周期性變動。經(jīng)濟現(xiàn)象的季節(jié)變動是季節(jié)性的固有規(guī)律作用于經(jīng)濟活動的結(jié)果。

第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日循環(huán)變動循環(huán)變動一般是指周期不固定的波動變化，有時是以數(shù)年為周期變動，有時是以幾個月為周期變化，并且每次周期一般不完全相同。循環(huán)變動與長期趨勢不同，它不是朝單一方向持續(xù)發(fā)展，而是漲落相間的波浪式起伏變動。與季節(jié)變動也不同，它的波動時間較長，變動周期長短不一，不規(guī)則變動不規(guī)則變動是指由各種偶然性因素引起的無周期變動。不規(guī)則變動又可分為突然變動和隨機變動。所謂突然變動，是指諸如戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害、地震、意外事故、方針、政策的改變所引起的變動；隨機變動是指由于大量的隨機因素所產(chǎn)生的影響。不規(guī)則變動的變動規(guī)律不易掌握，很難預(yù)測。第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、時間序列的組合形式 時間序列由長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動四類因素組成。四類因素的組合形式，常見的有以下幾種類型：1、加法型yt=Tt+St+Ct+It2、乘法型yt=Tt·St·Ct·It3、混合型yt=Tt·St+Ct+Ityt=St+Tt·Ct·It

其中：yt-為時間序列的全變動；Tt為長期趨勢；St為季節(jié)變動；Ct為循環(huán)變動；It為不規(guī)則變動。第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日第2節(jié)移動平均法移動平均法是根據(jù)時間序列資料逐項推移，依次計算包含一定項數(shù)的時序平均數(shù)，以反映長期趨勢的方法。當(dāng)時間序列的數(shù)值由于受周期變動和不規(guī)則變動的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢時，可用移動平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測序列的長期趨勢。移動平均法有簡單移動平均法，加權(quán)移動平均法，趨勢移動平均法等。第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、簡單移動平均法設(shè)時間序列為：y1,y2…,yt,…；簡單移動平均公式(3.2.1)為：

t≥N(3.2.1)

式中：Mt為t期移動平均數(shù)；N為移動平均的項數(shù)。式（）表明當(dāng)t向前移動一個時期，就增加一個新數(shù)據(jù)，去掉一個遠期數(shù)據(jù)，得到一個新的平均數(shù)。由于它不斷的“吐故納新”，逐期向前移動，所以稱為移動平均法。

第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日由于移動平均可以平滑數(shù)據(jù)，消除周期變動和不規(guī)則變動的影響，使長期趨勢顯示出來，因而可以用于預(yù)測。預(yù)測公式為（）即以第t期移動平均數(shù)作為第t+1期的預(yù)測值。

例

：某商店1991年－2002年實現(xiàn)利潤如表所示。試用簡單移動平均法，預(yù)測下一年的利潤。

第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日解：分別取N=3和N=4，按預(yù)測公式

和

計算3年和4年移動平均預(yù)測值。其結(jié)果列于表中，其預(yù)測曲線如圖。第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日表3.2.1某商店1991年－2002年利潤及移動平均預(yù)測值表單位：萬元

第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日圖3.2.1某商店1991年－2002年利潤及移動平均預(yù)測值圖第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日在實用上，一個有效的方法是取幾個N值進行試算，比較他們的預(yù)測誤差，從中選擇最優(yōu)的。簡單移動平均法只適合做近期預(yù)測，即只能對后續(xù)相鄰的那一項進行預(yù)測。

