解一元二次方程-直接開平方法（教師版）

1-2解一元二次方程——直接開平方法人教九上一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解形如的一元二次方程的解法——直接開平方法；能夠熟練而準(zhǔn)確的運(yùn)用開平方法求一元二次方程的解．二、知識回顧1．什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)？平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根．用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根．記作x=，即x=或x=．如：9的平方根是；的平方根是．平方根的性質(zhì)：（1）一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)的；（2）0的平方根是0；（3）負(fù)數(shù)沒有平方根．2．x2=4，則x=±2.想一想：求x2=4的解的過程，就相當(dāng)于求什么的過程？三、新知講解直接開平方法解一元二次方程一般地，運(yùn)用平方根的定義直接開平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．對結(jié)構(gòu)形如的一元二次方程來說，因為，所以在方程兩邊直接開平方，可得，進(jìn)而求得．注：（1）直接開平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要針對形如的一元二次方程，它的理論依據(jù)就是平方根的定義．（2）利用直接開平方法解一元二次方程時，要注意開方的結(jié)果取“正、負(fù)”．（3）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1．用直接開平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．總結(jié)：運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程，首先要將一元二次方程的左邊化為含有未知數(shù)的完全平方式，右邊化為非負(fù)數(shù)的形式，然后直接用開平方的方法求解．練1．（2015?東西湖區(qū)校級模擬）解方程：（2x+3）2﹣25=0練2．（2014秋?昆明校級期中）解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．2．用直接開平方法判斷方程中字母參數(shù)的取值范圍【例2】（2015春?南長區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣k=0有實數(shù)根，則（）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0總結(jié)：先把方程化為“左平方，右常數(shù)”的形式，且把系數(shù)化為1，再根據(jù)一元二次方程有無解來求方程中字母參數(shù)的取值范圍.練3．（2015春?利辛縣校級月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，則必須（）A．n=0B．m，n同號C．n是m的整數(shù)倍D．m，n異號練4．（2015?岳陽模擬）如果關(guān)于x的方程mx2=3有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是．五、課后小測一、選擇題1．（2015?石城縣模擬）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±92．（2015?河北模擬）已知一元二次方程x2﹣4=0，則該方程的解為（）A．x1=x2=2B．x1=x2=﹣2C．x1=﹣4，x2=4D．x1=﹣2，x2=23．（2015?杭州模擬）關(guān)于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，則方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x1=﹣2，x2=3B．x1=﹣7，x2=﹣2C．x1=3，x2=﹣2D．x1=3，x2=84．（2015?江岸區(qū)校級模擬）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，那么該方程的另一個根是（）A．3B．﹣3C．0D．15．（2014?棗莊）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的兩個解，且x1＜x2，下列說法正確的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之間D．x1，x2都小于36．（2014春?淮陰區(qū)校級月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，7．（2012秋?內(nèi)江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，則a﹣b的值是（）A．B．或C．3D．8．方程x2=0的實數(shù)根有（）A．1個B．2個C．無數(shù)個D．0個9．方程5y2﹣3=y2+3的實數(shù)根的個數(shù)是（）A．0個B．1個C．2個D．3個二、填空題10．（2015?泉州）方程x2=2的解是．11．（2014?懷化模擬）方程8x2﹣72=0解為．三、解答題12．（2014?祁陽縣校級模擬）解方程：（x﹣2）2﹣16=0．13．（2014秋?青海校級月考）解方程：．14．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5請你選取一個適當(dāng)?shù)膍的值，使方程能用直接開平方法求解，并解這個方程．（1）你選的m的值是；（2）解這個方程．典例探究答案：【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．分析：（1）先變形得到x2=4，然后利用直接開平方法求解；（2）首先兩邊直接開平方可得2x﹣3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：（1）x2=4，兩邊直接開平方，得x1=2，x2=﹣2．（2）兩邊直接開平方，得2x﹣3=±5，則2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，所以x=4，x=﹣1．