最優(yōu)控制課件第三章

最優(yōu)控制課件第三章第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三章：線性二次型指標的最優(yōu)控制§4-1線性二次型問題提法§4-2

狀態(tài)調節(jié)器問題§4-3

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調節(jié)器問題§4-4

輸出調節(jié)器問題§4-5

跟蹤問題2第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日 如果系統(tǒng)是線性的，性能指標為二次型函數(shù)，則最優(yōu)控制問題為線性二次型問題。代表了大量工程實際問題中提出的性能指標要求易于工程實現(xiàn)（線性最優(yōu)反饋控制規(guī)律的確定可歸結為Riccati方程的求解）3第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日§4-1

二次型問題提法設線性系統(tǒng)的動態(tài)方程為：為n維狀態(tài)向量，為m維控制向量，為輸出向量。設不受限制。定義下列誤差向量其中，為期望輸出向量。尋求最優(yōu)控制，使下列性能指標最小：4第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中，P為半正定對稱陣，為半正定對稱陣，為正定對稱陣。一般將P，，取為對角陣。性能指標函數(shù)中的每一項：表示對終端誤差(例如導彈的脫靶量等)的懲罰（4-1）

表示對系統(tǒng)誤差的懲罰，定量地刻畫了整個控制過程中實際狀態(tài)偏離期望狀態(tài)的狀況。定量地刻畫了整個過程中所消耗的能量，反映了控制的代價，表示對消耗控制能量的懲罰。5第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日（2）根據(jù)終端狀態(tài)自由終端二次型最優(yōu)控制問題非自由終端二次型最優(yōu)控制問題根據(jù)不同的出發(fā)點，二次型最優(yōu)控制問題具有各種不同的分類：（1）根據(jù)終點時刻有限終點時間的二次型最優(yōu)控制問題無限終點時間的二次型最優(yōu)控制問題（3）根據(jù)期望輸出二次型最優(yōu)調節(jié)器問題（定點）二次型最優(yōu)跟蹤器問題(動點）線性二次型問題的本質：用不大的控制，來保持較小的誤差，以達到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。

6第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日線性二次型問題的三種重要情形：狀態(tài)調節(jié)器輸出調節(jié)器跟蹤問題7第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日該性能指標的物理含義為：以較小的控制能量為代價，使保持在零值附近。§4-2狀態(tài)調節(jié)器問題系統(tǒng)狀態(tài)方程和性能指標（4-2）和前一節(jié)比較:,，則（4-3）8第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日橫截條件（4-6）

則協(xié)態(tài)方程為（4-4）控制方程為取哈密頓函數(shù)為（4-5）思路：確定與的關系，帶入（4-5）形成狀態(tài)反饋9第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日，這種方法稱為掃描法。由上式可見，協(xié)態(tài)和狀態(tài)，在終端時刻成線性關系。然后再求假定：（4-7）將（4-7）式兩邊分別對t求導，并將（4-4）式代入得（4-9）由（4-2）、（4-5）、（4-7）式得（4-8）10第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日把式（4-8）代入上式并整理得（4-10）上式對任意均成立，因而有（4-11）式（4-11）稱為黎卡提（Riccati）矩陣微分方程，即為該矩陣微分方程的解。一般來說得不出的解析表達式，但可利用數(shù)值計算得到其數(shù)值解。比較（4-6）和（4-7）式可得的邊界條件為：(4-12)

11第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日1）與狀態(tài)無關，故可在系統(tǒng)運行之前，將其先計算出來，把它存儲在計算機中，系統(tǒng)運行時只需計算簡單的乘法，節(jié)省計算時間。求解黎卡提矩陣微分方程時，利用，從時刻開始逆時間求解。在獲得之后，可計算最優(yōu)反饋控制規(guī)律：從式（4-11）可以看出：只要控制時間是有限的，就是時變的，最優(yōu)反饋系統(tǒng)將為線性時變系統(tǒng)。2）12第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日是黎卡提矩陣微分方程的解，則必為對稱陣，即定理4-1

矩陣性質：證明:對黎卡提矩陣微分方程取轉置方程形式相同且邊界條件相同（思路：）13第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日又對任意均成立，故可得（4-11）比較式(4-11)和(4-13)，二者為同一形式的矩陣微分方程，且邊界條件相同即 ，因此二者的解必相同，證畢。)()()()()()()()()()()(1tQtKtBtRtBtKtKtAtAtKdttdKTTTTTT-+--=-（4-13）14第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日作用下，性能指標取且當時，在區(qū)間上，為為半正定矩陣。正定陣，定理4-2當性能指標為（4-3）式時，系統(tǒng)（4-2）在最優(yōu) 控制律最小值：時當證明:將其轉化為性能指標的形式）構造（思路：構造下面等式:（4-3）15第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日（4-14）上式左邊可展成:將狀態(tài)方程及黎卡提方程代入可得(4-15)16第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日由式（4-14）和（4-15）得對上式整理得:17第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日左端即為在最優(yōu)控制下從t到的性能指標，故有

