2022年度湖南省衡陽市中國百強中學高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

2022年度湖南省衡陽市中國百強中學高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“a<－2”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在區(qū)間[－1,2]上存在零點”的()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A2.用數(shù)字1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（

）A.48個 B.36個 C.24個 D.18個參考答案：A解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，大于20000決定了第一位只能是2，3，4，5共4種可能，偶數(shù)決定了末位是2，4共2種可能當首位是2時，末位只能是4，有A33=6種結(jié)果，當首位是4時，同樣有6種結(jié)果，當首位是1，3，5時，共有3×2×A33=36種結(jié)果，總上可知共有6+6+36=48種結(jié)果，故選A．

3.雙曲線的焦距是A．

B．4

C．

D．8參考答案：C4.如果a1,a2,…,a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則

(

)A

B

C

D參考答案：B5.已知是正數(shù)，且滿足．那么的取值范圍是A．

B．C．D．[中參考答案：B略6.如果(

)A．

B．{1，3}

C．{2，5}

D．{4}參考答案：C7.給出下列四個推導過程：①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2=2；②∵x，y∈R+，∴l(xiāng)gx+lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2=4；④∵x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=﹣[（﹣（））+（﹣（））]≤﹣2=﹣2．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：D【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】基本不等式a+b≥2的成立條件是a＞0，b＞0，然后判斷即可【解答】解：對于①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2=2，當且僅當a=b時取等號，故①正確，對于②∵x，y∈R+，但是lgx，lgy不一定大于0，故不能用基本不等式，故②錯誤，對于③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2=4；成立的條件是a＞0，故③錯誤，對于④x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=﹣[（﹣（））+（﹣（））]≤﹣2=﹣2．當且僅當x+y=0時取等號，故④正確．故選：D【點評】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題，8.曲線：在點處的切線恰好經(jīng)過坐標原點，則曲線直線，軸圍成的圖形面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D設，則曲線：在點處的切線為，因為切線恰好經(jīng)過坐標原點，所以，所以切線為，所以曲線直線，軸圍成的圖形面積為。9.設隨機變量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，則P（﹣1＜ξ＜0）=(

) A．1﹣p B．p C．+p D．﹣P參考答案：D考點：二項分布與n次獨立重復試驗的模型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），知正態(tài)曲線關于x=0對稱，根據(jù)P（ξ≥1）=p，得到P（1＞ξ＞0）=﹣p，再根據(jù)對稱性寫出要求概率．解答： 解：∵隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），∴正態(tài)曲線關于x=0對稱，∵P（ξ≥1）=p，∴P（1＞ξ＞0）=﹣p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故選D．點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題的主要依據(jù)是曲線的對稱性，這種問題可以出現(xiàn)在選擇或填空中．10.已知命題：實數(shù)滿足，命題：函數(shù)是增函數(shù)。若為真命題，為假命題，則實數(shù)的取值范圍為

（

）A．

B．

C．

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.棱長為的正方體的外接球的表面積是________；參考答案：12.若點（3，1）是拋物線y2=2px的一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則p=．參考答案：2【考點】拋物線的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】求出直線方程，代入拋物線方程，利用（3，1）是中點，即可求得結(jié)論． 【解答】解：過點（3，1）且斜率為2的直線方程為y=2x﹣5， 代入拋物線y2=2px，可得（2x﹣5）2=2px，即4x2﹣（20+2p）x+25=0， ∴=6， ∴p=2， 故答案為：2． 【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 13.點P在平面ABC上的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是△ABC的

．（填：外心，內(nèi)心，重心，垂心）參考答案：垂心14.某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有________種．參考答案：6015.已知等比數(shù)列的前n項和為Sn，且a1+a3=，則=

．參考答案：2n﹣1【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1+a3=，∴，解得a1=2，q=，∴Sn==，an=2×，則=2n﹣1．故答案為：2n﹣1．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.下列四個條件中，能確定一個平面的只有

▲

．（填序號）①空間中的三點

②空間中兩條直線③一條直線和一個點

④兩條平行直線參考答案：④17.已知則的值為__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.用反證法證明：在△ABC中，若sinA＞sinB，則B必為銳角．參考答案：【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】根據(jù)反證法的步驟，先假設相反的結(jié)論，再推出與已知條件相矛盾的結(jié)論，否定假設，肯定結(jié)論．【解答】證明：假定B不是銳角，則B不是直角就是鈍角．若B是直角，則sinB=1是最大值，而同一三角形不可能有兩個直角或一個直角一個鈍角，則sinB＞sinA．這與已知條件矛盾，若B是鈍角，則sinB=sin=sin（A+C），∵A+C＞A，∴sin（A+C）＞sinA，∴sinB＞sinA．這與已知條件矛盾．∴假設不成立，∴在△ABC中，若sinA＞sinB，則B必為銳角．19.已知：以點為圓心的圓與軸交于點,，與y軸交于點,，其中為原點．（1）求證：△的面積為定值；（2）設直線與圓交于點,，若，求圓的方程．參考答案：略20.（本題滿分12分）已知點及圓：.（1）若直線過且被圓截得的線段長為4，求的方程；（2）求過點的圓的弦的中點的軌跡方程.參考答案：

如圖所示，AB=4，D是AB的中點，CD⊥AB，AD=2，圓x2+y2+4x-12y+24=0可化為（x+2）2+（y-6）2=16，圓心C（-2，6），半徑r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2. 設所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0.由點C到直線AB的距離公式：=2，得k=.此時直線l的方程為3x-4y+20=0. 又直線l的斜率不存在時，此時方程為x=0.則y2-12y+24=0,∴y1=6+2,y2=6-2,∴y2-y1=4,故x=0滿足題意.∴所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0. （2）設過P點的圓C的弦的中點為D（x,y）,則CD⊥PD，即·=0， （x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0. 21.已知橢圓C的兩個焦點分別為，，長軸長為6．（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，試探究原點O是否在以線段AB為直徑的圓上．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得c、a的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計算可得答案；（2）設出A、B的坐標，以及AB的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得10x2+36x+27=0，由根與系數(shù)的關系分析計算的值，分析即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，a=3，所以b=1，∴橢圓方程為．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=x+2，由得：10x2+36x+27=0，△＞0，則