第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、加權(quán)移動平均法

在簡單移動平均公式中，每期數(shù)據(jù)在求平均時的作用是等同的。但是，每期數(shù)據(jù)所包含的信息量不一樣，近期數(shù)據(jù)包含著更多關(guān)于未來情況的信息。因此，把各期數(shù)據(jù)等同看待是不盡合理的，應(yīng)考慮各期數(shù)據(jù)的重要性，對近期數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)重，這就是加權(quán)移動平均法的基本思想。第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日設(shè)時間序列為：y1,y2…,yt,…；加權(quán)移動平均公式為：

t≥N(3.2.4)式中：Mtw為t期加權(quán)移動平均數(shù)；wi為yt-i+1的權(quán)數(shù)，它體現(xiàn)了相應(yīng)的yt在加權(quán)平均數(shù)中的重要性。利用加權(quán)移動平均數(shù)來做預(yù)測，其預(yù)測公式為：（）即以第t期加權(quán)移動平均數(shù)作為第t+1期的預(yù)測值。例3.2.2對于例，試用加權(quán)移動平均法預(yù)測2003年的利潤。第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日解：取w1=3,w2=2,w3=1,按預(yù)測公式：計算三年加權(quán)移動平均預(yù)測值，其結(jié)果列于表中。2003年某企業(yè)利潤的預(yù)測值為：第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日表3.2.2某商店1991年－2002年利潤及加權(quán)移動平均預(yù)測值表單位：萬元第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日三、趨勢移動平均法

簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法，在時間序列沒有明顯的趨勢變動時，能夠準確反映實際情況。但當(dāng)時間序列出現(xiàn)直線增加或減少的變動趨勢時，用簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法來預(yù)測就會出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進行修正，修正的方法是作二次移動平均，利用移動平均滯后偏差的規(guī)律來建立直線趨勢的預(yù)測模型。這就是趨勢移動平均法。第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日一次移動的平均數(shù)為：在一次移動平均的基礎(chǔ)上再進行一次移動平均就是二次移動平均，其計算公式為

(3.2.6)它的遞推公式為

(3.2.7)第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日利用趨勢移動平均法進行預(yù)測，不但可以進行近期預(yù)測，而且還可以進行遠期預(yù)測，但一般情況下，遠期預(yù)測誤差較大。在利用趨勢移動平均法進行預(yù)測時，時間序列一般要求必須具備較好的線性變化趨勢，否則，其預(yù)測誤差也是較大的。第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日第3節(jié)指數(shù)平滑法§3.2介紹的移動平均法存在兩個不足之處。一是存儲數(shù)據(jù)量較大，二是對最近的N期數(shù)據(jù)等權(quán)看待，而對t-T期以前的數(shù)據(jù)則完全不考慮，這往往不符合實際情況。指數(shù)平滑法有效地克服了這兩個缺點。它既不需要存儲很多歷史數(shù)據(jù)，又考慮了各期數(shù)據(jù)的重要性，而且使用了全部歷史資料。因此它是移動平均法的改進和發(fā)展，應(yīng)用極為廣泛。指數(shù)平滑法根據(jù)平滑次數(shù)的不同，又分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。

第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日一次指數(shù)平滑法預(yù)測模型： （）也就是以第t期指數(shù)平滑值作為t+1期預(yù)測值。在進行指數(shù)平滑時，加權(quán)系數(shù)的選擇是很重要的。由式（）可以看出，α的大小規(guī)定了在新預(yù)測值中新數(shù)據(jù)和原預(yù)測值所占的比重。α值越大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原預(yù)測值所占的比重就愈小，反之亦然。

第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

α值應(yīng)根據(jù)時間序列的具體性質(zhì)在0-1之間選擇。具體如何選擇一般可遵循下列原則:

（1）如果時間序列波動不大，比較平穩(wěn)，則α應(yīng)取小一點，如（）。以減少修正幅度，使預(yù)測模型能包含較長時間序列的信息。（2）如果時間序列具有迅速且明顯的變動傾向，則α應(yīng)取大一點，如（）。使預(yù)測模型靈敏度高一些，以便迅速跟上數(shù)據(jù)的變化。在實用上，類似于移動平均法，多取幾個α值進行試算，看哪個預(yù)測誤差較小，就采用哪個α值作為權(quán)重。第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日初始值的確定