點評：本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法求解．練1．（2015?東西湖區(qū)校級模擬）解方程：（2x+3）2﹣25=0分析：先移項，寫成（x+a）2=b的形式，然后利用數(shù)的開方解答．解答：解：移項得，（2x+3）2=25，開方得，2x+3=±5，解得x1=1，x2=﹣4．點評：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．（2）運(yùn)用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點．分析：兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：兩邊開方得：3（x+1）=±2（x﹣2），即3（x+1）=2（x﹣2），3（x+1）=﹣2（x﹣2），解得：x1=﹣7，x2=．點評：本題考查了解一元二次方程和解一元一次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．【例2】（2015春?南長區(qū)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣k=0有實數(shù)根，則（）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0分析：根據(jù)直接開平方法的步驟得出x2=k，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出k≥0即可．解答：解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∵一元二次方程x2﹣k=0有實數(shù)根，∴k≥0，故選：C．點評：此題考查了直接開平方法解一元二次方程，用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．練3．（2015春?利辛縣校級月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，則必須（）A．n=0B．m，n同號C．n是m的整數(shù)倍D．m，n異號分析：首先求出x2的值為﹣，再根據(jù)x2≥0確定m、n的符號即可．解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，∵n≠0，∴mn異號，故選：D．點評：此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵是表示出x2的值，根據(jù)x2的取值范圍確定m、n的符號．練4．（2015?岳陽模擬）如果關(guān)于x的方程mx2=3有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是．解：∵關(guān)于x的方程mx2=3有兩個實數(shù)根，∴m＞0．故答案為：m＞0．課后小測答案：一、選擇題1．（2015?石城縣模擬）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±9解：移項得；x2=9，兩邊直接開平方得：x=±3，故選：C．2．（2015?河北模擬）已知一元二次方程x2﹣4=0，則該方程的解為（）A．x1=x2=2B．x1=x2=﹣2C．x1=﹣4，x2=4D．x1=﹣2，x2=2解：x2﹣4=0，（x+2）（x﹣2）=0，x1=﹣2，x2=2．故選D3．（2015?杭州模擬）關(guān)于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，則方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x1=﹣2，x2=3B．x1=﹣7，x2=﹣2C．x1=3，x2=﹣2D．x1=3，x2=8解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+n=0的解是x1=﹣2，x2=3，（m，n，p均為常數(shù)，m≠0），∴方程a（x+m﹣5）2+n=0變形為a[（x﹣5）+m]2+n=0，即此方程中x﹣5=﹣2或x﹣5=3，解得x=3或x=8．故選D．4．（2015?江岸區(qū)校級模擬）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，那么該方程的另一個根是（）A．3B．﹣3C．0D．1解：ax2=c，x2=，x=±，∵x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，∴該方程的另一個根是x=3，故選A．5．（2014?棗莊）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的兩個解，且x1＜x2，下列說法正確的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之間D．x1，x2都小于3解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的兩個解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故選：A．6．（2014春?淮陰區(qū)校級月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，解：方程（1﹣x）2=2，開方得：1﹣x=±，解得：x1=1+，x2=1﹣，故選D7．（2012秋?內(nèi)江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，則a﹣b的值是（）A．B．或C．3D．解：∵a2﹣2ab+b2=6，∴（a﹣b）2=6，∴a﹣b=±，故選：B．8．方程x2=0的實數(shù)根有（）A．1個B．2個C．無數(shù)個D．0個解：x2=0，兩邊直接開平方得：x1=x2=0，故選：B．9．方程5y2﹣3=y2+3的實數(shù)根的個數(shù)是（）A．0個B．1個C．2個D．3個解：5y2﹣3=y2+3，4y2=6，y2=，y=±，即實數(shù)根的個數(shù)是2個，故選C．二、填空題10．（2015?泉州）方程x2=2的解是±．解：x2=2，x=±．故答案為±．11．（2014?懷化模擬）方程8x2﹣72=0解為x=±3．解：8x2﹣72=0，8x2=72，x2=9，x=±3，故答案為：x=±3．三、解答題12．（2014?祁陽縣校級模擬）解