由于P、Q、R為半正定或正定陣，當時，必有可見必為正定陣，僅當時， 為半正定陣，J的最小值與起始時間有關。（4-3）18第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日（1）根據(jù)系統(tǒng)要求和工程實際經(jīng)驗，選取加權矩陣P,Q,R狀態(tài)調節(jié)器的設計步驟（2）求解黎卡提微分方程，求得矩陣K(t)（3）求反饋增益矩陣K(t)及最優(yōu)控制u*(t)（4）求解最優(yōu)軌線x*(t)（5）計算性能指標最優(yōu)值19第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日例4-1

系統(tǒng)狀態(tài)方程為

初始條件為。終端時間給定，性能指標為試求最優(yōu)控制，使其性能指標取得最小值。解:題中

20第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日設，由黎卡提矩陣微分方程可得即邊界條件為。對上面三個微分方程可用數(shù)值求解法：21第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日取為一較小的負數(shù)，從時刻求解然后再增加一個步長，求出，一直到為止。22第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日設 ，圖4-1中的（a）、(b)、（c）分別表示黎卡提方程的解、最優(yōu)狀態(tài)軌線及最優(yōu)控制。(a)(b)(c)u(t)ttt圖4-1例4-1中各變量的變化過程23第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日§4－3無限時間定常狀態(tài)調節(jié)器上面討論的狀態(tài)調節(jié)器，即使系統(tǒng)是時不變的，由于控制時間區(qū)間 是有限的，求得的是時變的，大大增加了系統(tǒng)結構的復雜性。問題的提出：解決思路:為了探索使成為常陣的條件，終端時刻取，期望得到，即所謂無限時間狀態(tài)調節(jié)器或穩(wěn)態(tài)狀態(tài)調節(jié)器。24第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中,均為常值正定對稱矩陣。初始條件終端時刻

假設控制向量不受約束，求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)的二次型性能指標取極小值。，矩陣對[A,B]完全可控，25第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日與有限時間狀態(tài)調節(jié)器的不同點：1）系統(tǒng)是時不變的，性能指標中的權矩陣為常值矩陣；3）終端權矩陣P=0,沒有終端性能要求；2）要求系統(tǒng)完全可控;趨于常值；4）終端時刻，穩(wěn)態(tài)時：穩(wěn)態(tài)時間過渡時間黎卡提矩陣微分方程黎卡提代數(shù)方程K陣為常值矩陣由于26第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日下面直接給出最優(yōu)解的結論：是可控的，性能指標為(4-17)線性定常系統(tǒng)（4-16）其中u不受限制，和為常數(shù)對稱正定陣。則使J為極小的最優(yōu)控制存在，且唯一，并可表示為(4-18)27第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日式中K為黎卡提代數(shù)方程(4-19)在最優(yōu)控制下，最優(yōu)軌線是下面線性定常齊次微分方程的解(4-20)所對應的性能指標的最小值為(4-21)

對于無限時間狀態(tài)調節(jié)器，要強調以下三點：的解。28第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日1）適用于線性定常系統(tǒng),且要求系統(tǒng)完全可控，而在有限時間狀態(tài)調節(jié)器中則不強調這一點。因為在無限時間調節(jié)器中，控制區(qū)間擴大至無窮，為了保證積分值為有限，和要收斂到零，也就是受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量必須是漸近穩(wěn)定的。對有限時間調節(jié)器來講，因為積分上限有限值，即使系統(tǒng)不可控，狀態(tài)變量不穩(wěn)定，但積分指標仍可為有限值，故仍舊有最優(yōu)解。

2）閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即系統(tǒng)矩陣 的特征值均具有負實部，而不論原系統(tǒng)A的特征值如何。證明思路：采用李亞普諾夫第二法，證明李亞普諾夫函數(shù)正定，負定，則原系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。（李亞普諾夫第二法穩(wěn)定性定理）（見例4-3）（見例4-4）29第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日證明：設李雅普諾夫函數(shù)因K正定，故是正定的與黎卡提代數(shù)方程（4-19）式比較得由于Q，R均為正定矩陣，故負定，結論得證。30第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日3）Q為正定，這個條件是保證最優(yōu)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定而提出的。性能指標J取有限值，還不能保系統(tǒng)穩(wěn)定，例如，只要不穩(wěn)定的狀態(tài)變量在性能指標中不出現(xiàn)（未被指標函數(shù)所“觀測”到）即可，Q為半正定時就可能出現(xiàn)這種情況，所以Q必須正定。（見例4-2）31第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日例4－2