用一次指數(shù)平滑法進行預(yù)測，除了選擇合適的α外，還要確定初始值S0(1)。初始值是由預(yù)測者估計或指定的。當(dāng)時間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在20個以上時，初始值對以后的預(yù)測值影響很小，可選用第一期數(shù)據(jù)為初始值。如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，在20個以下時，初始值對以后的預(yù)測值影響很大，這時，就必須認真研究如何正確確定初始值。一般以最初幾期實際值的平均值作為初始值。第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日例3.3.1

以例為例，試預(yù)測2003年該企業(yè)利潤。解：采用指數(shù)平滑法，并分別取α=0.2，0.5和0.8進行計算，初始值即按預(yù)測模型計算各期預(yù)測值，列于表中。第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日表3.3.1某企業(yè)利潤及指數(shù)平滑預(yù)測值計算表單位：萬元第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日二次指數(shù)平滑法

一次指數(shù)平滑法雖然克服了移動平均法的兩個缺點。但當(dāng)時間序列的變動出現(xiàn)直線趨勢時，用一次指數(shù)平滑法進行預(yù)測，仍存在明顯的滯后偏差。因此，也必須加以修正。修正的方法與趨勢移動平均法相同，即再作二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律建立直線趨勢模型。這就是二次指數(shù)平滑法。其計算公式為：式中：St(1)為一次平滑指數(shù)；St(2)為二次指數(shù)的平滑值。

第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日當(dāng)時間序列{yt}，從某時期開始具有直線趨勢時，類似趨勢移動平均法，可用直線趨勢模型：

T=1,2,3,…(3.3.7)

(3.3.8)

進行預(yù)測。第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日三、三次指數(shù)平滑法

當(dāng)時間序列的變動表現(xiàn)為二次曲線趨勢時，則需要用三次指數(shù)平滑法。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，再進行一次平滑，其計算公式為:

式中：St(1)為一次平滑指數(shù)；St(2)為二次指數(shù)平滑值；St(3)為三次平滑指數(shù)值。

第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日三次指數(shù)平滑法的預(yù)測模型為：

(3.3.11)式中：

(3.3.12)第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日第4節(jié)差分指數(shù)平滑法

在上節(jié)我們已經(jīng)講過，當(dāng)時間序列的變動具有直線趨勢時，用一次指數(shù)平滑法會出現(xiàn)滯后偏差，其原因在于數(shù)據(jù)不滿足模型要求。因此，我們也可以從數(shù)據(jù)變換的角度來考慮改進措施，即在運用指數(shù)平滑法以前先對數(shù)據(jù)作一些技術(shù)上的處理，使之能適合于一次指數(shù)平滑模型，以后再對輸出結(jié)果作技術(shù)上的返回處理，使之恢復(fù)為原變量的形態(tài)。差分方法是改變數(shù)據(jù)變動趨勢的簡易方法。

第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、一階差分—指數(shù)平滑模型當(dāng)時間序列呈直線增加時，可運用一階差分—指數(shù)平滑模型來預(yù)測。其公式如下：其中的▽為差分記號。（）式表示對呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構(gòu)成一個平穩(wěn)的新序列；（）式表示把經(jīng)過一階差分后的新序列的指數(shù)平滑預(yù)測值與變量當(dāng)前的實際值迭加，作為變量下一期的預(yù)測值。

第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、二階差分—指數(shù)平滑模型當(dāng)時間序列呈現(xiàn)二次曲線增長時，可用二階差分—指數(shù)平滑模型來預(yù)測，其公式如下：▽2表示二階差分，與一階差分—指數(shù)平滑模型類似。第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日差分方法和指數(shù)平滑法的聯(lián)合運用，除了能克服一次指數(shù)平滑法的滯后偏差之外，對初始值的問題也有顯著的改進。因為數(shù)據(jù)經(jīng)過差分平穩(wěn)化處理后，所產(chǎn)生的新序列基本上是平穩(wěn)的。這時，初始值取新序列的第一期數(shù)據(jù)對于未來預(yù)測值不會有多大影響。其次，它開拓了指數(shù)平滑法的適用范圍，使一些原來需要運用配合趨勢線方法處理的情況可用這種組合模型來取代。但是，對于指數(shù)平滑法存在的加權(quán)系數(shù)α的選擇問題，以及只能逐期預(yù)測問題，差分—指數(shù)平滑模型也沒有改進。

