選修一般形式柯西不等式

2.二維形式的柯西不等式的向量形式？

設(shè)αβ是兩個向量，則│α.β│≤│α││β│,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時，等號成立.第1頁/共32頁第一頁，共33頁。

從三維的角度思考問題，關(guān)于柯西不等式會有什么結(jié)論（結(jié)合圖像）？思考第2頁/共32頁第二頁，共33頁。0xzy0xy第3頁/共32頁第三頁，共33頁。

觀察圖，從平面向量的集合背景可以得到二維形式的柯西不等式.類似地，從空間向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│

將空間向量的坐標(biāo)代入，化簡得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)α=β共線時，即β=0.或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,3)時，等號成立.第4頁/共32頁第四頁，共33頁。

探究

對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？第5頁/共32頁第五頁，共33頁。3.2一般形式的柯西不等式第6頁/共32頁第六頁，共33頁。教學(xué)目標(biāo)知識與能力1.掌握一般形式的柯西不等式的內(nèi)容.2.靈活應(yīng)用柯西不等式.第7頁/共32頁第七頁，共33頁。過程與方法1.通過二維柯西不等式推導(dǎo)出一般形式的柯西不等式.2.通過例題熟悉柯西不等式的應(yīng)用.第8頁/共32頁第八頁，共33頁。情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.第9頁/共32頁第九頁，共33頁。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)

運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡單問題.

一般形式的柯西不等式的證明思路.第10頁/共32頁第十頁，共33頁?？挛鞑坏仁降囊话阈问綖?a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(2)猜想第11頁/共32頁第十一頁，共33頁。分析如果設(shè)A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我們可以構(gòu)造二次函數(shù)，通過討論相應(yīng)的判別式來證明.第12頁/共32頁第十二頁，共33頁。證明當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，(2)式顯然成立.設(shè)a1,a2,…,an中至少有一個不為0，則a12+a22+…+an2>0.因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函數(shù)f(x)的判別式△≤0，第13頁/共32頁第十三頁，共33頁。即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)有唯一零點(diǎn)時，判別式△=0，以上不等式取等號.第14頁/共32頁第十四頁，共33頁。此時，有唯一實(shí)數(shù)x，使aix=bi(i=1,2,…,n).若x=0，則b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0，則有，總之，當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)時，等號成立.第15頁/共32頁第十五頁，共33頁。結(jié)論定理（一般形式的柯西不等式）

設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是實(shí)數(shù)，則(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）時，等號成立.第16頁/共32頁第十六頁，共33頁。例1分析

用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式.第17頁/共32頁第十七頁，共33頁。根據(jù)柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2,所以n(a12+a22+…+an2)≥(a1+a2+…+an)2即證明第18頁/共32頁第十八頁，共33頁。例2已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，證明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.第19頁/共32頁第十九頁，共33頁。分析

上式兩邊都是a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明.

第20頁/共32頁第二十頁，共33頁。證明第21頁/共32頁第二十一頁，共33頁。例3分析

由x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造（12+22+32）作為一個因式而解決問題.已知x+2y+3z=1以及x2+y2+z2

的最小值.第22頁/共32頁第二十二頁，共33頁。解：第23頁/共32頁第二十三頁，共33頁。課堂小結(jié)1.一般形式的柯西不等式:設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是實(shí)數(shù)，則(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）時，等號成立.第24頁/共32頁第二十四頁，共33頁。2.一般形式的柯西不等式的應(yīng)用.

對于許多不等式問題，應(yīng)用柯西不等式往往簡明。掌握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活應(yīng)用.第25頁/共32頁第二十五頁，共33頁。隨堂練習(xí)1.已知a,b,c,d∈R+，且a+b+c+d=1,求證a2+b2+c2+d2≥第26頁/共32頁第二十六頁，共33頁。證明因?yàn)?(a2+b2+c2+d2)≥(a.1+b.1+c.1+d.1)2=(a+b+c+d)2=1,所以a2+b2+c2+d2=1第27頁/共32頁第二十七頁，共33頁。第28頁/共32頁第二十八頁，共33頁。證明第29頁/共32頁第二十九頁，共33頁。習(xí)題答案習(xí)題3.2（第41頁）第30頁/共32頁第三十頁，共33頁。第31頁/共32頁第三十一頁，共33頁。感謝您的觀看！第32頁/共32頁第三十二頁，共33頁。內(nèi)容總結(jié)2.二維形式的柯西不等式的向量形式。2.靈活應(yīng)用柯西不等式.。2.通過例題熟悉柯西不等式