已知系統(tǒng)方程為性能指標為要求尋找最優(yōu)控制使J最小。若，即，為正定，此時黎卡提代數(shù)解：設即原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。方程為：32第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日整理得：取正定解由（4-18）式求得最優(yōu)控制將上式代入狀態(tài)方程，得閉環(huán)特征根為33第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日若（相當于Q半正定）則指標蛻化為由J的形成，可知 時J最小。這時無反饋控制作用，系統(tǒng)保持為開環(huán)不穩(wěn)定狀態(tài)。從黎卡提方程來看，這時有有二個解 和 ，只有可使，從而性能指標為最小，但這時系統(tǒng)不穩(wěn)定。34第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日例4－3設系統(tǒng)狀態(tài)方程為性能指標為解根據(jù)最優(yōu)控制規(guī)律由于35第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日盡管是不可控的，但反饋控制中仍可包含有狀態(tài)，性能指標盡管有，J仍有最小值?？捎衫杩ㄌ峋仃囄⒎址匠痰玫?又，解得當時，，中必有。當時，必有，因為36第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日積分可得：在時，故有式中指數(shù)部分不為零，只有，可推得這時中將不包含。37第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日例4－4設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為性能指標為試確定最優(yōu)控制，使J最小。設保證Q為正定。

解：系統(tǒng)中設38第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日由式（4-18）可得最優(yōu)控制整理得由Q、K的正定性，下式成立39第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日最優(yōu)控制函數(shù)為可看出閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。將上式代入狀態(tài)方程，可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為40第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日§4－4輸出調節(jié)器問題在這節(jié)中，我們將依據(jù)系統(tǒng)可觀測這一條件，來證明輸出調節(jié)器問題可以轉化成等效的狀態(tài)調節(jié)器問題，并利用前兩節(jié)的結果，應用類比法，建立輸出調節(jié)器的控制規(guī)律。其控制不受約束，假定系統(tǒng)(4-22)完全可觀測，尋找控制，使下列性能指標最小。（4-23）

（4-22a）（4-22b）設線性時變系統(tǒng)的動態(tài)方程為:41第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中和是半正定矩陣，是正定矩陣，終端時間固定。這一問題的物理含義是：以比較小的控制能量為代價，使輸出保持在零值附近。把代入方程（4-23）得:（4-24）（4-3）比較（4-24）和（4-3）式42第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日要是能證明當矩陣 和 是半正定的，那么輸出調節(jié)器問題也就轉化成等效的狀態(tài)調節(jié)器問題，于是狀態(tài)調節(jié)器問題的所有研究結果，都可以推廣到輸出調節(jié)器問題中來?？梢娝鼈兊慕Y構形式相同，唯一差別是指標函數(shù)中的權函數(shù)發(fā)生了變化：在（4-3）式中的矩陣和在（4-24）式中分別換成 和 。43第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日，則對把代入上式得(4-26)式（4-26）對于所有的均成立，所以即是半正定的。同理可證是半正定陣。證明:因系統(tǒng)可觀測，故,又都有（4-25）所有的(根據(jù)半正定陣的定義證明)44第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日因此對輸出調節(jié)器問題可闡述為：（4-27）最優(yōu)軌跡是下列線性微分方程的解:滿足邊界條件為下列黎卡提矩陣微分方程的解其中對于系統(tǒng)（4-22）和性能指標（4-23），最優(yōu)控制存在、唯一，且可表示為:45第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日由于狀態(tài)信息更完整地反映了系統(tǒng)的動態(tài)性能，比更為豐富，當系統(tǒng)可觀測時，必可從中求得系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息。為實現(xiàn)最優(yōu)控制，應當利用系統(tǒng)中所有可能的信息，故輸出調節(jié)器的最優(yōu)控制規(guī)律仍是以狀態(tài)的線性函數(shù)構成狀態(tài)反饋。46第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日無限時間定常輸出調節(jié)器：關于線性時不變系統(tǒng)當時的輸出調節(jié)器問題，可參照 時的狀態(tài)調節(jié)器問題，得到相應的控制規(guī)律。設線性時不變系統(tǒng)完全可控，可觀測，性能指標為47第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中不受約束，和都是正定對稱常數(shù)矩陣，則最優(yōu)控制存在，唯一，且由下式確定其中K是正定常數(shù)矩陣，滿足下列矩陣代數(shù)黎卡提方程最優(yōu)狀態(tài)是下列齊次方程的解且矩陣的特征值具有負實部。

48第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日§4—5跟蹤問題設有可觀測線性系統(tǒng)（4-27a）(4-27b)系統(tǒng)輸出的期望值為 ，即為所跟蹤目標的運動規(guī)律，維數(shù)與相同，定義(4-28)

為誤差函數(shù)。要求設計一控制向量，使跟蹤的變化，且使性能指標(4-29）

取最小值，為給定值，這類問題稱為跟蹤問題。物理意義：以較小的控制能量為代價，使誤差保持在零值附近。

49第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日定義哈密頓函數(shù)（4-30）控制方程為（4-31）協(xié)態(tài)方程為（4-32）50第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日橫截條件(4-33)由上式可見，中有一項與 成線性關系，另一項與理想輸出成線性關系，根據(jù)掃描法的思想，令(4-34)

其中矩陣和