第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日第5節(jié)自適應(yīng)過濾法

自適應(yīng)過濾法與移動平均法、指數(shù)平滑法一樣，也是以時間序列的歷史觀察值進行某種加權(quán)平均來預(yù)測的，它要尋找一組“最佳”的權(quán)數(shù)，其辦法是先用一組給定的權(quán)數(shù)來計算一個預(yù)測值，然后計算預(yù)測誤差，再根據(jù)預(yù)測誤差調(diào)整權(quán)數(shù)以減少誤差。這樣反復(fù)進行，直至找出一組“最佳”權(quán)數(shù)，使誤差減少到最低限度。由于這種調(diào)整權(quán)數(shù)的過程與通信工程中的過濾傳輸噪聲的過程極為接近，故稱為自適應(yīng)過濾法。第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日自適應(yīng)過濾法的基本預(yù)測公式為：

（）式（）中：為第t+1期的預(yù)測值；

wi為第t-i+1期的觀測值權(quán)數(shù)；

yt-i+1為第t-i+1期的觀測值；

N為權(quán)數(shù)的個數(shù)。第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日其調(diào)整權(quán)數(shù)的公式為： （）式中：i=1,2,…,N，t=N,N+1,…,n.n為序列數(shù)據(jù)的個數(shù)

wi為調(diào)整前的第i個權(quán)數(shù)

wi′為調(diào)整后的第i個權(quán)數(shù)

k稱為學(xué)習(xí)常數(shù)；

ek+1為第t+1期的預(yù)測誤差。式（）表明：調(diào)整后的一組權(quán)數(shù)應(yīng)等于舊的一組權(quán)數(shù)加上誤差調(diào)整項，這個調(diào)整項包括預(yù)測誤差、原觀測值和學(xué)習(xí)常數(shù)等三個因素。學(xué)習(xí)常數(shù)k的大小決定權(quán)數(shù)調(diào)整的速度。第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日N、K值和初始權(quán)數(shù)的確定在開始調(diào)整權(quán)數(shù)時，首先要確定權(quán)數(shù)個數(shù)N和學(xué)習(xí)常數(shù)k。一般說來，當(dāng)時間序列的觀測值呈季節(jié)變動時，N應(yīng)取季節(jié)性長度值。如序列以一年為周期進行季節(jié)變動時，若數(shù)據(jù)是月度的，則取N=12,若季節(jié)是季度的,則取N=4。如果時間序列無明顯的周期變動，則可用自相關(guān)系數(shù)法來確定，即取N為最高自相關(guān)系數(shù)的滯后時期。

k的取值一般可定為1/N,也可以用不同的k值來進行計算，以確定一個能使S最小的k值。初始權(quán)數(shù)的確定也很重要，如無其它依據(jù)，也可用1/N作為初始權(quán)系數(shù)用，即第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日自適應(yīng)過濾法有兩個明顯的優(yōu)點:一是技術(shù)比較簡單，可根據(jù)預(yù)測意圖來選擇權(quán)數(shù)的個數(shù)和學(xué)習(xí)常數(shù)，以控制預(yù)測。也可以由計算機自動選定。二是它使用了全部歷史數(shù)據(jù)來尋求最佳權(quán)系數(shù)。并隨數(shù)據(jù)軌跡的變化而不斷更新權(quán)數(shù)，從而不斷改進預(yù)測。第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日第6節(jié)ARMA模型簡介

設(shè)為一個隨機時間序列，即對每個固定的t，是一個隨機變量。如果滿足下述條件：1），（為常數(shù)）2），則稱為平穩(wěn)序列，稱為自協(xié)方差函數(shù)(AutocovariancesFunction)。稱為自相關(guān)函數(shù)(AutocorrelationFunction)。第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日1、滑動平均（MA）模型若序列值yt是現(xiàn)在和過去的誤差的線性組合，即 （）則